2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.30《二次函數(shù)與一元二次方程》教案蘇教版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.30《二次函數(shù)與一元二次方程》教案蘇教版必修1 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 二次函數(shù)與 一元二次方程 函數(shù)的零點(diǎn) 二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng) 一元二次方程根的關(guān)系 函數(shù)的零點(diǎn)與 對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系 二次函數(shù) 的零點(diǎn) 學(xué)習(xí)要求 1．能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號(hào)，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)； 2．了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系及判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間； 3．體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 自學(xué)評(píng)價(jià) 1.二次函數(shù)的零點(diǎn)的概念 一元二次方程的根也稱為二次函數(shù)（≠0）的零點(diǎn)． 2. 二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系 （1）一元二次方程（≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（≠0）的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（≠0）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，； （2）一元二次方程（≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=判別式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（≠0）的圖象與軸有唯一的交點(diǎn)為（，0）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（≠0）有兩個(gè)相同零點(diǎn)=； （3）一元二次方程（≠0）沒有實(shí)數(shù)根判別式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（≠0）的圖象與軸沒有交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（≠0）沒有零點(diǎn)． 3. 推廣 ⑴函數(shù)的零點(diǎn)的概念 一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù) 的零點(diǎn)． ⑵函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系 方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)． 【精典范例】 例1：求證：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 【解】證法1 ∵= ∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 證法2 設(shè)， ∵函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，且∴函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 點(diǎn)評(píng):例1還可用配方法將方程化為再證明．也可仿照證法2，由拋物線開口向上及來推證． 例2：右圖是一個(gè)二次函數(shù)的圖象． （1）寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)； （2）寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （3）試比較，與的大小關(guān)系． 【解】（1）由圖象可知此函數(shù)的零點(diǎn)是：，． （2）由（1）可設(shè)= ∵ ∴ ∴．即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為． （3）∵，， ，， ∴，． 點(diǎn)評(píng):例2進(jìn)一步體現(xiàn)了利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的思想． 例3：當(dāng)關(guān)于的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍： （1）方程的兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2； （2）方程的兩根都小于； （3）方程的兩根都在區(qū)間上； （4）方程的一個(gè)根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上； （5）方程至少有一個(gè)實(shí)根小于． 分析：可將方程的左端設(shè)為函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象，確定的不等式（組）． 【解】⑴ 設(shè)，其圖象為開口向上的拋物線．若要其與軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)，只需，即，∴ ． ⑵ 當(dāng)時(shí)，滿足題意． 當(dāng)時(shí)，設(shè). 若要 方程兩根都小于1，只要 綜上，方程的根都小于1時(shí)， ⑶ 設(shè)則方程兩個(gè)根都在 上等價(jià)于： ∴． （4）設(shè)，則方程一個(gè)根在上，另一根在上等價(jià)于 或． （5）設(shè)，若方程的兩個(gè)實(shí)根都小于，則有 若方程的兩個(gè)根一個(gè)大于，另一個(gè)小于1，則有, ∴． 若方程的兩個(gè)根中有一個(gè)等于，由根與系數(shù)關(guān)系知另一根必為， ∴， ∴． 綜上，方程至少有一實(shí)根小于時(shí)，． 點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)是高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)的主要紐帶，函數(shù)綜合題往往以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性及二次方程實(shí)根分布問題、二次不等式的解集問題等，考查形式靈活多樣，考查思想涉及到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，高考在此設(shè)計(jì)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本要求，在學(xué)習(xí)中一方面要加強(qiáng)訓(xùn)練，一方面要提高分析問題、解決問題的能力． 追蹤訓(xùn)練一 1. 函數(shù)的最大值是，則 （ D ） A． B． C． D． 2. 設(shè)，, ，則 （ B ） A． B． C． D． 3. 若關(guān)于的方程有一根在內(nèi)，則_____． 4.若二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_________________． 【選修延伸】 一、二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系 例4:已知，是方程 ()的兩個(gè)實(shí)根，求的最大值和最小值． 分析:一元二次方程與二次函數(shù)有很多內(nèi)在聯(lián)系．要求的最值，首先要考慮根與系數(shù)的關(guān)系，并由此得到以為自變量的的函數(shù)解析式． 【解】因?yàn)榉匠?)有兩個(gè)實(shí)根，所以 ，解得 又，， 所以 ． 而是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值． 點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)與一元二次方程根有關(guān)的問題，必須先確定的取值范圍，否則無法確定函數(shù)的單調(diào)性． ． 追蹤訓(xùn)練二 1． 若方程在內(nèi)恰有 一解，則的取值范圍是（ B ） A． B． C． D． 2．已知，并且、是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)、、、的大小關(guān)系可能是（ A ） A．　　　B． C．　D． 3．不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都立，則的取值范圍是. 4． 已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中，且， （1）求證：兩函數(shù)、的圖象交于不同兩點(diǎn)、； （2）求線段在軸上投影長度的取值范圍． 答案：（1）∵，，∴,．由 得， 因?yàn)椋? 所以兩函數(shù)、的圖象必交于不同的兩點(diǎn)； （2）設(shè)，，則 ．∵，，∴． ∴（，）． 第30課二次函數(shù)與一元二次方程 分層訓(xùn)練： 1．函數(shù)的零點(diǎn)是（ ） A．， B．， C．， D．不存在 2．關(guān)于的不等式的解集是，則等于（ ） A． B． C． D． 3．不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍是（　 ） A． 　B． C．　 D． 4．已知函數(shù)的圖象在軸的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 5．已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并結(jié)合圖象指出當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)值大于； （2）設(shè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，它與軸的交點(diǎn)為、，求的面積． 6．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 8．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是 ． 9．已知函數(shù)，． （1）若，求的最大值與最小值，并指出相應(yīng)的的值； （2）若恒成立，求的取值范圍． 拓展延伸 10．已知函數(shù) (1)當(dāng)時(shí)，其值為正； 時(shí)，其值為負(fù)，求的值及的表達(dá)式． (2)設(shè) 當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)的值恒為負(fù)值． 11．已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）滿足條件：且方程有等根. （1）求的解析式； （2）是否存在實(shí)數(shù)、，使的定義域和值域分別為和，如果存在，求出、的值；如果不存在，說明理由.