2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1．分類加法計(jì)數(shù)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有____________種不同的方法. 推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有____________種不同的方法. 注意：任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，而不需要再用到其他方法. 2．分步乘法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有____________種不同的方法. 推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有____________種不同的方法. 3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系和區(qū)別 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題. 區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各類方法__________，用其中任何一種方法都可以完成這件事； 分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟__________才算完成這件事. 參考答案： 1． 2． 3．相互獨(dú)立都完成 重點(diǎn) 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念和應(yīng)用 難點(diǎn) 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 易錯(cuò) 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解時(shí)，注意選準(zhǔn)分步的依據(jù) 一、分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 若所給問題滿足下列三個(gè)特點(diǎn)： （1）完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類； （2）用每一類中的每一種方法都可以完成這件事； （3）把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). 則這個(gè)問題可以用分類加法計(jì)數(shù)原理解決. 【例1】某校高二共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表： 男生人數(shù) 女生人數(shù) 總?cè)藬?shù) 高二（1）班 30 20 50 高二（2）班 30 30 60 高二（3）班 35 20 55 （1）從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？ （2）從高二（1）班、（2）班男生中或從高二（3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，有多少種不同的選法？ 【解析】（1）從每個(gè)班選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有3類不同的方案： 第1類，從高二（1）班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法； 第2類，從高二（2）班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法； 第3類，從高二（3）班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法. （2）從高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有3類不同的方案： 第1類，從高二（1）班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法； 第2類，從高二（2）班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法； 第3類，從高二（3）班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不同的選法. 二、分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 若所給問題滿足下列三個(gè)特點(diǎn)： （1）完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟,缺一不可； （2）完成每一步有若干方法； （3）把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). 則這個(gè)問題可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決. 【例2】如圖,將圖中的四個(gè)區(qū)域涂色,有5種不同的顏色可供選擇，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有______種． 【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的涂色方案有種. 【名師點(diǎn)睛】解答涂色問題有兩種方法：（1）選擇正確的涂色順序,按步驟逐一涂色,這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)；（2）根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少,進(jìn)行分類處理,這時(shí)用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù).注意：“相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色”,找好不相鄰的區(qū)域是解題的關(guān)鍵.一般地,在分步涂色時(shí),要注意盡量讓相鄰區(qū)域多的區(qū)域先涂色. 三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 “分類”應(yīng)滿足：完成一件事的任何一種方法，必屬于且僅屬于其中某一類.“分步”應(yīng)滿足：完成一件事必須且只需連續(xù)完成若干步.在實(shí)際中，很多問題都需要既分類又分步才能完成，解決這類問題時(shí)，一般先分類再分步.在分類和分步的過程中,要先明確分類和分步的標(biāo)準(zhǔn),以做到不重不漏. 【例3】用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字， ①可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？ ②可以排成多少個(gè)三位數(shù)？ ③可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 【解析】①三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有555=53=125(種). ②三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有455=100(種). ③被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類， 一類是末位數(shù)字是0，則有43=12種排法； 一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因?yàn)?不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有233=18種排法. 因而有12+18=30種排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù). 【名師點(diǎn)睛】對于已知幾個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)、四位數(shù)等問題,一般需利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解,注意：（1）數(shù)字中是否含有0,因?yàn)槿粩?shù)、四位數(shù)等的最高位數(shù)字不能為0；（2）組成的數(shù)是否允許數(shù)字重復(fù)出現(xiàn),這會(huì)影響數(shù)字的選擇. 四、未選準(zhǔn)分步依據(jù)致錯(cuò) 【例4】將4封信投入到3個(gè)信箱中，共有多少種不同的投法？ 【錯(cuò)解】第1個(gè)信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4種投法； 同理，第2個(gè)信箱也有4種投法，第3個(gè)信箱也有4種投法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的投法. 【錯(cuò)因分析】要完成的一件事是“將4封信投入到3個(gè)信箱中”，且1封信只能投入1個(gè)信箱，錯(cuò)解中會(huì)出現(xiàn)1封信同時(shí)投入2個(gè)信箱或3個(gè)信箱的情況，這是不可能發(fā)生的.因此，分步的依據(jù)應(yīng)該是“信”，而不應(yīng)該是“信箱”. 【正解】第1封信可以投入3個(gè)信箱中的任意一個(gè)，有3種投法; 同理，第2，3，4封信各有3種投法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種投法. 【名師點(diǎn)睛】對于一類元素允許重復(fù)選取的計(jì)數(shù)問題，可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理來解決，求解的關(guān)鍵是明確要完成的一件事是什么.即用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問題時(shí)，哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù).對于本題，若是將3封信投入到4個(gè)信箱中，則共有種不同的投法. 1．有不同的紅球5個(gè)，不同的白球4個(gè).從中任意取出兩個(gè)不同顏色的球，則不同的取法有 A．9種B．16種 C．20種D．32種 2．某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有 A．24種B．9種 C．3種D．26種 3．現(xiàn)給如圖所示的4個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，共有3種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有 A．4種B．6種 C．8種D．12種 4．由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有 A. 個(gè)B. 個(gè) C. 個(gè)D. 個(gè) 5．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，為遵守當(dāng)?shù)啬吃氯罩寥仗斓南扌幸?guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為 A．5B．24 C．32D．64 6．一個(gè)三位數(shù)的密碼，每一位都由0~4的5個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成，則不同的密碼種數(shù)是_________(用數(shù)字作答). 7．如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_________個(gè)(用數(shù)字作答). 8．7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人.現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為_________(用數(shù)字作答). 9．某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中,型血的共有28人，型血的共有7人，B型血的共有9人,AB型血的共有3人. （1）從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？ （2）從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？ 10．現(xiàn)有高一四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組. （1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ （2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？ （3）推選兩人做發(fā)言，這兩人需來自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？ 11．用紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色為一個(gè)五棱錐的六個(gè)頂點(diǎn)著色,要求每一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)著不同的顏色,則不同的著色方案共有 A．120種B．140種 C．180種D．240種 12．現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為__________． 13．回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33,?,99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121, ?,191,202, ?,999.則4位回文數(shù)有________個(gè)；2n＋1(n∈)位回文數(shù)有________個(gè). 14．不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為. 15．某印刷廠的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法？ 16．（xx新課標(biāo)全國Ⅱ）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 A．24B．18 C．12D．9 17．（xx安徽）從正方體六個(gè)面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有 A．24對B．30對 C．48對D．60對 1．C 【解析】由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，要取兩個(gè)不同顏色的球，首先取一個(gè)紅球，有5種結(jié)果，再取一個(gè)白球，有4種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到共有54=20種結(jié)果. 2．B 【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法有4+3+2=9種，故選B. 3．B 【解析】首先給下面一個(gè)涂色，有三種涂色方法，再給上面的最左邊涂色，有兩種涂色方法，中間一塊只有一種涂色方法，右邊的一塊只有一種涂色方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得共有種不同的涂色方法. 4．B 【解析】分兩類：第一類，若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，則有個(gè)偶數(shù)；第二類，若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，由于不排首位，因此首位只能排中的一個(gè)，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得個(gè)偶數(shù). 由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得所有無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選B . 5．D 【解析】日至日，分別為，有天奇數(shù)日，天偶數(shù)日， 第一步，安排奇數(shù)日出行，每天都有種選擇，共有種不同的用車方案； 第二步，安排偶數(shù)日出行，分兩類，第一類，先選天安排甲的車，另外一天安排其他的車，有種不同的用車方案；第二類，不安排甲的車，每天都有種選擇，共有種不同的用車方案，共有種不同的用車方案， 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的用車方案共有種.故選D. 6．125 【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的密碼數(shù)有種. 7．12【解析】由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，組成的數(shù)字含有三個(gè)1，三個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)4共4種情況， 當(dāng)含有三個(gè)1時(shí)，“好數(shù)”為2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141； 當(dāng)含有三個(gè)2時(shí)，“好數(shù)”為2221； 當(dāng)含有三個(gè)3時(shí)，“好數(shù)”為3331； 當(dāng)含有三個(gè)4時(shí)，“好數(shù)”為4441. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得到“好數(shù)”共有12個(gè). 8．360 【解析】分三個(gè)步驟：第一步，先從甲、乙、丙三個(gè)人中選出一個(gè)人加入前排，有3種方法；第二步，將這個(gè)人加入前排的4個(gè)空位中，有4種方法；第三步，再依次將剩余兩人加入后排.先加入的一個(gè)人有5種方法，后加入的那個(gè)人有6種方法.由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的加入方法種數(shù)為. 9．【解析】從O型血的人中選1人有28種不同的選法,從A型血的人中選1人有7種不同的選法,從B型血的人中選1人有9種不同的選法,從AB型血的人中選1人有3種不同的選法. （1）任選1人去獻(xiàn)血,即無論選哪種血型的哪一個(gè)人,這件“任選1人去獻(xiàn)血”的事情都能完成,所以由分類加法計(jì)數(shù)原理,得共有28＋7＋9＋3＝47種不同的選法. （2）要從四種血型的人中各選1人,即要在每種血型的人中依次選出1人后,這件“各選1人去獻(xiàn)血”的事情才完成,所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有28793＝5292種不同的選法. 10．【解析】（1）分四類： 第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法； 第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法； 第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法； 第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有N＝7＋8＋9＋10＝34(種)不同的選法. （2）分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有N＝78910＝5040(種)不同的選法. （3）分六類，每類又分兩步： 第一類，從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法； 第二類，從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法； 第三類，從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法； 第四類，從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法； 第五類，從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法； 第六類，從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法. 所以，共有N＝78＋79＋710＋89＋810＋910＝431(種)不同的選法. 11．A 【解析】設(shè)五棱錐S-ABCDE,先涂頂點(diǎn)S有4種不同的方法;接著涂頂點(diǎn)A只有3種不同的方法;再接著涂頂點(diǎn)B有2種不同的方法;再涂C點(diǎn)時(shí),若C與A的顏色相同,則D有2種不同的涂法,E只有1種涂法,若C與A的顏色不相同,C只有1種涂法,若D與A的顏色相同,E有2種不同的涂法;若D與A的顏色不相同,則E只有1種涂法, 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的著色方案共有432[121+1(12+11)]= 120種. 12．【解析】由題意知m的可能取值為1,2,3，…，7；n的可能取值為1,2,3，…，9.由于是任取m，n，則若m＝1，n可取1,2,3，…，9，共9種情況；同理，m取2,3，…，7時(shí)，n也有9種情況，故m，n的取值情況共有79＝63種．若m，n都取奇數(shù)，則m的取值為1,3,5,7，n的取值為1,3,5,7,9，因此滿足條件的情形有45＝20種．故所求概率為. 13．90; 910n 【解析】4位回文數(shù)的特點(diǎn)為中間兩位相同,千位和個(gè)位相同但不能為0. 第一步,選千位數(shù)字,共有9種選法;第二步,選中間兩位數(shù)字,有10種選法,故4位回文數(shù)有9. 對于2n＋1(n∈)位回文數(shù)，第一步,選左邊第一個(gè)數(shù)字,共有9種選法;第二步,分別選左邊第2,3,4,…,n,n＋1個(gè)數(shù)字,共有10種選法,故2n＋1(n∈)位回文數(shù)有9 14．【解析】令，則，這時(shí)共種可能；若，則，這時(shí)共種可能；若，則，這時(shí)共種可能；…；若，共種可能.所以共有種可能；若則，共有種可能；同理，若則，共有11種可能；若則，共有種可能，這樣共有種可能. 另外，還有三種可能，所以總共有種可能，故不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，應(yīng)填. 15．【解析】首先分類的標(biāo)準(zhǔn)要正確，可以選擇“只會(huì)排版”、“只會(huì)印刷”、“既會(huì)排版又會(huì)印刷”中的一個(gè)作為分類的標(biāo)準(zhǔn).下面選擇“既會(huì)排版又會(huì)印刷”作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照被選出的人數(shù)，可將問題分為三類：第一類：2人全不被選出，即從只會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法；只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有31＝3種選法.第二類：2人中被選出一人，有2種選法.若此人去排版，則再從會(huì)排版的3人中選1人，有3種選法，只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有231＝6種選法；若此人去印刷，則再從會(huì)印刷的2人中選1人，有2種選法，從會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有232＝12種選法.再由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有6＋12＝18種選法.第三類：2人全被選出，同理共有16種選法.所以共有3＋18＋16＝37種選法. 16．B【解析】由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短路徑的條數(shù)為6，再從F處到G處最短路徑的條數(shù)為3，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為，故選B. 17．C 【解析】如圖，在上底面中選，四個(gè)側(cè)面中的面對角線都與它成60，共8對，同樣對應(yīng)的也有8對，下底面也有16對，這共有32對；左右側(cè)面與前后側(cè)面中共有16對.所以全部共有48對.