2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標(biāo)方程教案 蘇教版選修4-4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標(biāo)方程教案 蘇教版選修4-4 4．2.1曲線的極坐標(biāo)方程的意義 課標(biāo)解讀 1.理解曲線的極坐標(biāo)方程的意義． 2.掌握求曲線的極坐標(biāo)方程的基本方法和一般步驟． 3.掌握曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化. 1．曲線的極坐標(biāo)方程 一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個極坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0；并且，極坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線上．那么這個方程稱為這條曲線的極坐標(biāo)方程，這條曲線稱為這個極坐標(biāo)方程的曲線． 2．求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟 (1)建系(建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系)； (2)設(shè)點(diǎn)(在曲線上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)，使點(diǎn)與坐標(biāo)對應(yīng))； (3)列式(根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件列出等式)； (4)化簡(用極坐標(biāo)ρ，θ表示上述等式，化簡得極坐標(biāo)方程)； (5)證明(證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程)． 3．直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 或 1．曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的含義有什么不同？ 【提示】　由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的惟一性明顯不同．所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可．例如對于極坐標(biāo)方程ρ＝θ，點(diǎn)M(，)可以表示為(，＋2π)或(，－2π)或(－，)等多種形式，其中，只有(，)的極坐標(biāo)滿足方程ρ＝θ. 2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，如何確定某一個點(diǎn)P是否在某曲線C上？ 【提示】　在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)的所有坐標(biāo)不一定都適合方程，所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個點(diǎn)P是否在某一曲線C上，只需判斷點(diǎn)P的極坐標(biāo)中是否有一個坐標(biāo)適合曲線C的方程即可． 求曲線的極坐標(biāo)方程 　(1)求過點(diǎn)A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程； (2)在極坐標(biāo)系中，求半徑為r，圓心為C(r，π)的圓的極坐標(biāo)方程． 【自主解答】　(1)如圖，設(shè)M(ρ，θ)(ρ≥0)為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)， 則∠xAM＝， ∠OAM＝， ∠OMA＝－θ， 在△OAM中，由正弦定理得 ＝， 即＝，所以ρsin(－θ)＝， 即ρ(sincos θ－cossin θ)＝， 化簡，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. (2)由題意知，圓經(jīng)過極點(diǎn)O，設(shè)OA為其一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點(diǎn)O，A以外的任意一點(diǎn)，如圖，則OA＝2r，連接AM，則OM⊥MA， 在Rt△OAM中，OM＝OAcos∠AOM， 即ρ＝2rcos(－θ)，即ρ＝－2rsin θ， 經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)O(0,0)，A(2r，)的坐標(biāo)皆滿足上式， 所以滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為 ρ＝－2rsin θ. (1)求從極點(diǎn)出發(fā)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程． (2)在極坐標(biāo)平面上，求圓心為A，半徑為5的圓的方程． 【解】　(1)設(shè)M(ρ，θ)是所求射線上的任意一點(diǎn)，則射線OM就是集合ρ＝.所以所求射線的極坐標(biāo)方程是θ＝(ρ≥0)． (2)在圓上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，OA＝8，AP＝5，∠AOP＝－θ或θ－.由余弦定理得52＝82＋ρ2－28ρcos(θ－)， 即ρ2－16ρcos＋39＝0為所求圓的極坐標(biāo)方程. 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 　進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化． (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝； (4)ρcos2＝1；(5)ρ2cos 2θ＝4；(6)ρ＝. 【自主解答】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化簡得ρsin2θ＝4cos θ. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化簡得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)tan θ＝.∴tan＝＝，化簡得y＝x(x≥0)． (4)∵ρcos2＝1.∴ρ＝1即ρ＋ρcos θ＝2. ∴＋x＝2，化簡得y2＝－4(x－1)． (5)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，∴x2－y2＝4. (6)∵ρ＝，∴2ρ－ρcos θ＝1， ∴2－x＝1，化簡得3x2＋4y2－2x－1＝0. 進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化． (1)y＝x；(2)x2－y2＝1；(3)ρcos θ＝2；(4)ρ＝2cos θ. 【解】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x得ρsin θ＝ρcos θ，從而θ＝. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1， 得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化簡，得ρ2＝. (3)∵ρcos θ＝2，∴x＝2，是過點(diǎn)(2,0)且垂直于x軸的直線． (4)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2－2x＝0，即 (x－1)2＋y2＝1. 故曲線是圓心在(1,0)，半徑為1的圓. 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ＞0,0≤θ＜π)，求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【思路探究】　聯(lián)立兩極坐標(biāo)方程求解ρ、θ即為交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【自主解答】　聯(lián)立方程組得 即4cos2θ＝3， ∴cos θ＝. 又∵0≤θ＜π，ρ＞0，∴θ＝. 將θ＝代入方程組，得ρ＝2， ∴C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2，)． 解決極坐標(biāo)系中曲線問題大致有兩種思路：①化方程為直角坐標(biāo)方程再處理；②根據(jù)ρ、θ的幾何意義，數(shù)形結(jié)合． 在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長． 【解】　直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程分別是x－y＝6和y2＝8x. 解方程組得或 設(shè)A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. 　(教材第32頁習(xí)題4.2第5題)將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程： (1)ρsin(θ＋)＝3；(2)ρ＝5sin(θ－)； (3)ρ2cos 2θ＝16；(4)ρ＝. 　(xx泰州模擬)若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________． 【命題意圖】　本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化． 【解析】　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x， 即x2＋y2－2y－4x＝0. 【答案】　x2＋y2－2y－4x＝0 1．在極坐標(biāo)系中有如下三個結(jié)論：①點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿足C的極坐標(biāo)方程；②tan θ＝1(ρ∈R)和θ＝(ρ∈R)表示同一條曲線；③ρ＝1和ρ＝－1表示同一條曲線．其中正確的命題是________(填寫相應(yīng)的序號)． 【解析】　在極坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)中必有滿足曲線方程的坐標(biāo)，但不一定所有坐標(biāo)都滿足極坐標(biāo)方程，①錯誤；tan θ＝1(ρ∈R)和θ ＝(ρ∈R)均表示經(jīng)過極點(diǎn)傾斜角為的直線，②正確；ρ＝1和ρ＝－1均表示以極點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，③正確． 【答案】?、冖? 2．在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P(3，)且垂直于極軸的直線方程為________． 【解析】　設(shè)直線與極軸的交點(diǎn)為A， 則OA＝OPcos ＝，又設(shè)直線上任意一點(diǎn)M(ρ，θ)， 則OMcos θ＝OA，即ρcos θ＝. 【答案】　ρcos θ＝ 3．極坐標(biāo)方程ρ＝1表示________． 【解析】　由ρ＝1得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故表示圓． 【答案】　圓 4．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是________． 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為(1，－)． 【答案】　(1，－) 1．將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程： (1)射線y＝x(x≤0)； (2)圓x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)． 【解】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x， 得ρsin θ＝ρcos θ， ∴tan θ＝，∴θ＝或θ＝. 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝， ∴射線y＝x(x≤0)的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)． (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ∴ρ＝－2acos θ， ∴圓x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的極坐標(biāo)方程為 ρ＝－2acos θ. 2．分別將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程： (1)ρ＝；(2)ρ2＝tan θ. 【解】　(1)由ρcos θ＝5，得x＝5. (2)x2＋y2＝(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在極坐標(biāo)方程ρ2＝tan θ中，極點(diǎn)(0,0)也滿足方程，即曲線過原點(diǎn)，所以直角坐標(biāo)方程是x(x2＋y2)－y＝0. 3．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，曲線C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)． (1)把曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程； (2)求弦AB的長度． 【解】　(1)曲線C2：θ＝(ρ∈R)表示直線y＝x； 曲線C1：ρ＝6cos θ化為直角坐標(biāo)方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9. (2)因?yàn)閳A心C1(3,0)到直線的距離d＝，r＝3，所以弦長AB＝3. 4．求點(diǎn)A(2，)到直線l：ρsin(θ－)＝－2的距離． 【解】　A(2，)的直角坐標(biāo)為(1，)， l：ρsin(θ－)＝－2，ρ(sin θ－cos θ)＝－2. 即： x－y－4＝0. 故A(1，)到l：x－y－4＝0的距離為＝3. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)由ρcos(θ－)＝1得ρ(cos θ＋sin θ)＝1， 即x＋y＝2， 當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時，ρ＝，所以N(，)． (2)∵M(jìn)的直角坐標(biāo)為(2,0)，N的直角坐標(biāo)為(0，)． ∴P的直角坐標(biāo)為(1，)．P的極坐標(biāo)為(，)． 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,0)，P是圓x2＋y2＝1上的一個動點(diǎn)，且∠AOP的平分線交PA于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程． 【解】　以圓心O為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)Q(ρ，θ)，P(1,2θ)． 因?yàn)镾△OAQ＋S△OQP＝S△OAP. 即3ρsin θ＋1ρsin θ ＝31sin 2θ. 整理得：ρ＝cos θ. 7．(xx南京質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中，圓C：ρ＝10cos θ和直線l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長． 【解】　分別將圓C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：圓C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圓心C(5,0)； 直線l：3x－4y－30＝0，因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝＝3，所以AB＝2＝8. 教師備選 8．在極坐標(biāo)系中，P是曲線ρ＝12sin θ上的動點(diǎn)，Q是曲線ρ＝12cos(θ－)上的動點(diǎn)，試求PQ的最大值． 【解】　∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)， ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36. ∴PQ的最大值為6＋6＋＝18. 4．2.2常見曲線的極坐標(biāo)方程 第1課時　直線和圓的極坐標(biāo)方程 課標(biāo)解讀 1.會求極坐標(biāo)系中直線和圓的極坐標(biāo)方程． 2.進(jìn)一步體會求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的基本方法． 3.進(jìn)一步體會極坐標(biāo)的特點(diǎn)，感受極坐標(biāo)方程的美. 1．直線的極坐標(biāo)方程 若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且直線l的傾斜角為α，則此直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾種常見直線的極坐標(biāo)方程： 圖4－2－1 2．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心的坐標(biāo)為M(ρ0，θ0)，圓的半徑為r，則圓的極坐標(biāo)方程為 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾種常見圓的極坐標(biāo)方程 圖4－2－2 1．求直線和圓的極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是什么？ 【提示】　求直線和圓的極坐標(biāo)方程關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ和θ之間的關(guān)系式．這一過程需要用到解三角形的知識．用極角和極徑表示三角形的內(nèi)角和邊是解決這個問題的一個難點(diǎn)．直線和圓的極坐標(biāo)方程也可以用直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化而來． 2．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化時有哪些注意事項(xiàng)？ 【提示】　(1)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時，理論上不是惟一的，但一般約定只在規(guī)定范圍內(nèi)求值； (2)由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最后要化簡； (3)由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時要注意變形的等價性，通常總要用ρ去乘方程的兩端. 求直線的極坐標(biāo)方程 　求：(1)過A且平行于極軸的直線；(2)過A且和極軸成的直線． 【自主解答】　(1)如圖1所示，在所求直線上任意取點(diǎn)M(ρ，θ)，過M作MH⊥Ox于H，連OM. ∵A，∴MH＝2sin＝，在Rt△OMH中，MH＝OMsin θ，即ρsin θ＝，所以，過A平行于極軸的直線方程為ρsin θ＝. (2)如圖2所示，在所求直線上任取一點(diǎn)M(ρ，θ)， ∵A，∴OA＝3，∠AOB＝，由已知∠ABx＝，所以∠OAB＝－＝， ∴∠OAM＝π－＝. 又∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ，在△MOA中，根據(jù)正弦定理得＝. ∵sin＝sin＝. 將sin展開，化簡上面的方程，可得 ρ(cos θ＋sin θ)＝＋. 所以，過A且和極軸成的直線方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝＋. 設(shè)P(2，)，直線l過P點(diǎn)且傾斜角為，求直線l的極坐標(biāo)方程． 【解】　如圖所示，設(shè)M(ρ，θ)(ρ≥0)為直線l上除P點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，極點(diǎn)為O，連接OM，OP，該直線交Ox于點(diǎn)A， 則有OM＝ρ，OP＝2， ∠MOP＝|θ－|，∠OPM＝， 所以O(shè)Mcos∠MOP＝OP， 即ρcos|θ－|＝2，即ρcos(θ－)＝2，顯然點(diǎn)P也在這條直線上． 故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝2. 求圓的極坐標(biāo)方程 　(1)求以B(3，)為圓心，3為半徑的圓． (2)求以極點(diǎn)和點(diǎn)N所連線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程． 【自主解答】　(1)∵圓心為B(3，)，半徑為3. ∴所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ. (2)如圖，設(shè)M(ρ，θ)為 圓上任一點(diǎn)， 則有ONcos∠NOM＝OM， 即ρ＝2cos就是所求圓的極坐標(biāo)方程． 求以C(4,0)為圓心，半徑等于4的圓的極坐標(biāo)方程． 【解】　如圖所示，由題設(shè)可知，這個圓經(jīng)過極點(diǎn)，圓心在極軸上，設(shè)圓與極軸的另一個交點(diǎn)是A，在圓上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)，連接OP，PA， 在Rt△OPA中，OA＝8，OP＝ρ，∠AOP＝θ， ∴OAcos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圓C的極坐標(biāo)方程. 極坐標(biāo)的應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值． 【思路探究】　將圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0化為普通方程后求解． 【自主解答】　∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 圓的普通方程為：x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1， 直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的普通方程為：3x＋4y＋a＝0， 又圓與直線相切，所以＝1， 解得：a＝2，或a＝－8. 理解極坐標(biāo)的概念，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，根據(jù)條件建立相應(yīng)曲線的極坐標(biāo)方程． 已知圓C1：ρ＝2cos θ，圓C2：ρ2－2ρsin θ＋2＝0，試判斷這兩個圓的位置關(guān)系． 【解】　法一　圓C1是圓心C1(1,0)，半徑r1＝1的圓． 化圓C2為極坐標(biāo)系下圓的一般方程為ρ2－2ρcos＋()2－12＝0， 得：12＝ρ2＋()2－2ρcos(θ－)． 知圓心C2(，)，半徑為r2＝1， C1C2的距離為2，則⊙C1與⊙C2外切． 法二　將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程． ⊙C1：ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 圓心C1(1,0)，半徑r1＝1. ⊙C2：x2＋y2－2y＋2＝0，即x2＋(y－)2＝1. 圓心C2(0，)，半徑r2＝1，C1C2＝2＝1＋1＝r1＋r2， 故⊙C1與⊙C2外切． 　(教材第32頁習(xí)題4.2第2題)按下列條件寫出圓的極坐標(biāo)方程： (1)以A(2,0)為圓心，2為半徑的圓； (2)以B(4，)為圓心，4為半徑的圓； (3)以C(5，π)為圓心，且過極點(diǎn)的圓； (4)以D(，)為圓心，1為半徑的圓． 　(xx安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為________．(填序號) ①θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 ②θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 ③θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 ④θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【命題意圖】　本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，圓的方程及其切線的求解，考查知識的轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化應(yīng)用意識． 【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】?、? 1．極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ的圓的半徑是________． 【解析】　∵ρ＝2cos θ， ∴ρ2＝2ρcos θ， 即x2＋y2＝2x. 化簡，得(x－1)2＋y2＝1. ∴半徑為1. 【答案】　1 2．直角坐標(biāo)方程x＋y－2＝0的極坐標(biāo)方程為________． 【答案】　ρsin(θ＋)＝ 3．過點(diǎn)A(2,0)，并且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是________． 【解析】　如圖所示，設(shè)M(ρ，θ)為直線上除A(2,0)外的任意一點(diǎn)，連接OM，則有△AOM為直角三角形，并且∠AOM＝θ，OA＝2，OM＝ρ，所以有OMcos θ＝OA，即ρcos θ＝2，顯然當(dāng)ρ＝2，θ＝0時，也滿足方程ρcos θ＝2，所以所求直線的極 坐標(biāo)方程為ρcos θ＝2. 【答案】　ρcos θ＝2 4．(xx江西高考)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． 【解析】　直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 【答案】　ρ＝2cos θ 1．極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是什么？ 【解】　由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以極點(diǎn)為圓心半徑為1的圓，θ＝π表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)與Ox反向的射線． 2．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 【解】　曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐標(biāo)方程分別為x＋y＝1和y－x＝1，兩條直線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,1)，化為極坐標(biāo)為(1，)． 3．(xx安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離． 【解】　極坐標(biāo)系中的圓ρ＝4sin θ轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為y＝x，即x－3y＝0. ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 4．已知A是曲線ρ＝3cos θ上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線ρcos θ＝1距離的最大值和最小值分別為多少？ 【解】　將極坐標(biāo)方程ρ＝3cos θ轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程： x2＋y2＝3x， 即2＋y2＝. ρcos θ＝1即x＝1，直線與圓相交，所以所求距離的最大值為2，最小值為0. 圖4－2－3 5．如圖4－2－3，點(diǎn)A在直線x＝5上移動，等腰三角形OPA的頂角∠OPA＝120(O、P、A按順時針方向排列)，求點(diǎn)P的軌跡方程． 【解】　取O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸正方向建立極坐標(biāo)系，則直線x＝5的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝5. 設(shè)P、A的坐標(biāo)依次為(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 則ρ0＝ρ，θ0＝θ－30. 代入直線的極坐標(biāo)方程ρcos θ＝5，得ρcos(θ－30)＝5，即為點(diǎn)P的軌跡方程． 6．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑r＝3. (1)寫出圓C的極坐標(biāo)方程； (2)若點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動，點(diǎn)P在OQ的延長線上，且OQ∶QP＝3∶2，求動點(diǎn)P的軌跡方程． 【解】　(1)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos. (2)設(shè)P的坐標(biāo)為(ρ，θ)，因?yàn)镻在OQ的延長線上，且OQ∶QP＝3∶2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動，所以ρ＝6cos，即ρ＝10cos，故點(diǎn)P的軌跡方程為ρ＝10cos. 7．(xx常州質(zhì)檢)已知圓M的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0，求ρ的最大值． 【解】　原方程化為ρ2－4ρ(cos θ＋sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＋6＝0， 圓心M(2,2)，半徑為， ∴ρmax＝OM＋＝2＋＝3. 教師備選 8．(xx江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P(，)，圓心為直線ρsin(θ－)＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 【解】　在ρsin(θ－)＝－中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P(，)， 所以圓C的半徑PC＝＝1， 于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 第2課時　圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 課標(biāo)解讀 1.掌握極坐標(biāo)系中圓錐曲線的方程． 2.會求簡單的圓錐曲線的極坐標(biāo)方程． 3.感受在極坐標(biāo)系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的完美統(tǒng)一. 圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程 ρ＝， (***) 其中p為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，稱為焦準(zhǔn)距． 當(dāng)0＜e＜1時，方程ρ＝表示橢圓； 當(dāng)e＝1時，方程(***)為ρ＝，表示拋物線； 當(dāng)e＞1時，方程ρ＝表示雙曲線，其中ρ∈R. 1．用圓錐曲線統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式判別圓錐曲線需注意什么？ 【提示】　應(yīng)注意統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，只有方程右邊分母中的常數(shù)為1時，cos θ的系數(shù)的絕對值才表示曲線的離心率．如果該常數(shù)不是1，一定要將其轉(zhuǎn)化為1，再去判別，例如方程ρ＝的離心率不是1，其不表示拋物線，將方程變形為ρ＝，則e＝，表示橢圓． 2．我們由曲線的直角坐標(biāo)方程很容易知道它是哪種曲線，那如何由曲線的極坐標(biāo)方程確定其是哪一種曲線呢？ 【提示】　如果對簡單的直線和圓的極坐標(biāo)方程及圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程熟練的話，可由其判斷，否則一般是將其化成直角坐標(biāo)方程再判斷其是哪種曲線． 橢圓極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　已知A、B為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上兩點(diǎn)，OA⊥OB(O為原點(diǎn))． 求證：＋為定值． 【自主解答】　以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，長度單位不變建立極坐標(biāo)系，則x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入＋＝1中得＝＋.設(shè)A(ρ1，α)，B.＋＝＋＝＋(為定值)． 本例條件不變，試求△AOB面積的最大值和最小值． 【解】　由例題解析得，S△AOB＝ρ1ρ2，而ρ1＝， ρ2＝， ∴S△AOB＝ ＝ ＝ ∴當(dāng)sin2α＝1時，(S△AOB)max＝ab； ∴當(dāng)sin2α＝時，(S△AOB)min＝. 雙曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　過雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)，引傾斜角為的直線，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求AB. 【思路探究】　求出雙曲線極坐標(biāo)方程，得出A、B兩點(diǎn)極坐標(biāo)，進(jìn)而求AB. 【自主解答】　雙曲線－＝1中，a＝2，b＝，c＝3， 所以e＝，p＝＝. 取雙曲線的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸正方向建立極坐標(biāo)系，則雙曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝. 代入數(shù)據(jù)并化簡，得ρ＝. 設(shè)A，B，于是AB＝|ρ1＋ρ2|＝＝. 應(yīng)用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程求過焦點(diǎn)(極點(diǎn))的弦長非常方便．橢圓和拋物線中，該弦長都表示為ρ1＋ρ2，而雙曲線中，弦長的一般形式是|ρ1＋ρ2|. 已知雙曲線的極坐標(biāo)方程是ρ＝，求雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長和準(zhǔn)線方程． 【解】　雙曲線方程ρ＝可以化為ρ＝，所以e＝，p＝. 設(shè)c＝5r，a＝4r，則b2＝c2－a2＝9r2.由p＝＝，得r＝1.所以2a＝8,2b＝6. 所以雙曲線的實(shí)軸長為8，虛軸長為6. 準(zhǔn)線方程ρcos θ＝－p，即ρcos θ＝－；或ρcos θ＝－p－2，即ρcos θ＝－. 拋物線極坐標(biāo)的應(yīng)用 　已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F. (1)以F為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標(biāo)方程； (2)過F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB＝16，運(yùn)用拋物線的極坐標(biāo)方程，求直線l的傾斜角． 【自主解答】　(1)極坐標(biāo)方程為ρ＝. (2)設(shè)A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)． AB＝ρ1＋ρ2＝＋ ＝＝16，即sin2θ＝得sin θ＝. 故l的傾斜角為或π. 平面直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)F(2,0)和一條定直線l：x＝－2.求與定點(diǎn)F的距離和定直線l的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程． 【解】　過定點(diǎn)F作定直線l的垂線，垂足為K，以F為極點(diǎn)，F(xiàn)K的反向延長線Fx為極軸，建立極坐標(biāo)系． 由題意，設(shè)所求極坐標(biāo)方程為ρ＝， ∵定點(diǎn)F(2,0)，定直線l：x＝－2， ∴p為F點(diǎn)到直線l的距離，為2－(－2)＝4. 又常數(shù)＝e， ∴所求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝＝，即ρ＝. 　(教材第33頁習(xí)題4.2第10題)我國自行研制的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)分別為439 km和2 384 km.若地球半徑取6 378 km，試寫出衛(wèi)星運(yùn)行軌道的極坐標(biāo)方程． 　(xx西安模擬)已知雙曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝，過極點(diǎn)作直線與它交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝6，求直線AB的極坐標(biāo)方程． 【命題意圖】　本題主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程． 【解】　 設(shè)直線AB的極坐標(biāo)方程為θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)． 則ρ1＝， ρ2＝＝. AB＝|ρ1＋ρ2|＝|＋| ＝||＝6， ∴＝1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝. 故直線AB的極坐標(biāo)方程為θ＝或θ＝或θ＝. 1．拋物線ρ＝(ρ＞0)的準(zhǔn)線方程為______． 【答案】　ρcos θ＝－4 2．設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程是ρ＝，則λ的取值范圍是________． 【解析】　ρ＝＝， 所以離心率e＝， 由0＜＜1，得λ∈(0,2)． 【答案】　(0,2) 3．橢圓ρ＝的焦距是________． 【答案】　 4．雙曲線ρ＝的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________． 【答案】　 1．過橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點(diǎn)，若FA＝2FB，求直線l的斜率． 【解】　橢圓＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4， 所以e＝，p＝＝. 取橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由題設(shè)得ρ1＝2ρ2.于是＝2，解得cos θ＝，所以tan θ＝，即直線l的斜率為. 2．已知橢圓方程為ρ＝，過左焦點(diǎn)引弦AB，已知AB＝8，求△AOB的面積． 【解】　如圖，設(shè)A(ρ1，θ)、 B(ρ2，θ＋π)． 所以ρ1＋ρ2＝＋ ＝. 因?yàn)锳B＝8， 所以＝8， 所以cos2θ＝，sin θ＝. 由橢圓方程知 e＝＝，＝，則c＝3. S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝OFρ1sin θ＋OFρ2sin θ＝8. 圖4－2－4 3．如圖4－2－4，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點(diǎn)，MN⊥AB，并交對稱軸于N. 求證：MN2＝AFBF. 【證明】　取F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為ρ＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，則 AFBF＝＝. 不妨設(shè)0＜θ＜， 則MF＝(ρ1－ρ2) ＝(－)＝. 所以MN＝MFtan θ ＝tan θ＝. 所以MN2＝AFBF.  圖4－2－5 4．如圖4－2－5，已知圓F：x2＋y2－4x＝0，拋物線G的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)是已知圓的圓心F，過圓心且傾斜角為θ的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點(diǎn)． (1)當(dāng)直線的斜率為2時，求AB＋CD； (2)當(dāng)θ為何值時，AB＋CD有最小值？并求這個最小值． 【解】　圓F：x2＋y2－4x＝0的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. 以圓心F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系．則圓F的坐標(biāo)方程為ρ＝2，拋物線G的極坐標(biāo)方程為ρ＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝＋－4＝＋－4＝－4＝－4. (1)由題意，得tan θ＝2，所以sin2θ＝. 所以AB＋CD＝－4＝6. (2)AB＋CD＝－4， 當(dāng)sin2θ＝1， 即θ＝時△ABF2的面積取到最小值4. 5．已知拋物線ρ＝，過焦點(diǎn)作互相垂直的極徑FA、FB，求△FAB的面積的最小值． 【解】　設(shè)A(ρ1，θ)、B，則 ρ1＝，ρ2＝＝. △FAB的面積為 S＝ρ1ρ2＝ ＝ ＝. 設(shè)t＝sin θ－cos θ，則sin θcos θ＝. 所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t－＝(t＋1)2. 又t＝sin θ－cos θ＝sin∈[－，]， 所以當(dāng)t＝，即θ＝時，△FAB的面積S有最小值. 6．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且∠F1PF2＝90. (1)求橢圓C的離心率； (2)若直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程． 【解】　(1)因?yàn)椤螰1PF2＝90，所以PF＋PF＝F1F，即a2＋a2＝4c2.所以e＝＝. (2)以橢圓的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為 ρ＝＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)， 則AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2 ＝＋ ＝＋＝. 因?yàn)镕1F2＝2c，所以△ABF2的邊AB上的高h(yuǎn)為2c|sin θ|，△ABF2的面積S＝ABh＝＝ ＝. 因?yàn)椋珅sin θ|≥2， 所以當(dāng)|sin θ|＝1， 即θ＝或θ＝時S取到最大值． 所以當(dāng)l過左焦點(diǎn)且垂直于極軸時，△ABF2的面積取到最大值pc，所以pc＝12，即b2＝6. 故a2－c2＝6.又＝， 所以a2＝12，c2＝6. 所求橢圓的方程為 ＋＝1. 7．已知橢圓＋＝1，直線l：＋＝1，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ||OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 【解】　如圖，以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，則： 橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ2＝， 直線l的極坐標(biāo)方程ρ＝. 由于點(diǎn)Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點(diǎn)Q、R、P的極坐標(biāo)分別為(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依題意，得 ρ＝，① ρ2＝.② 由|OQ||OP|＝|OR|2得ρρ2＝ρ(ρ≠0)． 將①②代入，得ρ＝， 則ρ＝(ρ≠0)． 這就是點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程， 化為直角坐標(biāo)方程，得2x2＋3y2＝4x＋6y， 即＋＝1(x、y不同時為0)． ∴點(diǎn)Q的軌跡為以(1,1)為中心，長軸平行于x軸，長、短半軸長分別為，的橢圓(去掉坐標(biāo)原點(diǎn))． 教師備選 8．建立極坐標(biāo)系證明：已知半圓直徑|AB|＝2r(r＞0)，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點(diǎn)T，并且|AT|＝2a(2a＜)．若半圓上相異兩點(diǎn)M，N到l的距離|MP|、|NQ|滿足|MP|：|MA|＝|NQ|：|NA|＝1，則|MA|＋|NA|＝|AB|. 【證明】　法一　以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2rcos θ，設(shè)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)， 則ρ1＝2rcos θ1，ρ2＝2rcos θ2， 又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2rcos2θ1， |NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2rcos2θ2， ∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcosθ1， |NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcos θ2， ∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的兩個根， 由韋達(dá)定理：cos θ1＋cos θ2＝1， |MA|＋|NA|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|. 法二　以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2rcos θ， 設(shè)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)， 又由題意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在拋物線ρ＝上，∴2rcos θ＝，rcos2θ－rcos θ＋a＝0， ∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的兩個根，由韋達(dá)定理：cos θ1＋cos θ2＝1， 得|MA|＋|NA|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|.