2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積教案 新人教B版必修2教學(xué)分析本節(jié)教材介紹了祖暅原理,并利用長(zhǎng)方體體積推導(dǎo)出了柱體的體積公式利用柱體體積推導(dǎo)出了錐體和臺(tái)體的體積直接給出了球的體積公式值得注意的是教學(xué)重點(diǎn)放在體積的計(jì)算和應(yīng)用,盡量在體積公式的推導(dǎo)上少“糾纏”三維目標(biāo)1掌握柱、錐、臺(tái)和球的體積公式,培養(yǎng)學(xué)生的探究能力2能夠利用體積公式解決有關(guān)應(yīng)用問題,提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):體積的計(jì)算和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn):體積公式的推導(dǎo)課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)會(huì)根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方體的體積了,那么,棱柱、棱錐、棱臺(tái)以及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積如何計(jì)算呢?設(shè)計(jì)2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔,在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長(zhǎng)歲月中,胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代,埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多,每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔的,真是一個(gè)十分難解的謎胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑,塔底邊長(zhǎng)230.4米,塔高146.6米,假如知道每塊石塊的體積,你能計(jì)算出建此金字塔用了多少石塊嗎?推進(jìn)新課(1)回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式,你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎?并依次類比出柱體的體積公式?,(2)比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式:,V柱體Sh(S為底面積,h為柱體的高);,V錐體 (S為底面積,h為錐體的高);,V臺(tái)體 (Sr(SS)S)h(S、S分別為上、下底面積,h為臺(tái)體的高).,你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎?柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體?其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式?討論結(jié)果:(1)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積Va3a2aSh;長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a、b、c,其體積為Vabc(ab)cSh;底面半徑為r高為h的圓柱的體積是Vr2hSh,可以類比,一般的柱體的體積也是VSh,其中S是底面面積,h為柱體的高圓錐的體積公式是VSh(S為底面面積,h為高),它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積VSh(S為底面面積,h為高)由此可見,棱柱與圓柱的體積公式類似,都是底面面積乘高;棱錐與圓錐的體積公式類似,都是底面面積乘高的.由于圓臺(tái)(棱臺(tái))是由圓錐(棱錐)截成的,因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差,得到圓臺(tái)(棱臺(tái))的體積公式V(SS)h,其中S、S分別為上、下底面面積,h為圓臺(tái)(棱臺(tái))高注意:不要求推導(dǎo)公式,也不要求記憶(2)柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體,錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體當(dāng)S0時(shí),臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)SS時(shí),臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式,因此,柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到,柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體,錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體,因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如下圖:思路1例1如下圖所示,在長(zhǎng)方體ABCDABCD中,用截面截下一個(gè)棱錐CADD,求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比解:已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱ADDABCCB,設(shè)它的底面ADDA面積為S,高為h,則它的體積為VSh.因?yàn)槔忮FCADD的底面面積為S,高是h,所以棱錐CADD的體積VCADDShSh.余下的體積是ShShSh.所以棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為15.變式訓(xùn)練已知一正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為4 cm,下底邊長(zhǎng)為8 cm,高為3 cm.求其體積解:V(S上S下)h(4282)3112(cm3)即正四棱臺(tái)的體積為112 cm3.例2有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯(下圖),共重5.8 kg.已知螺帽的底面六邊形邊長(zhǎng)是12 mm,高是10 mm,內(nèi)孔直徑是10 mm,這一堆螺帽約有多少個(gè)(鐵的密度是7.8 g/cm3,3.14)?解:六角螺帽毛坯的體積是一個(gè)正六棱柱的體積和一個(gè)圓柱的體積的差因?yàn)閂正六棱柱612(12sin60)103122103.74103(mm3),V圓柱3.14(102)2100.785103(mm3),所以一個(gè)螺帽的體積V3.741030.7851032.96103(mm3)2.96(cm3)因此約有5.8103(7.82.96)2.5102(個(gè))答:這堆螺帽約有250個(gè)變式訓(xùn)練埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年,其形狀為正四棱錐金字塔高146.6 m,底面邊長(zhǎng)230.4 m問這座金字塔的側(cè)面積和體積各是多少?解:如下圖,AC為高,BC為底面的邊心距,則AC146.6,BC115.2,底面周長(zhǎng)c4230.4.S側(cè)面積cAB4230.485 916.2(m2),VSAC230.42146.62 594 046.0(m3)答:金字塔的側(cè)面積約是85 916.2 m2,體積約是2 594 046.0 m3.思路2例3如下圖所示,一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,那么這個(gè)幾何體的體積為()A1 B. C. D.活動(dòng):讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖,討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征解析:根據(jù)三視圖,可知該幾何體是三棱錐,下圖所示為該三棱錐的直觀圖,并且側(cè)棱PAAB,PAAC,ABAC.則該三棱錐的高是PA,底面三角形是直角三角形,所以這個(gè)幾何體的體積為VSABCPA1.答案:D點(diǎn)評(píng):本題主要考查幾何體的三視圖和體積給出幾何體的三視圖,求該幾何體的體積或面積時(shí),首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征,再利用公式求得此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn),應(yīng)引起重視變式訓(xùn)練1如果一個(gè)空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形,俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心,那么這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.解析:由三視圖知該幾何體是圓錐,且軸截面是等邊三角形,其邊長(zhǎng)等于底面直徑2,則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為,所以這個(gè)幾何體的體積為V12.答案:A2.已知某幾何體的俯視圖是如下圖所示的矩形,正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形,側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解:由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)分別為6、8的矩形,高為4的四棱錐設(shè)底面矩形為ABCD.如下圖所示,AB8,BC6,高VO4. (1)V(86)464.(2)設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形,側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形,在VBC中,BC邊上的高為h14,在VAB中,AB邊上的高為h25.所以此幾何體的側(cè)面積S2(6485)4024.點(diǎn)評(píng):高考試題中對(duì)面積和體積的考查有三種方式:一是給出三視圖,求其面積或體積;二是與組合體有關(guān)的面積和體積的計(jì)算;三是在解答題中,作為最后一問,求出幾何體的面積或體積3(xx 山東省煙臺(tái)市高三期末統(tǒng)考,文6)已知一個(gè)全面積為24的正方體,內(nèi)有一個(gè)與每條棱都相切的球,則此球的體積為 ()A. B4 C. D.解析:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則6a224,解得a2,又球與正方體的每條棱都相切,則正方體的截面對(duì)角線長(zhǎng)2等于球的直徑,則球的半徑是,則此球的體積為()3.答案:D點(diǎn)評(píng):球與其他幾何體的簡(jiǎn)單組合體問題,通常借助于球的截面來(lái)明確構(gòu)成組合體的幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其聯(lián)系,本題利用正方體的面的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑這一隱含條件使得問題順利獲解1三個(gè)球的半徑之比為123,那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的 ()A1倍 B2倍 C.倍 D.倍解析:根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍,可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r,則另兩個(gè)為2r、3r,所以各球的表面積分別為4r2、16r2、36r2,(倍)答案:C2(xx天津高考,理12)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為_解析:長(zhǎng)方體的對(duì)角線為,則球的半徑為,則球的表面積為4()214.答案:143一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,若該球的體積為4,則該正方體的表面積為_解析:4R3,R(R為球的半徑)a2R2.a2(a為正方體棱長(zhǎng))S表6a224.答案:244.如下圖所示,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:(1)球的體積等于圓柱體積的;(2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積活動(dòng):學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征,并展開空間想象教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形證明:(1)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.則有V球R3,V圓柱R22R2R3,所以V球V圓柱(2)因?yàn)镾球4R2,S圓柱側(cè)2R2R4R2,所以S球S圓柱側(cè)5養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12 m,高4 m養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù),以存放更多食鹽現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4 m(高不變);二是高度增加4 m(底面直徑不變)(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積;(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面積;(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些?解:(1)如果按方案一,倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m,則倉(cāng)庫(kù)的體積V1Sh()24(m3)如果按方案二,倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m,則倉(cāng)庫(kù)的體積V2Sh()28(m3)(2)如果按方案一,倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m,半徑為8 m棱錐的母線長(zhǎng)為l4.則倉(cāng)庫(kù)的表面積S18432(m2)如果按方案二,倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m,棱錐的母線長(zhǎng)為l10,則倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面積S261060(m2)(3)V2V1,S2S1,方案二比方案一更加經(jīng)濟(jì)1如左下圖,一個(gè)正三棱柱形容器,底面邊長(zhǎng)為a,高為2a,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個(gè)側(cè)面作為底面,如右下圖,這時(shí)水面恰好為中截面,則左下圖中容器內(nèi)水面的高度是_分析:右上圖中容器內(nèi)水面的高度為h,水的體積為V,則VSABCh.又右上圖中水組成了一個(gè)直四棱柱,其底面積為SABC,高度為2a,則VSABC2a,ha.答案:a2圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為2、4,截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的高為6,則這個(gè)圓臺(tái)的體積是_解析:設(shè)這個(gè)圓臺(tái)的高為h,畫出圓臺(tái)的軸截面,可得,解得h3,所以這個(gè)圓臺(tái)的體積是(222442)328.答案:28本節(jié)學(xué)習(xí)了:1簡(jiǎn)單幾何體的體積公式2解決有關(guān)計(jì)算問題新課標(biāo)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式),也就是說(shuō)對(duì)體積和面積公式的推導(dǎo)、證明和記憶不作要求,按通常的理解是會(huì)求體積和面積,以及很簡(jiǎn)單的應(yīng)用即可因此本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)中就體現(xiàn)了這一點(diǎn),把重點(diǎn)放在了對(duì)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用上由于本節(jié)圖形較多,建議在使用時(shí),盡量結(jié)合信息技術(shù)從洗澡的故事說(shuō)起關(guān)于阿基米德,流傳著這樣一段有趣的故事相傳敘拉古赫國(guó)王讓工匠替他做了一頂純金的王冠,做好后,國(guó)王疑心工匠在金冠中摻了假,但這頂金冠的確與當(dāng)初交給金匠的純金一樣重,到底工匠有沒有搗鬼呢?既想檢驗(yàn)真假,又不能破壞王冠,這個(gè)問題不僅難倒了國(guó)王,也使諸大臣們面面相覷后來(lái),國(guó)王請(qǐng)阿基米德來(lái)檢驗(yàn)最初,阿基米德也是冥思苦想而不得要領(lǐng)一天,他去澡堂洗澡,當(dāng)他坐進(jìn)澡盆里時(shí),看到水往外溢,同時(shí)感到身體被輕輕托起他突然悟到可以用測(cè)定固體在水中排水量的辦法,來(lái)確定金冠的比重他興奮地跳出澡盆,連衣服都顧不得穿就跑了出去,大聲喊著:“尤里卡!尤里卡!”(Fureka,意思是“我知道了”)他經(jīng)過(guò)了進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以后來(lái)到王宮,他把王冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個(gè)盆里,比較兩盆溢出來(lái)的水,發(fā)現(xiàn)放王冠的盆里溢出來(lái)的水比另一盆多這就說(shuō)明王冠的體積比相同重量的純金的體積大,所以證明了王冠里摻進(jìn)了其他金屬他的這一發(fā)現(xiàn)在物理學(xué)課本上被稱作“阿基米德原理”,是流體靜力學(xué)中的第一個(gè)基本原理- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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