2019-2020年高中數(shù)學(xué) 7.1直線的傾斜角和斜率(備課資料) 大綱人教版必修.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 7.1直線的傾斜角和斜率(備課資料) 大綱人教版必修一、解析幾何學(xué)的產(chǎn)生背景及其研究的基本問題在十七世紀(jì),從封建社會內(nèi)部產(chǎn)生出來的資本主義生產(chǎn)關(guān)系,處于它的上升時期,曾促進(jìn)了社會生產(chǎn)力的迅速發(fā)展,遠(yuǎn)洋航行、礦山開采、機械制造以及資本的對外擴張,向自然科學(xué)提出了大量的問題,例如天體運行、鐘表擺動、炮彈彈道、透鏡形狀等,所有這些,都已超出歐幾里得幾何學(xué)的范圍.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾由于親自參加社會實踐,重視對機械曲線的探討,終于突破了用綜合法研究靜止圖形的局限性,在他所著的方法論一書的附錄幾何學(xué)中引進(jìn)了變數(shù),開始用解析方法來研究變化的圖形的性質(zhì).他的基本思想是借助坐標(biāo)法,把反映同一運動規(guī)律的空間圖形(點、線、面)同數(shù)量關(guān)系(坐標(biāo)和它們所滿足的方程)統(tǒng)一起來,從而把幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題來處理,運用這種坐標(biāo)法,可以研究比直線和圓復(fù)雜得多的曲線,而且使曲線第一次被看成動點的軌跡.從此,由曲線或曲面求它的方程,以及由方程的討論研究它所表示的曲線或曲面的性質(zhì),就成了解析幾何學(xué)的兩大基本問題.為紀(jì)念笛卡爾為數(shù)學(xué)發(fā)展所作的貢獻(xiàn),我們也把直角坐標(biāo)系稱為笛卡爾坐標(biāo)系,把直角坐標(biāo)系所表示的平面稱為笛卡爾平面.在中學(xué),我們只學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ)知識.二、傾斜角與斜率概念剖析首先,對于傾斜角要注意以下三點:(1)由于我們已將角的概念作了推廣,所以要使坐標(biāo)平面內(nèi)每一直線有惟一的傾斜角,就只能以“取最小正角”作為對應(yīng)法則.(2)上述定義是對于與x軸相交的直線作出的.凡與x軸平行的直線,都不具有向上的方向,所以應(yīng)補充規(guī)定它們的傾斜角為0.這時才可以說,坐標(biāo)平面內(nèi)每一直線有惟一的傾斜角.(3)當(dāng)直線與x軸相交時,它的傾斜角的終邊作為射線,它是朝著向上的方向的,所以傾斜角的范圍是0.于是,對于坐標(biāo)平面內(nèi)所有的直線來說,傾斜角的范圍是0.其次,對于斜率這一概念,應(yīng)注意以下幾點:(1)顧名思義,“斜率”就是“傾斜的程度”.過去,我們在學(xué)習(xí)直角三角形時就已知道,斜坡坡面的鉛直高度與水平寬度l的比值i叫坡度;如果把坡面與水平面的夾角叫做坡角,那么itan;坡度越大角越大坡面越陡,所以itan可以反映坡面傾斜的程度.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)的斜率k,等于所對應(yīng)的直線(有無數(shù)條,它們彼此平行)的傾斜角(只有一個)的正切,可以反映這樣的直線對于x軸傾斜的程度.實際上,“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的.(2)解析幾何中,要通過點的坐標(biāo)和直線方程來研究直線,斜率可以直接通過坐標(biāo)計算求得,使方程形式上較為簡單.如果只用傾斜角一個概念,那么它實際上相當(dāng)于反正切arctank,難于直接通過坐標(biāo)計算求得,并使方程形式變得復(fù)雜.(3)坐標(biāo)平面內(nèi),每一條直線都有惟一的傾斜角,但不是每一條直線都有斜率.傾斜角是90的直線(即x軸的垂線)沒有斜率.在今后的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常要對直線是否有斜率分情況進(jìn)行討論.三、概念辨析題判斷下列命題的正確性:(1)任一條直線都有傾斜角,也都有斜率;(2)平行于x軸的直線傾斜角是0或;(3)直線的斜率的范圍是(,);(4)過原點的直線,斜率越大越靠近y軸;(5)兩直線的斜率相等,則它們的傾斜角相等;(6)兩條直線的傾斜角相等,則它們的斜率相等.解析:命題(1)錯誤,如直線x1,傾斜角為,但是斜率不存在.命題(2)錯誤,由傾斜角的范圍010,可知平行于x軸的直線傾斜角為0;命題(3)正確.可結(jié)合正切函數(shù)在0,)的圖象說明;命題(4)錯誤,當(dāng)傾斜角在0,)范圍內(nèi),斜率越大越靠近y軸,當(dāng)傾斜角在(,)范圍內(nèi),斜率越大越靠近x軸非正半軸.命題(5)正確,由正切函數(shù)在0,)范圍內(nèi)的單調(diào)性可知.命題(6)錯誤.當(dāng)兩直線傾斜角為時,斜率不存在,也就不能說斜率相等.綜上所述,命題(3)、(5)正確,(1)、(2)、(4)、(6)錯誤.四、參考例題例1直線l過點A(1,2),B(m,3),求l的斜率與傾斜角.分析:此題意在使學(xué)生熟悉直線的斜率公式,但由于點B坐標(biāo)中含有參數(shù),故借此鍛煉學(xué)生的分類討論的意識,同時注重討論的合理性與全面性.解:(1)先考慮此直線斜率不存在的情形,顯然m1,此時l的傾斜角為;(2)若斜率存在,設(shè)此斜率為k,傾斜角為,此時m1,ktan,()當(dāng)m1時,k0,傾斜角為銳角,arctan;()當(dāng)m1時,k0,傾斜角為鈍角,arctan.例2平面上有相異的兩點A(cos,sin2)和B(0,1),求經(jīng)過A、B兩點的直線的斜率及傾斜角的范圍.分析:根據(jù)A、B為相異兩點可知cos0,則sin21,故排除了經(jīng)過A、B兩點的直線斜率為0或斜率不存在的情形,這一點對于正確求解直線斜率及傾斜角的范圍具有關(guān)鍵性作用.解:A、B相異兩點,cos0,此時sin21.故A、B兩點的橫縱坐標(biāo)均不相同,因此,直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的傾斜角為,斜率為k.則ktancostancos0k1,0)(0,1,(0,)例3直線l的斜率為k,傾斜角是,若1k1,則的取值范圍是 .分析:本題考查直線傾斜角的變化范圍,即0,可轉(zhuǎn)化為已知tan的范圍求范圍,可以利用正切函數(shù)的圖象解決,在體現(xiàn)與三角函數(shù)的聯(lián)系的同時又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想.解:如圖,作出正切函數(shù)ytan(0)的圖象.tan1,tan1.再觀察圖象可知:當(dāng)1k1時,傾斜角的取值范圍是:0或.例4求直線xysin10的傾斜角變化范圍.分析:此題中y的系數(shù)為變量sin,應(yīng)注意對sin0,sin0的分情況討論,同時注意不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象的綜合運用.解:()當(dāng)sin0時,傾斜角為;()當(dāng)sin0時,直線斜率k,即tan.由sin0得,由sin0得,tan或tan.如圖,觀察正切函數(shù)ytan(0)的圖象可得:.綜合()、()可知:的取值范圍:.備課資料一、參考例題例1(1993年全國文)若直線axbyc0,在第一、二、三象限,則( )A.ab0,bc0 B.ab0,bc0C.ab0,bc0D.ab0,bc0分析:此題考查學(xué)生對于直線中含有參數(shù)的情形的處理能力,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解:由題意,直線的斜率一定大于0,所以k0,即ab0;并且根據(jù)直線的縱截距大于0,可得:0即bc0.故選D.例2(1995年全國)在圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則( )A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2分析:此題屬于圖象信息題,要求學(xué)生根據(jù)傾斜角的大小與斜率的正負(fù)來比較k1,k2,k3的大小關(guān)系.解:由圖可知直線l1的傾斜角為鈍角,故k10,直線l2,l3的傾斜角為銳角,故k2,k30,又直線l2的傾斜角大于l3的傾斜角,故k2k3.故選D.例3(1996年上海高考試題)過點(,0)和點(0,3)的直線的傾斜角為( )A.arctan B.arctanC.arctan() D.arctan()分析:此題中直線的斜率可由斜率公式直接求得,由于所得結(jié)果不是特殊值,故在用反正切函數(shù)表示時,應(yīng)注意傾斜角的取值范圍.若tana(a0),則arctan;若tana(a0),則arca.解:過點(4,0)和點(0,3)的直線的斜率k,即tan0.故是鈍角.arctan.故選B.例4(1997年高考應(yīng)用題)甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地,勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米小時,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米小時)的平方成正比,比例系數(shù)為b;固定部分為a元.(1)把全部運輸成本y(元)表示為速度v(千米小時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域.(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?解:(1)ys(bv),v(0,c(2)據(jù)xx年高考試題分析知:很多考生在求函數(shù)ys(bv)取得最小值時,利用基本不等式,由于忽略了函數(shù)的定義域,根據(jù)s(bv)2s,得出當(dāng)且僅當(dāng)bv,即v時,全程運輸成本最小的結(jié)論,結(jié)果漏掉了另外一種情況.如果運用斜率求解,可避免漏解.請看:記ky故求此函數(shù)的最值可轉(zhuǎn)化為求一定點A(0,as)與動點B(v,bsv2)構(gòu)成的直線的斜率的最值.動點B在拋物線ybx2,x(0,c)上運動,其中點B(c,bsc2).如圖所示:當(dāng)動點B在拋物線弧OB(不包括B點)上時,過定點A且與拋物線弧相切的切線斜率即所求函數(shù)的最小值.設(shè)直線AB的方程為:yakx聯(lián)立消去y得bx2kxas0(*)由k2abs20得k2s或k2s (舍去),將k2s代入(*)式得x.換句話說,當(dāng)速度v時,運輸成本y的最小值為2s.當(dāng)點B在點B時,kAB的值只有一個,顯然就是所求函數(shù)的最小值.此時,kABbc).也就是說,當(dāng)vc時,運輸成本y的最小值為s(bc). 二、直線的斜率在解題中的應(yīng)用1.證明不等式例1已知a、b、m*,且ab,求證:.分析:觀察所證不等式的左邊,結(jié)構(gòu)與斜率公式k完全相似,故此式可看作點(b,a)與點(m,m)的連線的斜率.解:如圖,0ab,點P(b,a)在第一象限且必位于直線yx的下方.又m0點M(m,m)在第三象限且必在yx上,連接OP、PM,則:kOP,kMP.直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角,kMPkOP即有.2.用斜率確定某些參數(shù)的取值范圍例2已知兩點P(2,3),Q(3,2),直線axy20與線段PQ相交,求a的取值范圍.分析:已知直線axy20是一條過定點(0,2)的動直線,若與線段PQ相交,則如圖所示直線PM、QM是其變化的邊界直線,所以只須求出直線PM、QM的斜率即可確定已知直線的斜率a的變化范圍,從而得到a的變化范圍.解:如圖所示,直線l:axy20恒過定點M(0,2),l與線段PQ相交,故kMPklkMQ.kla,kMP,kMQa,a.例3若0,則斜率為cot直線的傾斜角為( )A. B. C.D. 分析:由直線的傾斜角的定義,題中的角,不能作為直線的傾斜角;也不能錯誤地認(rèn)為在直線的傾斜角范圍內(nèi),就是直線的傾斜角,必須進(jìn)行準(zhǔn)確的三角變形.解:設(shè)直線的傾斜角為,ktancottan()k(k)0,),0,0故選B.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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