2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第25講 平面向量的概念及運(yùn)算教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第25講 平面向量的概念及運(yùn)算教案 新人教版一課標(biāo)要求:(1)平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何表示;(2)向量的線性運(yùn)算通過實例,掌握向量加、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義;通過實例,掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共線的含義;了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算; 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。二命題走向本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容,與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì),重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。此類題難度不大,分值59分。預(yù)測07年高考:(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題;(2)出題的知識點(diǎn)可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點(diǎn)位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問題。三要點(diǎn)精講1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用來表示,或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示,如:幾何表示法,;坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的模(長度),記作|即向量的大小,記作|。向量不能比較大小,但向量的??梢员容^大小。零向量長度為0的向量,記為,其方向是任意的,與任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的,且規(guī)定平行于任何向量,故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。(注意與0的區(qū)別)單位向量模為1個單位長度的向量,向量為單位向量1。平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上,方向相同或相反的向量,稱為平行向量,記作。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量),平行向量總可以平移到同一直線上,故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,只有大小、方向兩個要素,起點(diǎn)可以任意選取,現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義,要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合,記為。大小相等,方向相同。2向量的運(yùn)算(1)向量加法求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè),則+=。規(guī)定:(1);(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律;向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”(1)用平行四邊形法則時,兩個已知向量是要共始點(diǎn)的,和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線,而差向量是另一條對角線,方向是從減向量指向被減向量。(2) 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”,由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和;差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時,用平行四邊形法則;當(dāng)兩向量是首尾連接時,用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加: ,但這時必須“首尾相連”。(2)向量的減法 相反向量:與長度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有: (i)=; (ii) +()=()+=;(iii)若、是互為相反向量,則=,=,+=。向量減法向量加上的相反向量叫做與的差,記作:求兩個向量差的運(yùn)算,叫做向量的減法。作圖法:可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量(、有共同起點(diǎn))。(3)實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量,記作,它的長度與方向規(guī)定如下:();()當(dāng)時,的方向與的方向相同;當(dāng)時,的方向與的方向相反;當(dāng)時,方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。3兩個向量共線定理:向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù),使得=。4平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)使:其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5平面向量的坐標(biāo)表示(1)平面向量的坐標(biāo)表示:在直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知,該平面內(nèi)的任一向量可表示成,由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的,因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo),記作=(x,y),其中x叫作在x軸上的坐標(biāo),y叫做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定:(1)相等的向量坐標(biāo)相同,坐標(biāo)相同的向量是相等的向量;(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān)系。(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:若,則;若,則;若=(x,y),則=(x, y);若,則。四典例解析題型1:平面向量的概念例1(1)給出下列命題:若|,則=;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若=,=,則=;=的充要條件是|=|且/; 若/,/,則/;其中正確的序號是 。(2)設(shè)為單位向量,(1)若為平面內(nèi)的某個向量,則=|;(2)若與a0平行,則=|;(3)若與平行且|=1,則=。上述命題中,假命題個數(shù)是( )A0B1C2D3解析:(1)不正確兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同;正確; , 且,又 A,B,C,D是不共線的四點(diǎn), 四邊形 ABCD為平行四邊形;反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則,且,因此,。正確; =, ,的長度相等且方向相同;又, ,的長度相等且方向相同, ,的長度相等且方向相同,故。 不正確;當(dāng)/且方向相反時,即使|=|,也不能得到=,故|=|且/不是=的充要條件,而是必要不充分條件; 不正確;考慮=這種特殊情況; 綜上所述,正確命題的序號是。點(diǎn)評:本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多,因而容易遺忘。為此,復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu),另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。(2)向量是既有大小又有方向的量,與|模相同,但方向不一定相同,故(1)是假命題;若與平行,則與方向有兩種情況:一是同向二是反向,反向時=|,故(2)、(3)也是假命題。綜上所述,答案選D。點(diǎn)評:向量的概念較多,且容易混淆,故在學(xué)習(xí)中要分清,理解各概念的實質(zhì),注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。題型2:平面向量的運(yùn)算法則例2(1)如圖所示,已知正六邊形ABCDEF,O是它的中心,若=,=,試用,將向量, 表示出來。(2)(06上海理,13)如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是( )A B C D(3)(06廣東,4)如圖1所示,D是ABC的邊AB上的中點(diǎn),則向量( )A BC D(1)解析:根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則,用向量,來表示其他向量,只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因為六邊形ABCDEF是正六邊形,所以它的中心O及頂點(diǎn)A,B,C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO,所以,=,= =+,由于A,B,O,F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF,所以=+=+=2+,同樣在平行四邊形 BCDO中,()2,。點(diǎn)評:其實在以A,B,C,D,E,F(xiàn)及O七點(diǎn)中,任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn),均可用 ,表示,且可用規(guī)定其中任兩個向量為,另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn),也可用,表示。(2)C(3),故選A。例3設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn),試化簡:,。解析:原式= ;原式= ;原式= 。例4設(shè)為未知向量,、為已知向量,解方程2-(5+3-4)+ -3=0解析:原方程可化為:(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0, =+ 。點(diǎn)評:平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則,求解時兼顧到向量的性質(zhì)。題型3:平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算例5已知中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC邊上的高為AD,求。解析:設(shè)D(x,y),則得所以。例6已知點(diǎn),試用向量方法求直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))交點(diǎn)的坐標(biāo)。解析:設(shè),則因為是與的交點(diǎn),所以在直線上,也在直線上。即得,由點(diǎn)得,。得方程組,解之得。故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為。題型4:平面向量的性質(zhì)例7平面內(nèi)給定三個向量,回答下列問題:(1)求滿足的實數(shù)m,n;(2)若,求實數(shù)k;(3)若滿足,且,求。解析:(1)由題意得,所以,得。(2),;(3)由題意得,得或。例8已知(1)求;(2)當(dāng)為何實數(shù)時,與平行, 平行時它們是同向還是反向?解析:(1)因為所以則(2),因為與平行,所以即得。此時,則,即此時向量與方向相反。點(diǎn)評:上面兩個例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn),重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法。題型5:共線向量定理及平面向量基本定理例9(xx天津文12,理10)平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3),若點(diǎn)C滿足,其中、R,且+=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為( )A3x+2y11=0 B(x1)2+(y2)2=5C2xy=0 Dx+2y5=0解法一:設(shè),則。由得,于是,先消去,由得。再消去得,所以選取D。解法二:由平面向量共線定理,當(dāng),時,A、B、C共線。因此,點(diǎn)C的軌跡為直線AB,由兩點(diǎn)式直線方程得即選D。點(diǎn)評:熟練運(yùn)用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算;兩個向量平行的坐標(biāo)表示;運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合。例10(1)(06福建理,11)已知=1,=,=0,點(diǎn)C在AOB內(nèi),且AOC=30,設(shè)=m+n(m、nR),則等于( )A B3 C DABOM圖(2)(06湖南文,10)如圖:OMAB,點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界).且,則實數(shù)對(x,y)可以是( )AB. C. D. 解析:(1)B;(2)C。題型6:平面向量綜合問題例11已知向量與的對應(yīng)關(guān)系用表示。(1)證明:對于任意向量及常數(shù)m,n恒有成立;(2)設(shè),求向量及的坐標(biāo);(3)求使,(p,q為常數(shù))的向量的坐標(biāo)解析:(1)設(shè),則,故,(2)由已知得=(1,1),=(0,1)(3)設(shè)=(x,y),則,y=p,x=2pq,即=(2Pq,p)。例12求證:起點(diǎn)相同的三個非零向量,32的終點(diǎn)在同一條直線上。證明:設(shè)起點(diǎn)為O,=,32,則=2(),=, 共線且有公共點(diǎn)A,因此,A,B,C三點(diǎn)共線,即向量,32的終點(diǎn)在同一直線上點(diǎn)評:(1)利用向量平行證明三點(diǎn)共線,需分兩步完成: 證明向量平行; 說明兩個向量有公共點(diǎn);用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成:證明向量平行;說明兩向量無公共點(diǎn)。五思維總結(jié)數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成基本技能的“藍(lán)本”,能力是在知識傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習(xí)題相同或相似,雖然只是個別小題,但它對學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義,教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此,學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個局部知識按照一定的觀點(diǎn)和方法組織成整體,形成知識體系。學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn),以數(shù)代形,以形觀數(shù),用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題,特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系,正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理,計算向量的模、兩點(diǎn)的距離等。由于向量是一新的工具,它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查,是知識的交匯點(diǎn)。(1)向量的加法與減法是互逆運(yùn)算;(2)相等向量與平行向量有區(qū)別,向量平行是向量相等的必要條件;(3)向量平行與直線平行有區(qū)別,直線平行不包括共線(即重合),而向量平行則包括共線(重合)的情況;(4)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān)系;- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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