2019-2020年高中數學 第二章 數列 第十課時 等比數列的前n項和教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數學 第二章 數列 第十課時 等比數列的前n項和教案(二) 蘇教版必修5教學目標:綜合運用等比數列的定義式、通項公式、性質及前n項求和公式解決相關問題,提高學生分析、解決問題的能力.教學重點:進一步熟練掌握等比數列的通項公式和前n項和公式.教學難點:靈活使用有關知識解決問題教學過程:.復習回顧前面我們學習了哪些有關等比數列的知識?定義式:q(q0,n2)通項公式:ana1qn1(a1,q0)若mnpq,則amanapaq,Sn (q1)Snna1,(q1)anSnSn1(n2),a1S1(n1).講授新課我們結合一些練習來看一下如何靈活應用它們. 例1求和:(x)(x2)(xn) (其中x0,x1,y1)分析:上面各個括號內的式子均由兩項組成,其中各括號內的前一項與后一項分別組成等比數列,分別求出這兩個等比數列的和,就能得到所求式子的和.解:當x0,x1,y1時,(x)(x2)(xn)(xx2xn)() 此方法為求和的重要方法之一:分組求和法.例2已知Sn是等比數列an的前n項和,S3,S9,S6成等差數列,求證:a2,a8,a5成等差數列.分析:由題意可得S3S62S9,要證a2,a8,a5成等差數列,只要證a2a52a8即可.證明:S3,S9,S6成等差數列,S3S62S9若q1,則S33a1,S66a1,S99a1,由等比數列中,a10得S3S62S9,與題設矛盾,q1,S3,S6,S9且整理得q3q62q9,由q0得1q32q6又a2a5a1qa1q4a1q(1q3),a2a5a1q2q62a1q72a8a2,a8,a5成等差數列.評述:要注意題中的隱含條件與公式的應用條件.例3某制糖廠第1年制糖5萬噸,如果平均每年的產量比上一年增加10%,那么從第1年起,約幾年內可使總產量達到30萬噸(保留到個位)?分析:由題意可知,每年產量比上一年增加的百分率相同,所以從第1年起,每年的產量組成一個等比數列,總產量則為等比數列的前n項和.解:設每年的產量組成一個等比數列an,其中a15,q110%1.1,Sn3030,整理可得:1.1n1.6兩邊取對數,得nlg1.1lg1.6,即:n5答:約5年內可以使總產量達到30萬噸.評述:首先應根據題意準確恰當建立數學模型,然后求解.課堂練習課本P58練習1,2,3.課時小結通過本節(jié)學習,應掌握等比數列的定義式、通項公式、性質以及前n項求和公式的靈活應用.利用它們解決一些相關問題時,應注意其特點.課后作業(yè)課本P58習題 3,4,5等比數列的前n項和(二)1數列an為正數的等比數列,它的前n項和為80,且前n項中數值最大的項為54,它的前2n項的和為6560,求此數列的首項和公比.2已知數列an是等比數列,試判斷該數列依次k項的和組成的數列bn是否仍為等比數列?3求數列1,aa2,a2a3a4,a3a4a5a6,的前n項和Sn.4數列an中,Sn1kan(k0,k1)(1)證明數列an為等比數列;(2)求通項an;(3)當k1時,求和a12a22an2.5已知一個項數是偶數的等比數列的首項為1,其奇數項的和為85,偶數項的和為170,求這個數列的公比和項數.6等比數列an中,S41,S83,求a17a18a19a20的值.7求和(x)2(x2)2(xn)28求數列2x2,3x3,4x4,nxn,的前n項和.等比數列的前n項和(二)答案1數列an為正數的等比數列,它的前n項和為80,且前n項中數值最大的項為54,它的前2n項的和為6560,求此數列的首項和公比.分析:利用等比數列的前n項和公式Sn解題.解:若q1,則應有S2n2Sn,與題意不合,故q1.當q1時,由已知得由,得82,即q2n82qn810得qn81或qn1(舍)qn81,故q1.an的前n項中最大,有an54.將qn81代入,得a1q1由ana1qn154,得a1qn54q即81a154q由、得a12,q3評述:在數學解題中還應有一個整體觀念,如本題求出qn81,應保留qn為一個整體求解方便.2已知數列an是等比數列,試判斷該數列依次k項的和組成的數列bn是否仍為等比數列?分析:應對an的公比q分類討論.解:設bna(n1)k+1a(n1)k+2ank,且數列an的公比為q則當q1時,b1b2bnka1,bn為公比是1的等比數列.當q1時,bn,qk bn為公比是qk的等比數列.當q1時,若k為偶數,則bn0,此時bn不能為等比數列.若k為奇數,數列bn為公比為1的等比數列.綜上:當an的公比不為1時,數列bn仍為等比數列;當an的公比為1時,若k為偶數,則bn不是等比數列;當k為奇數時,數列bn為公比為1的等比數列.3求數列1,aa2,a2a3a4,a3a4a5a6,的前n項和Sn.解:(1)a0時,Sn1;(2)a1時,Snn(n1);(3)a1時,Sn;(4)a1;a0時,Sn.4數列an中,Sn1kan(k0,k1)(1)證明數列an為等比數列;(2)求通項an;(3)當k1時,求和a12a22an2.分析:由于條件中涉及Sn與an的關系,因此,要考慮SnSn1an(n2)的運用,然后回答定義.(1)證明:Sn1kanSn11kan1得SnSn1kankan1(n2)(k1)ankan1, (常數),(n2)an是公比為的等比數列.(2)解:S1a11ka1,a1an()n1(3)解:an中a1,qan2為首項為()2,公比為()2的等比數列.當k1時,等比數列an2的首項為 ,公比為 a12a22an21()n 評述:應注意an的應用.5已知一個項數是偶數的等比數列的首項為1,其奇數項的和為85,偶數項的和為170,求這個數列的公比和項數.解:設數列的公比為q,項數為2n則,得q(a1a3a2n1)170,q2又85,即8522n25628,2n8評述:在等比數列的通項公式和前n項和公式中,共涉及到a1,n,q,an,Sn5個量,其中a1和q是基本量,利用這兩個公式,可知三求二.6等比數列an中,S41,S83,求a17a18a19a20的值.分析:關鍵是確定首項和公比.解:設此數列的首項和公比為a1和q.則由得q42.a17a18a19a20S20S16q162416.評述:在研究等比數列的問題中,要確定基本量a1和q,仍然離不開方程思想,在具體求解時,得到的方程往往是高次方程,因此,要注意優(yōu)化與化簡.7求和(x)2(x2)2(xn)2分析:注意到(xn)2anx2n2,且x2n與()2n為等比數列,故可考慮拆項法.解:Sn(x2x4x2n)()當x1時, Snnn2n4n.當x1時,Sn2n2n評述:在運用等比數列的求和公式時,要注意分析公比是否為1.8求數列2x2,3x3,4x4,nxn,的前n項和.分析:可以通過錯位相減的方法轉化為等比數列的求和問題.解:(1)當x0時,Sn0.(2)當x1時,Sn234(n1)n(n3).(3)當x1時,Sn2x23x34x4(n1)xn+1xSn2x33x44x5nxn+1(n1)xn+2得:(1x)Sn2x2x3x4xn+1(n1)xn+22x2(n1)xn+2Sn又當x0時,Sn0適合Sn評述:錯位相減法是一種常用的重要的求和方法.- 配套講稿:
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