2019-2020年高一數學 2.7對數(備課資料) 大綱人教版必修.doc
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2019-2020年高一數學 2.7對數(備課資料) 大綱人教版必修一、對數定義解釋1.如果a(a0且a1)的b次冪等于N,就是abN,那么數b叫做以a為底的對數,記作:logaNb(a0且a1)2.對數定義中為什么規(guī)定a0且a1呢?因為:(1)若a0時,則N為某些值時,b值不存在.如:blog28不存在.(2)若a0時,N不為0時,b不存在.如log02不存在(可解釋為0的多少次方是2呢?)N為0時,b可以是任何正數,是不惟一的,即log00有無數個值.(可解釋為0的任何非零正次方都是零)(3)若a1時,N不為1時,b不存在.如log13不存在.N為1時,b可以為任何數,是不惟一的,即log11有無數多個值.因此,規(guī)定:a0且a1.二、參考例題例11000的常用對數記為a;的自然對數記為b;則a、b的大小關系是A.ab B.abC.abD.不能確定解:由題意知:alg1000lg1033.blne1.顯然ab,故選A.例2若2.5x1000,0.25y1000,則 .解:由2.5x1000,得xlog2.51000.由0.25y1000得ylog0.251000log10002.5log10000.25log1000log100010.例3設M0,1,N11a,lga,2a,a,是否存在a的值,使MN1?解:由題意,須使集合N中有一個元素1.若11a1,則a10.這時lgalg101.這與集合中元素互異矛盾.a10;若2a1,則a0,此時lga無意義,2a1;若lga1,則a10與()情形相同;若a1,這時11a10,lgalg10,2a2.N10,0,2,1.此時MN0,1,這與MN1矛盾.綜上所述:不存在a值,使MN1.評述:此題之所以分類討論,是因為“1”元素所對應的集合中元素不確定,應要求學生通過此題體會數學中的分類討論思想.三、參考練習題1.求下列各式中的x.(1) log8x=; (2)logx27=;(3)log2(log5x)=0;(4)log3(lgx)=1.解:(1)由log8x=得x=即x=.(2)由logx27=得=27,即=33故x=34=81.(3)由log2(log5x)=0得log5x=20=1,故x=51=5.(4)由log3(lgx)=1,得lgx=3故x=103=1000.2.(1)求log84的值.(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.分析:本題考查對數的定義、對數式與指數式的互化,及利用互化解題.解:(1)設log84=x,根據對數的定義有8x=4.即23x=22,x=,即log84=.另法:log84=22=log22=;(2)loga2=m,loga3=n.am=2,an=3,則a2m+n=(am)2an=223=12.評述:此題不僅是簡單的指、對數互化.同時還涉及到常見的冪的運算法則的應用.備課資料參考練習題1.下列各式正確的個數是log4162 log164 log101002 log100.012A.0 B.1 C.2 D.4解:log416log4422,正確.log16,正確.log10100log101022,正確.log1010-22,正確.故選D.2.以下四個命題中是真命題的是若log5x3,則x15;若log25x,則x5;logx0,則x;若log5x3,則xA. B.C.D.解:若log5x3,則x5315,錯誤.若log25x,則x5,正確.若logx0,則x不存在,錯誤.若log5x3,則x5-3,正確.故選C.3.當a0且a1,x0,y0,nN*,下列各式不恒等的是A.loganxlogaxB.logaxnlogaC.xD.logaxnlogaynn(logaxlogay)解:logax不恒為1,x不恒成立故選C.4.已知lgalgb(a0,b0),那么A.abB.ab或ab1C.abD.ab1解:由lgalgb,得lgalgb或lgalgbab或a即ab或ab1故選B.5.log6log4(log381) .解:原式log6log4(log33)4log6(log44)log610.6.若loglog3(lnx)0,則x .解:loglog3(lnx)0,log3(lnx)1lnx3,xe3.7.log2 .解:=log2)=log2=log24=28.若a0,a1,x0,y0,xy,下列式子中正確的個數是(1)logaxlogay=loga(x+y);(2)logaxlogay=loga(xy);(3)loga=logaxlogay;(4)logaxy=logaxlogay.A.0 B.1C.2 D.3分析:對數的運算實質是把積、商、冪的對數運算分別轉化為對數的加、減、乘的運算.在運算中要注意不能把對數符號當作表示數的字母參與運算.如:logaxlogax,logax是不可分開的一個整體.4個選項都把對數符號當作字母參與運算,因而都是錯誤的.應選A.9.對于a0,a1,下列說法中,正確的是若M=N,則logaM=logaN;若logaM=logaN,則M=N;若logaM2=logaN2,則M=N;若M=N,則logaM2=logaN2.A. B.C.D.分析:在中,當M=N0時,logaM與logaN均無意義,因此logaM=logaN不成立.在中,當logaM=logaN時,必有M0,N0,且M=N.因此M=N成立.在中,當logaM2=logaN2時,有M0,N0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=2時,也有l(wèi)ogaM2=logaN2,但MN.在中,若M=N=0,則logaM2與logaN2均無意義,因此logaM2=logaN2不成立.只有成立,應選C.評述:正確理解對數運算性質公式,是利用對數運算性質公式解題的前提條件.10.若a0,a1,xy0,nN*,則下列各式:(logax)n=nlogax;(logax)n=logaxn;logax=loga;logaxn=nlogax;loga=loga其中成立的有( )A.3個 B.4個C.5個 D.6個分析:由loga=logaxlogay,logaxn=nlogax,知是錯誤的.解:正確,應選B.評述:默寫所有對數公式,對照檢查是否正確,對遺漏的公式進行證明,進一步加強理解,在此基礎上加強記憶,公式一定要記住、記熟,在此基礎上會用、用活.備課資料參考練習題1.計算下列各式:(1)lg12.5lglg0.5;(2) ;(3).分析:可以利用對數運算性質,將每項展開,達到相消或相約而求值;也可以利用對數的運算性質,將真數合并.解法一:(1)原式lg100lg23lg10lg24lg1lg2lg1023lg214lg2lg2211.(2)原式;(3)原式3.解法二:(1)原式lg101;(2)原式3;(3)原式3.2.選擇題(1)的值為( )A. B. C. D.解: .故選C.(2)2比大( )A.3B.4C.5D.6解:22log10a2lga.又lglgalg100lga2,22lga(lga2)2lgalga24故選B.(3)已知3a5bA,且2,則A的值為( )A.15B.C. D.225解:3a5bA,alog3A,blog5A,logA3,logA52logA3loga52 logA352,A215,A又A0,A 故選B.(4)如果log8alog4b25,log8blog4a27,那么log2(ab)的值為( )A.1B.3C.5D.9解:log8alog4b25,log8blog4a27,(log8alog8b)(log4b2log4a2)12log8(ab)log4(ab)212log8(ab)2log4(ab)121212log2(ab)12log2(ab)129故選D.3.已知log23a,3b7,試用a、b的式子表示log1256.解:由log23a得a,由3b7得blog37b.log1256=.備課資料一、對數式化簡的基本思路例1不查表,化簡:log2log212log242.評述:化簡這類式子,一般有兩種思路:思路一:把48、12、42分解質因數,再利用對數運算法則,把log2、log212、log242拆成若干個對數的代數和,然后再化簡.思路二:由于所給的對數的底數相同,可以把各對數合并成一個對數,然后再化簡計算.解法一:原式log2log2(322)log2(723)log27log232log22log232log22log27log22log23log22.解法二:原式log2.評述:上面兩種解題思路,一是“正向”,利用積、商、冪、方根的對數運算法則,把各對數分成更為基本的一系列對數的代數和,由于某些對數的相互抵消,使所給對數式得到了化簡;二是“逆向”,運用對數運算法則,把同底的各對數合并成一個對數,由于真數部分的約簡,使所給對數式得到了化簡,上面的兩種解法,簡單地說,一是“分”二是“合”.例2化簡解法一:先用“分”的方法原式解法二:再采用“合”的方法. 原式.評述:上面給出了一類對數式化簡的兩種方法,一是把真數分解質數,然后把對數分成若干個對數的代數和,最后進行化簡;二是把同底的對數之和合并成一個對數,對真數進行化簡.這兩種解題思路,便是我們解決對數式化簡問題的重要方法,在碰到這類問題時,要善于靈活地選用上述方法.二、參考例題例題的值是( )A. B.1 C. D.2解:利用換底公式及對數運算性質可得:原式,故選A.三、參考練習題1.求下列各式中x的取值范圍:(1)log(x1)(x+2);(2)log(12x)(3x+2).分析:在logaN=b中,必須a0,a1,N0,由此可列出不等式組,求出字母的取值范圍.解:(1)令故x的取值范圍是x|x1且x2.(1) 令故x的取值范圍是x|x,且x0.評述:解此類問題一定要考慮全面,不僅要考慮對真數的限制,尤其不能忽視底的范圍.2.若集合x,xy,lg(xy)=0,|x|,y,則log8(x2+y2)= .解法一:根據集合中元素的互異性,在第一個集合中,x0,第二個集合中,知道y0,第一個集合中的元素xy0,只有l(wèi)g(xy)=0,可得xy=1然后,還有兩種可能,x=y或xy=y由聯(lián)立,解得x=y=1;或x=y=1,若x=y=1,xy=1,違背集合中元素的互異性,若x=y=1,則xy=|x|=1,從而兩集合中的元素相同.由聯(lián)立,解得x=y=1不符合題意.x=1,y=1,符合集合相等的條件.因此,log8(x2+y2)=log82=.解法二:由上述解法可判斷l(xiāng)g(xy)=0,xy=1.又由集合中元素的特性,知xxy=|x|2y,y0x2=11.又由于x0,x=1當x=1時,y=1,此時不滿足集合的特性.當x=1時,y=1,此時,符合集合相等的條件.評述:欲求log8(x2+y2)的值,須求出x,y的值,利用集合相等,求出x,y的值.3.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(1)=2,當xR時f(x)2x恒成立,求實數a的值,并求此時f(x)的最小值?分析:因為f(x)為二次式,所以對于xR有f(x)2x恒成立的實質是一元二次不等式f(x)2x0恒成立.則問題轉化成求解二次式f(x)2x=0的判別式0.解:由f(1)=2得:f(1)=1(lga+2)+lgb=2,解之lgalgb=1,=10,a=10b.又由xR,f(x)2x恒成立.知:x2+(lga+2)x+lgb2x,即x2+xlga+lgb0,對xR恒成立,由=lg2a4lgb0,整理得(1+lgb)24lgb0即(lgb1)20,只有l(wèi)gb=1,不等式成立.即b=10,a=100.f(x)=x2+4x+1=(2+x)23當x=2時,f(x) min=3.- 配套講稿:
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