2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.4線性回歸方程名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.4線性回歸方程名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3三點(diǎn)剖析 一、變量之間的關(guān)系 在實(shí)際問題中,變量之間的關(guān)系有兩類: 一類是確定性關(guān)系,變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示.例如,正方形的面積S與邊長a之間就是確定性關(guān)系,可以用函數(shù)S=a2表示. 在實(shí)際問題中,變量之間的關(guān)系除了確定性的函數(shù)關(guān)系之外,還有一種非確定性的關(guān)系.例如:商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系.我們不可否認(rèn)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間有著密切的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān),還與商品的質(zhì)量、居民的經(jīng)濟(jì)狀況等因素有關(guān).再如:糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi),施肥量越大,糧食的產(chǎn)量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素,因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響.又如人的身高和體重之間的關(guān)系、人的年齡和血壓之間的關(guān)系等,這些變量之間存在著密切的關(guān)系,但它不能由一個(gè)變量的數(shù)值精確地確定另一個(gè)變量的數(shù)值.像這種自變量取一定值時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性,這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,我們稱之為相關(guān)關(guān)系.從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系可以看作是一種理想的關(guān)系模型,而相關(guān)關(guān)系則是一種非常普遍的關(guān)系.研究和學(xué)習(xí)相關(guān)關(guān)系不僅可以使我們能夠處理更為廣泛的數(shù)學(xué)問題,還可以使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度.在現(xiàn)實(shí)生活中,存在大量的相關(guān)關(guān)系,所以,尋找變量之間的相關(guān)關(guān)系很有必要.在此,統(tǒng)計(jì)在其中發(fā)揮著非常重要的作用.在相關(guān)關(guān)系中,變量的關(guān)系不是完全確定的,而是帶有不確定性.這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)(有時(shí)通過調(diào)查,有時(shí)通過試驗(yàn)),在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對(duì)它們之間的關(guān)系作出判斷. 二、散點(diǎn)圖 在考慮相關(guān)關(guān)系中的兩個(gè)量的關(guān)系時(shí),為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解,我們通常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來,這些點(diǎn)就組成了具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的一組數(shù)據(jù)的圖形,通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖. 通過具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量的散點(diǎn)圖我們可以對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解.例如:在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn),得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位:kg).施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455將表中的各對(duì)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn),即可得到該組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖6-12所示:圖6-12 由圖可發(fā)現(xiàn),圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近. 三、最小二乘法、線性回歸方程 1最小二乘法 由施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)所得到的散點(diǎn)圖可發(fā)現(xiàn),圖中的各點(diǎn),大致分布在一條直線y=a+bx的附近.故可用一個(gè)線性函數(shù)近似表示施化肥量和水稻產(chǎn)量之間的關(guān)系.這種線性關(guān)系可以用多種方法來進(jìn)行刻畫,那么用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好一些呢? 有一個(gè)非常直觀的想法,一個(gè)好的線性關(guān)系要保證這條直線與所有點(diǎn)都近. 如果有n個(gè)點(diǎn):(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線y=a+bx的接近程度:y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2 使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線,這種方法稱為最小二乘法. 2線性回歸方程通過收集現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,如果所有的散點(diǎn)分布成或近似成一條直線,我們說這兩個(gè)變量有線性關(guān)系(否則就說兩個(gè)變量不具有線性關(guān)系),然后運(yùn)用最小二乘法的思想,用一條直線來擬合兩個(gè)變量之間的關(guān)系:y=a+bx.要求所有點(diǎn)相對(duì)于該直線的偏差的平方和盡可能達(dá)到最小.我們把y=a+bx稱作線性回歸方程,其中 求線性回歸方程的一般步驟:(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)計(jì)算(2)代入(*)計(jì)算求a、b的值; (3)代入y=a+bx. 一般情況下,求線性回歸方程可借助計(jì)算器和計(jì)算機(jī)來完成.問題探究 問題1:在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):人體的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6 根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系?探究:觀察表中數(shù)據(jù),大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加.為了確定這一關(guān)系的細(xì)節(jié),我們需要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.我們假設(shè)人的年齡影響體內(nèi)脂肪含量,于是,按照習(xí)慣,以x軸表示年齡,以y軸表示脂肪含量,得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖(如圖6-13所示).圖6-13 從散點(diǎn)圖我們可以看出,年齡越大,體內(nèi)脂肪含量越高,圖中點(diǎn)的趨勢(shì)表明兩個(gè)變量之間確實(shí)存在一定的關(guān)系,這個(gè)圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論. 經(jīng)計(jì)算可得到回歸直線的回歸方程為=0.577x-0.448問題2:一般地,(x,y)的n組觀察數(shù)據(jù):xx1x2x3xnyy1y2y3yn的回歸直線的方程為y=a+bx,則直線y=a+bx恒過的定點(diǎn)是什么? 探究:由線性回歸方程的推導(dǎo),可知方程的系數(shù)a、b滿足條件:.由此不難發(fā)現(xiàn),點(diǎn)(,)的坐標(biāo)滿足直線y=a+bx的方程.所以,由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系可得點(diǎn)(,)在直線y=a+bx上,即直線y=a+bx恒過點(diǎn)(,).這里=,=.精題精講例1有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部,他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表:攝氏溫度/-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654 (1)畫出散點(diǎn)圖; (2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)的氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間的關(guān)系的一般規(guī)律; (3)求回歸方程; (4)如果某天的氣溫是2,預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù).思路解析根據(jù)所給數(shù)據(jù),作出散點(diǎn)圖,判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近;如果散點(diǎn)在一條直線附近,用公式(*)求出a、b,寫出線性回歸方程.答案:(1)散點(diǎn)圖如圖6-14所示:圖6-14 (2)從圖中看到,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此,氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān),即氣溫越高,賣出去的熱飲杯數(shù)越少. (3)從散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,因此,可用公式(*)求出回歸方程的系數(shù). 利用計(jì)算器容易求得回歸方程=-2352x+147767 (4)當(dāng)x=2時(shí),=143063因此,某天的氣溫為2時(shí),這天大約可以賣出143杯熱飲.例2為研究某市家庭年平均收入與年平均生活支出的關(guān)系,該市統(tǒng)計(jì)調(diào)查隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了10個(gè)家庭,得數(shù)據(jù)如下:i(家庭編號(hào))12345678910xi(收入)(千元)0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi(支出)(千元)0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5 求回歸直線方程.思路解析利用公式(*)求出a、b,寫出線性回歸方程.答案:列表.i12345678910xi0.81.11.31.51.51.8222.42.8yi0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5xiyi0.561.101.561501952.702603404.807.00xi20.641.211.692.252.253.244.004.005.767.84yi20.491.01.441.001.692.251.692.894.06.25故可求得 b=0.833,a=0.013 回歸直線方程為y=0.833x0.013例3隨機(jī)調(diào)查了某地區(qū)10個(gè)商店的建筑面積x(km2)與年銷售額y(百萬元)的樣本如下:x(面積)4.06067.240920788.4y(銷售額)3.5254.83.5305124.556 (1)求y關(guān)于x的線性回歸方程; (2)若線性關(guān)系存在,那么對(duì)于一個(gè)擁有10 000m2的商店來說,它的年銷售額為多少?思路解析利用公式(*)求出a、b,寫出線性回歸方程.答案:(1)列表.i12345678910xi46067.240920788.4yi3.5254.83.5305124.556xiyi141 50028.825.21 2004524031.54050.4xi2163 6003651.841 60081400496470.56yi212.2562523.0412.259002514420.252536 =169.6=16.96,= 99.3=9.93 =3 174.9,=5 968.4,=1 822.79 y=0.48x+1.75 (2)當(dāng)x=10時(shí),y=6.55 年銷售額約為655萬元.綠色通道 本題反映了生活中普遍存在的商店的面積與年銷售額之間的聯(lián)系,并根據(jù)已有的數(shù)據(jù)得出線性回歸方程. 這是一類日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)的問題.商店的面積與年銷售額之間存在著線性相關(guān)的關(guān)系,根據(jù)相關(guān)的數(shù)據(jù)我們求出它們之間線性回歸方程.利用該方程得出的年銷售額也只是一種估計(jì).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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