2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1 教學(xué)分析 有了前面的知識儲備,我們就可以順理成章地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念,作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等.同時,編寫時充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點,教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計算器和計算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持. 三維目標(biāo) 1.通過實際問題了解指數(shù)函數(shù)的實際背景,理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),體會具體到一般數(shù)學(xué)討論方式及數(shù)形結(jié)合的思想. 2.讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活,數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計算能力. 3.通過訓(xùn)練點評,讓學(xué)生更能熟練指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象,讓學(xué)生通過觀察,進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美. 重點難點 教學(xué)重點:指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用. 教學(xué)難點:指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納、概括及其應(yīng)用. 課時安排 2課時 第1課時 導(dǎo)入新課 思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關(guān)系式,它是函數(shù)關(guān)系式嗎?若是,請計算若要使存留的污垢不超過原有的,則至少要漂洗幾次?教師引導(dǎo)學(xué)生分析,列出關(guān)系式y(tǒng)=()x,發(fā)現(xiàn)這個關(guān)系式是個函數(shù)關(guān)系且它的自變量在指數(shù)的位置上,這樣的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),引出本節(jié)課題. 思路2.教師復(fù)習(xí)提問指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),并要求學(xué)生計算23,20,2-2,16.再提問怎樣畫函數(shù)的圖象,學(xué)生思考,分組交流,寫出自己的答案8,1,,2,9,,先建立平面直角坐標(biāo)系,再描點,最后連線.點出本節(jié)課題. 推進(jìn)新課 1.一種放射性物質(zhì)不斷衰減為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩留量約是原來的84%,求出這種物質(zhì)經(jīng)過x年后的剩留量y與x的關(guān)系式是__________. 2.某種細(xì)胞分裂時,由一個分裂成兩個,兩個分裂成四個,四個分裂成十六個,依次類推,一個這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞個數(shù)y與x的關(guān)系式是__________. 討論結(jié)果:1.y=0.84x 2.y=2x 活動:先讓學(xué)生仔細(xì)觀察,交流討論,然后回答,教師提示點撥,及時鼓勵表揚(yáng)給出正確結(jié)論的學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己應(yīng)用知識的能力,教師巡視,個別輔導(dǎo),針對學(xué)生共性的問題集中解決. 對于問題(1),看這兩個函數(shù)的共同特征,主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值. 對于問題(2),一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量. 對于問題(3),為了使運(yùn)算有意義,同時也為了問題研究的必要性. 對于問題(4),在(3)的規(guī)定下,我們可以把a(bǔ)x看成一個冪值,一個正數(shù)的任何次冪都有意義. 對于問題(5),使學(xué)生回想指數(shù)函數(shù)的定義,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù),緊扣指數(shù)函數(shù)的形式. 討論結(jié)果:(1)對于兩個解析式我們看到每給自變量x一個值,y都有唯一確定的值和它對應(yīng),再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上,它們的底數(shù)都大于0,但一個大于1,一個小于1.0.84與2雖然不同,但它們是兩個函數(shù)關(guān)系中的常量,因為變量只有x和y. (2)對于兩個解析式y(tǒng)=0.84x和y=2x,我們把兩個函數(shù)關(guān)系中的常量用一個字母a來表示,這樣我們得到指數(shù)函數(shù)的定義: 一般地,函數(shù)y=ax(a>0,a≠1,x∈R)叫做指數(shù)函數(shù),其中x叫做自變量,函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (3)a=0時,x>0時,ax總為0;x≤0時,ax沒有意義. a<0時,如a=-2,x=,ax=(-2)=顯然是沒有意義的. a=1時,ax恒等于1,沒有研究的必要. 因此規(guī)定a>0,a≠1.此解釋只要能說明即可,不要深化. (4)因為a>0,x可以取任意的實數(shù),所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (5)判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù),一是看底數(shù)是否是一個常數(shù),再就是看自變量是否是一個x且在指數(shù)位置上,滿足這兩個條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù). (1)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時候,根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質(zhì),對指數(shù)函數(shù)呢? 2)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時候,如何作函數(shù)的圖象?說明它的步驟., 3)利用上面的步驟,作函數(shù)y=2x的圖象. 4)利用上面的步驟,作函數(shù)的圖象. 5)觀察上面兩個函數(shù)的圖象各有什么特點,再畫幾個類似的函數(shù)圖象,看是否也有類似的特點? 6)根據(jù)上述幾個函數(shù)圖象的特點,你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎? 7)把y=2x和的圖象,放在同一坐標(biāo)系中,你能發(fā)現(xiàn)這兩個圖象的關(guān)系嗎? 8)你能證明上述結(jié)論嗎? 9)能否用y=2x的圖象畫的圖象?請說明畫法的理由. 10)什么是限制函數(shù)? 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質(zhì),共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的方法,強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合,強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用,注意從具體到一般的思想方法的運(yùn)用,滲透概括能力的培養(yǎng),進(jìn)行課堂巡視,個別輔導(dǎo),投影展示畫得好的部分學(xué)生的圖象,及時評價學(xué)生,補(bǔ)充學(xué)生回答中的不足.學(xué)生獨(dú)立思考,提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路,獨(dú)立畫圖,觀察圖象及表格,表述自己的發(fā)現(xiàn),同學(xué)們相互交流,形成對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識,推薦代表發(fā)表本組的集體的認(rèn)識. 討論結(jié)果:(1)我們研究函數(shù)時,根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),由具體到一般,一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,有時也通過畫函數(shù)圖象,從圖象的變化情況來看函數(shù)的性質(zhì). (2)一般是列表,描點,連線,借助多媒體手段畫出圖象,用計算機(jī)作函數(shù)的圖象. (3)列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x … 1 2 4 8 … 作圖如下所示. (4)列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=()x … 8 4 2 1 … 作圖如下圖. (5)通過觀察上圖,可知圖象左右延伸無止境,說明定義域是實數(shù).圖象自左至右是上升的,說明是增函數(shù),圖象位于x軸上方,說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(0,1),且y值分布有以下特點:x<0時,0<y<1;x>0時,y>1.圖象不關(guān)于x軸對稱,也不關(guān)于y軸對稱,說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 通過觀察下圖,可知圖象左右延伸無止境,說明定義域是實數(shù).圖象自左至右是下降的,說明是減函數(shù),圖象位于x軸上方,說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(0,1),且y值分布有以下特點:x<0時,y>1;x>0時,0<y<1.圖象不關(guān)于x軸對稱,也不關(guān)于y軸對稱,說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 可以再畫下列函數(shù)的圖象以作比較,y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.重新觀察函數(shù)圖象的特點,推廣到一般的情形. (6)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax在a>1和0<a<1的情況下,它的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)如下表所示. 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 向x軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的定義域為R 圖象關(guān)于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在x軸上方 函數(shù)的值域為R+ 函數(shù)圖象都過定點(0,1) a0=1 自左向右,圖象逐漸上升 自左向右,圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 x>0,ax>1 x>0,ax<1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 x<0,ax<1 x<0,ax>1 一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示: a>1 0<a<1 圖象 性質(zhì) ①定義域:R ②值域:(0,+∞) ③過點(0,1),即x=0時y=1 ④在R上是增函數(shù),當(dāng)x<0時,0<y<1;當(dāng)x>0時,y>1 ④在R上是減函數(shù),當(dāng)x<0時,y>1;當(dāng)x>0時,0<y<1 (7)在同一坐標(biāo)系中作出y=2x和y=()x兩個函數(shù)的圖象,如下圖.經(jīng)過仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn),它們的圖象關(guān)于y軸對稱. (8)證明:設(shè)點P(x1,y1)是y=2x上的任意一點,它關(guān)于y軸的對稱點是P1(-x1,y1),它滿足方程y=()x=2-x, 即點P1(-x1,y1)在y=()x的圖象上.反之亦然,所以y=2x和y=()x兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱. (9)因為y=2x和y=()x兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以可以先畫其中一個函數(shù)的圖象,利用軸對稱的性質(zhì)可以得到另一個函數(shù)的圖象,同學(xué)們一定要掌握這種作圖的方法,對以后的學(xué)習(xí)非常有好處. (10)由指數(shù)函數(shù)的定義可知,指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集,但在實際問題中不都如此.例如,開始引進(jìn)的兩個函數(shù)的例子,函數(shù)y=2x的定義域是非負(fù)整數(shù)集,函數(shù)y=0.84x的定義域是正整數(shù)集,它們的定義域都是指數(shù)函數(shù)定義域的子集,而且它們在其定義域內(nèi)分別與指數(shù)函數(shù)y=2x,y=0.84x取相同的值.通常,我們把這類函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)的“限制函數(shù)”. 思路1 例1判斷下列函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù)? y=x2,y=8x,y=24x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2. 活動:學(xué)生觀察,小組討論,嘗試解決以上題目,學(xué)生緊扣指數(shù)函數(shù)的定義解題,因為y=x2,y=24x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教師強(qiáng)調(diào)y=ax的形式的重要性,即a前面的系數(shù)為1,a是一個正常數(shù)(也可以是一個表示正常數(shù)的代數(shù)式),指數(shù)必須是x的形式或通過轉(zhuǎn)化后能化為x的形式. 解:y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=πx是指數(shù)函數(shù);y=(-4)x,y=x2,y=24x,y=6x3+2不是指數(shù)函數(shù). 變式訓(xùn)練 函數(shù)y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指數(shù)函數(shù)的有哪些? 答案:y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=[()-2]x都是指數(shù)函數(shù). 2比較下列各題中的兩個值的大小: (1)1.72.5與1.73;(2)0.8-0.1與0.8-0.2;(3)1.70.3與0.93.1. 活動:學(xué)生自己思考或討論,回憶比較數(shù)的大小的方法,結(jié)合題目實際,選擇合理的,再寫出(最好用實物投影儀展示寫得正確的答案),比較數(shù)的大小,一是作差,看兩個數(shù)差的符號,若為正,則前面的數(shù)大;二是作商,但必須是同號數(shù),看商與1的大小,再決定兩個數(shù)的大?。蝗怯嬎愠雒總€數(shù)的值,再比較大小;四是利用圖象;五是利用函數(shù)的單調(diào)性.教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正并及時評價. 解法一:用數(shù)形結(jié)合的方法,如第(1)小題,用圖形計算器或計算機(jī)畫出y=1.7x的圖象,如下圖. 在圖象上找出橫坐標(biāo)分別為2.5、3的點,顯然,圖象上橫坐標(biāo)為3的點在橫坐標(biāo)為2.5的點的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二:用計算器直接計算:1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三:利用函數(shù)單調(diào)性: (1)1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7,它們可以看成函數(shù)y=1.7x,當(dāng)x=2.5和3時的函數(shù)值;因為1.7>1,所以函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),而2.5<3,所以1.72.5<1.73. (2)0.8-0.1與0.8-0.2的底數(shù)是0.8,它們可以看成函數(shù)y=0.8x,當(dāng)x=-0.1和-0.2時的函數(shù)值;因為0<0.8<1,所以函數(shù)y=0.8x在R上是減函數(shù),而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2. (3)因為1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1. 點評:在第(3)小題中,可以用解法一、解法二解決,但不適合.由于1.70.3與0.93.1不能直接看成某個函數(shù)的兩個值,因此,在這兩個數(shù)值間找到1,把這兩數(shù)值分別與1比較大小,進(jìn)而比較1.70.3與0.93.1的大小,這里的1是中間值. 變式訓(xùn)練 1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小順序排列a,b,c. 答案:b<a<c(a、b可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較,而c是大于1的). 2.比較a與a的大小(a>0且a≠0). 答案:分a>1和0<a<1兩種情況討論.當(dāng)0<a<1時,a>a;當(dāng)a>1時,a<a. 3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大?。? (1)1.7a與1.7a+1; (2)已知()a>()b,比較a,b的大?。? 解:(1)考察函數(shù)y=1.7x,它在實數(shù)集上是增函數(shù). 因為a<a+1,所以1.7a<1.7a+1. (2)考察函數(shù)y=()x,它在實數(shù)集上是減函數(shù). 因為()a>()b,所以a<b. 思路2 例1求下列函數(shù)的定義域和值域: (1);(2). 活動:學(xué)生先思考,再回答,由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的定義域是R,所以這類類似指數(shù)函數(shù)的函數(shù)的定義域要借助指數(shù)函數(shù)的定義域來求,教師適時點撥和提示,求定義域,只需使指數(shù)有意義即可,轉(zhuǎn)化為解不等式. 解:(1)令x-4≠0,則x≠4,所以函數(shù)y=2的定義域是{x∈R|x≠4}, 又因為≠0,所以≠1,即函數(shù)的值域是{y|y>0且y≠1}. (2)因為-|x|≥0,所以只有x=0. 因此函數(shù)的定義域是{x|x=0}. 而=()0=1,即函數(shù)的值域是{y|y=1}. 點評:求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域時,要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求,并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,特別是第(1)題千萬不能漏掉y>0. 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的定義域和值域: (1)y=()2x-x2;(2)y=;(3)y=(a>0,a≠1). 解:(1)函數(shù)y=()2x-x2的定義域是R,值域是[,+∞). (2)函數(shù)y=的定義域是[-,+∞),值域是[0,+∞). (3)當(dāng)a>1時,定義域是{x|x≥0},當(dāng)0<a<1時,定義域是{x|x≤0},值域是[0,+∞). 2比較下列兩個數(shù)的大小: (1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4). 活動:教師提示學(xué)生指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)學(xué)生的解題情況及時評價學(xué)生. 解法一:直接用科學(xué)計算器計算各數(shù)的值,再對兩個數(shù)進(jìn)行大小的比較: 對(1),因為30.8=2.408 225,30.7=2.157 669,所以30.8>30.7; 對(2),因為0.75-0.1=1.029 186,0.750.1=0.971 642,所以0.75-0.1>0.750.1; 對(3),因為1.80.6=1.422 864,0.81.6=0.699 752,所以1.80.6>0.81.6; 對(4),因為=2.080 084,2-=0.659 754,所以>2-. 解法二:利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個數(shù)進(jìn)行大小的比較: 對(1),因為函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù),0.8>0.7,所以30.8>30.7; 對(2),因為函數(shù)y=0.75x在R上是減函數(shù),0.1>-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1; 對(3),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6; 對(4),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知>()0=1=20>2-,所以>2-. 解法三:利用圖象法來解,具體解法略. 點評:在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個數(shù)進(jìn)行大小比較時,首先把這兩個數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.若兩個數(shù)不是同一函數(shù)的兩個函數(shù)值,則尋求一個中間量,兩個數(shù)都與這個中間量進(jìn)行比較,這是常用的比較數(shù)的大小的方法,然后得兩個數(shù)的大小,數(shù)學(xué)上稱這種方法為“中間量法”. 變式訓(xùn)練 1.下列關(guān)系中正確的是( ) 答案:D 2.函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)對任意的實數(shù)x、y都有( ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案:C 3.函數(shù)y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒過定點__________. 答案:(-5,2) 探究一: 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=10x的圖象,比較這三個函數(shù)增長的快慢. 活動:學(xué)生深刻回顧作函數(shù)圖象的方法,交流作圖的體會.列表、描點、連線,作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=10x的圖象,如下圖. x … -2 -1 0 1 2 3 … 10 … y=2x … 0.25 0.5 1 2 4 8 … 1 024 … y=3x … 0.11 0.33 1 3 9 27 … 59 049 … y=10x … 0.01 0.1 1 10 100 1 000 … 1010 … 從表格或圖象可以看出: (1)x<0時,有2x>3x>10x; (2)x>0時,有2x<3x<10x; (3)當(dāng)x從0增長到10,函數(shù)y=2x的值從1增加到1 024,而函數(shù)y=3x的值從1增加到59 049.這說明x>0時y=3x比y=2x的函數(shù)值增長得快.同理y=10x比y=3x的函數(shù)值增長得快. 因此得:一般地,a>b>1時,(1)x<0時,有ax<bx<1; (2)x=0時,有ax=bx=1; (3)x>0時,有ax>bx>1; (4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大,x>0時其函數(shù)值增長就越快. 探究二: 分別畫出底數(shù)為0.2、0.3、0.5的指數(shù)函數(shù)的圖象(如下圖所示),對照底數(shù)為2、3、10的指數(shù)函數(shù)的圖象,研究指數(shù)函數(shù)y=ax(0<a<1)中a對函數(shù)的圖象變化的影響. 由此得:一般地,0<a<b<1時,(1)x>0時,有ax<bx<1;(2)x=0時,有ax=bx=1;(3)x<0時,有ax>bx>1;(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小,x>0時,其函數(shù)值減少就越快. 1.指數(shù)函數(shù)的定義. 2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì). 3.利用函數(shù)的圖象說出函數(shù)的性質(zhì),即數(shù)形結(jié)合的思想(方法),它是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想和研究方法. 4.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較幾個數(shù)的大小,特別是中間變量法. 課本本節(jié)練習(xí)B 2、3. 本節(jié)課是在前面研究了函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,研究具體的初等函數(shù),它是重要的初等函數(shù),它有著豐富的內(nèi)涵,且和我們的實際生活聯(lián)系密切,也是以后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),在指數(shù)函數(shù)的概念講解過程中,既要向?qū)W生說明定義域是什么,又要向?qū)W生交代,為什么規(guī)定底數(shù)a是大于0而不等于1的,本節(jié)內(nèi)容課堂容量大,要提高課堂的效率和節(jié)奏,多運(yùn)用信息化的教學(xué)手段,順利完成本堂課的任務(wù). [備選例題] 例1 (1)求使不等式4x>32成立的x的集合; (2)已知a>a,求實數(shù)a的取值范圍. 活動:學(xué)生先思考,再討論,然后回答.(1)由于x在指數(shù)位置上,因此,要利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,特別是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,(2)也是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷底數(shù)的范圍. 解:(1)4x>32,即22x>25. 因為y=2x是R上的增函數(shù),所以2x>5,即x>. 滿足4x>32的x的集合是(,+∞). (2)由于<,則y=ax是減函數(shù),所以0<a<1. 點評:正確理解和運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 例2用函數(shù)單調(diào)性的定義證明指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. 活動:教師點撥提示定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟,單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性,要按規(guī)定的格式書寫. 證法一:設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2,則 y2-y1=ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1). 因為a>1,x2-x1>0,所以ax2-x1>1,即ax2-x1-1>0. 又因為ax1>0, 所以y2-y1>0, 即y1<y2. 所以當(dāng)a>1時,y=ax,x∈R是增函數(shù). 同理可證,當(dāng)0<a<1時,y=ax是減函數(shù). 證法二:設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2,則y2與y1都大于0,則==ax2-x1. 因為a>1,x2-x1>0,所以ax2-x1>1,即>1,y1<y2. 所以當(dāng)a>1時,y=ax,x∈R是增函數(shù). 同理可證,當(dāng)0<a<1時,y=ax是減函數(shù). 例3截止到xx年底,我國人口約13億,如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,那么經(jīng)過20年后,我國人口數(shù)最多為多少?(精確到億) 活動:師生共同討論,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式,建立目標(biāo)函數(shù),常采用特殊到一般的方式,教師引導(dǎo)學(xué)生注意題目中自變量的取值范圍,可以先考慮一年一年增長的情況,再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,最后解決問題: xx年底 人口約為13億; 經(jīng)過1年 人口約為13(1+1%)億; 經(jīng)過2年 人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2億; 經(jīng)過3年 人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億; 經(jīng)過x年 人口約為13(1+1%)x億; 經(jīng)過20年 人口約為13(1+1%)20億. 解:設(shè)今后人口年平均增長率為1%,經(jīng)過x年后,我國人口數(shù)為y億,則 y=13(1+1%)x, 當(dāng)x=20時,y=13(1+1%)20≈16(億). 答:經(jīng)過20年后,我國人口數(shù)最多為16億. 點評:類似此題,設(shè)原值為N,平均增長率為p,則對于經(jīng)過時間x年后總量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù). (設(shè)計者:韓雙影) 第2課時 導(dǎo)入新課 思路1.我們在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點,并且是用類比和歸納的方法得出,在上節(jié)課的探究中我們知道,函數(shù)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的圖象之間的關(guān)系,由其中的一個可得到另外兩個的圖象,那么,對y=ax與y=ax+m(a>0,m∈R)有著怎樣的關(guān)系呢?在理論上,含有指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是否具有奇偶性呢?這是我們本堂課研究的內(nèi)容.教師點出課題. 思路2.我們在第一章中,已學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì),特別是單調(diào)性和奇偶性是某些函數(shù)的重要特點,我們剛剛學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù),嚴(yán)格地證明了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,便于我們在解題時應(yīng)用這些性質(zhì),在實際生活中,往往遇到的不單單是指數(shù)函數(shù),還有其他形式的函數(shù),有的是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),我們需要研究它的單調(diào)性和奇偶性,這是我們面臨的問題,也是我們本堂課要解決的問題. 推進(jìn)新課 活動:教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問,學(xué)生回答,積極交流,及時評價學(xué)生,學(xué)生有困惑時加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容. 討論結(jié)果:(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì). 一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示: a>1 0<a<1 圖 象 圖 象 特 征 圖象分布在一、二象限,與y軸相交,落在x軸的上方 都過點(0,1) 第一象限的點的縱坐標(biāo)都大于1;第二象限的點的縱坐標(biāo)都大于0且小于1 第一象限的點的縱坐標(biāo)都大于0且小于1;第二象限的點的縱坐標(biāo)都大于1 從左向下圖象逐漸上升 從左向下圖象逐漸下降 a>1 0<a<1 性 質(zhì) (1)定義域:R (2)值域:(0,+∞) (3)過定點(0,1),即x=0時,y=1 (4)x>0時,y>1;x<0時,0<y<1 (4)x>0時,0<y<1;x<0時,y>1 (5)在R上是增函數(shù) (5)在R上是減函數(shù) (2)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是: ①取值.即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值且x1<x2. ②作差變形.即求f(x2)-f(x1),通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷差的符號的方向變形. ③定號.根據(jù)給定的區(qū)間和x2-x1的符號確定f(x2)-f(x1)的符號,當(dāng)符號不確定時,可以進(jìn)行分類討論. ④判斷.根據(jù)單調(diào)性定義作出結(jié)論. (3)對于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]可以總結(jié)為: 當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相同時,復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù); 當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相異即不同時,復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù); 又簡稱為口訣“同增異減”. (4)判斷函數(shù)的奇偶性: 一是利用定義法,即首先是定義域關(guān)于原點對稱,再次是考察式子f(x)與f(-x)的關(guān)系,最后確定函數(shù)的奇偶性; 二是作出函數(shù)圖象或從已知圖象觀察,若圖象關(guān)于原點或y軸對稱,則函數(shù)具有奇偶性. 思路1 例 在同一坐標(biāo)系下作出下列函數(shù)的圖象,并指出它們與指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象的關(guān)系. (1)y=2x+1與y=2x+2;(2)y=2x-1與y=2x-2. 活動:教師適當(dāng)時候點撥,學(xué)生回想作圖的方法和步驟,特別是指數(shù)函數(shù)圖象的作法,學(xué)生回答并到黑板上作圖,教師指點學(xué)生,列出對應(yīng)值表,抓住關(guān)鍵點,特別是(0,1)點,或用計算機(jī)作圖. 解:(1)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如下圖. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 … 2x+1 … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 … 2x+2 … 0.5 1 2 4 8 16 32 … 比較可知函數(shù)y=2x+1、y=2x+2與y=2x的圖象的關(guān)系為:將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向左平行移動1個單位長度,就得到函數(shù)y=2x+1的圖象;將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向左平行移動2個單位長度,就得到函數(shù)y=2x+2的圖象. (2)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如下圖. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 … 2x-1 … 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 … 2x-2 … 0.312 5 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 … 比較可知函數(shù)y=2x-1、y=2x-2與y=2x的圖象的關(guān)系為:將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向右平行移動1個單位長度,就得到函數(shù)y=2x-1的圖象;將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向右平行移動2個單位長度,就得到函數(shù)y=2x-2的圖象. 點評:類似地,我們得到y(tǒng)=ax與y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之間的關(guān)系: y=ax+m(a>0,m∈R)的圖象可以由y=ax的圖象變化而來. 當(dāng)m>0時,y=ax的圖象向左移動m個單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象; 當(dāng)m<0時,y=ax的圖象向右移動|m|個單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象. 上述規(guī)律也簡稱為“左加右減”. 變式訓(xùn)練 為了得到函數(shù)y=2x-3-1的圖象,只需把函數(shù)y=2x的圖象( ) A.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度 B.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度 C.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度 D.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度 答案:B 點評:對于有些復(fù)合函數(shù)的圖象,常用變換方法作出. 思路2 例1設(shè)a>0,f(x)=+在R上滿足f(-x)=f(x). (1)求a的值; (2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). 活動:學(xué)生先思考或討論,如果有困難,教師提示,引導(dǎo). (1)求單獨(dú)一個字母的值,一般是轉(zhuǎn)化為方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程. (2)證明增減性一般用定義法,回憶定義法證明增減性的步驟,規(guī)范書寫的格式. (1)解:依題意,對一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=+. 所以(a-)(ex-)=0對一切x∈R成立.由此可得a-=0,即a2=1. 又因為a>0,所以a=1. (2)證明:設(shè)0<x1<x2, f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+-=(ex1-ex2)(-1)=ex1(ex2-x1-1)(). 由x1>0,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,ex2-x1-1>0,1-ex2+x1<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). 點評:在已知等式f(-x)=f(x)成立的條件下,對應(yīng)系數(shù)相等,求出a,也可用特殊值求解.證明函數(shù)的單調(diào)性,嚴(yán)格按定義寫出步驟,判斷過程盡量明顯直觀. 例2已知函數(shù)f(x)=3x,且x=a+2時,f(x)=18,g(x)=3ax-4x的定義域為[0,1]. (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間,確定其增減性并用定義證明; (3)求g(x)的值域. 解:(1)因為f(x)=3x,且x=a+2時f(x)=18, 所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2. 所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x. 所以g(x)=2x-4x. (2)因為函數(shù)g(x)的定義域為[0,1],令t=2x,因為x∈[0,1]時,函數(shù)t=2x在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增, 所以t∈[1,2],則g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈[1,2]. 因為函數(shù)t=2x在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,函數(shù)g(t)=t-t2在t∈[1,2]上單調(diào)遞減, 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減. 證明:設(shè)x1和x2是區(qū)間[0,1]上任意兩個值,且x1<x2, g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1=(2x2-2x1)-(2x2-2x1)(2x2+2x1)=(2x2-2x1)(1-2x1-2x2), 因為0≤x1≤x2≤1, 所以2x2>2x1,且1≤2x1<2,1<2x2≤2. 所以2<2x1+2x2<4. 所以-3<1-2x1-2x2<-1,可知(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)<0. 所以g(x2)<g(x1). 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減. (3)因為函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減, 所以x∈[0,1]時,有g(shù)(1)≤g(x)≤g(0). 因為g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0, 所以-2≤g(x)≤0. 故函數(shù)g(x)的值域為[-2,0]. 點評:此題是一道有關(guān)函數(shù)的概念、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、推理、證明綜合題,要通盤考慮. 求函數(shù)y=()|1+2x|+|x-2|的單調(diào)區(qū)間. 活動:教師提示,因為指數(shù)含有兩個絕對值,要去絕對值,要分段討論,同時注意底數(shù)的大小,分析出指數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生思考討論,然后解答. 解:由題意可知2與-是區(qū)間的分界點. 當(dāng)x<-時,因為y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x, 所以此時函數(shù)為增函數(shù). 當(dāng)-≤x<2時,因為y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x=()x, 所以此時函數(shù)為減函數(shù). 當(dāng)x≥2時,因為y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2()x, 所以此時函數(shù)為減函數(shù). 當(dāng)x1∈[-,2),x2∈[2,+∞)時,因為2()x2-()x1=22-3x2-2-32x1=21-3x2-2-3-x1, 又因為1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以1-3x2<-3-x1, 即2()x2<()x1. 所以此時函數(shù)為減函數(shù). 綜上所述,函數(shù)f(x)在(-∞,-]上單調(diào)遞增,在[-,+∞)上單調(diào)遞減. 設(shè)m<1,f(x)=,若0<a<1,試求: (1)f(a)+f(1-a)的值; (2)f()+f()+f()+…+f()的值. 活動:學(xué)生思考,觀察,教師提示學(xué)生注意式子的特點,做這種題目,一定要有預(yù)見性,即第(2)問要用到第(1)問的結(jié)果,聯(lián)系函數(shù)的知識解決. 解:(1)f(a)+f(1-a)=+ =+=+ =+==1. (2)f()+f()+f()+…+f() =[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()] =5001=500. 點評:第(2)問是第(1)問的繼續(xù),第(1)問是第(2)問的基礎(chǔ),兩個問號是銜接的,利用前一個問號解決后一個問號是我們經(jīng)常遇到的情形,要注意問號與問號之間的聯(lián)系. 本節(jié)課復(fù)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,我們對函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也進(jìn)行了復(fù)習(xí)鞏固,利用單調(diào)性和奇偶性解決了一些問題,對??嫉暮瘮?shù)圖象的變換進(jìn)行了學(xué)習(xí),要高度重視,在不斷學(xué)習(xí)中升華提高. 課本習(xí)題3—1 B 3、5、6. 指數(shù)函數(shù)作為一類基本的初等函數(shù),它雖然不具有函數(shù)通性中的奇偶性,但是它與其他函數(shù)復(fù)合構(gòu)成具有比較復(fù)雜的單調(diào)性的函數(shù),同時也可以復(fù)合出比較特殊的奇函數(shù)和偶函數(shù),判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性要十分小心,嚴(yán)格按規(guī)定的要求,有時借助數(shù)形結(jié)合可幫我們找到解題思路,本堂課是在以前基礎(chǔ)上的提高與深化,同時又兼顧了高考常考的內(nèi)容,因此涉及面廣,容量大,要集中精力,加快速度,高質(zhì)量完成教學(xué)任務(wù). 富蘭克林的遺囑與拿破侖的諾言 富蘭克林利用放風(fēng)箏而感受到電擊,從而發(fā)明了避雷針.這位美國著名的科學(xué)家死后留下了一份有趣的遺囑: “……一千英鎊贈給波士頓的居民,如果他們接受了這一千英鎊,那么這筆錢應(yīng)該托付給一些挑選出來的公民,他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息.這些款過了100年增加到131 000英鎊.我希望那時候用100 000英鎊來建立一所公共建筑物,剩下的31 000英鎊拿去繼續(xù)生息100年.在第二個100年末了,這筆款增加到4 061 000英鎊,其中1 061 000英鎊還是由波士頓的居民來支配,而其余的3 000 000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理.過此之后,我可不敢主張了!” 你可曾想過:區(qū)區(qū)的1 000英鎊遺產(chǎn),竟立下幾百萬英鎊財產(chǎn)分配的遺囑,是“信口開河”,還是“言而有據(jù)”呢?事實上,只要借助于復(fù)利公式,同學(xué)們完全可以通過計算而作出自己的判斷. yn=m(1+a)n就是復(fù)利公式,其中m為本金,a為年利率,yn為n年后本金與利息的總和.在第一個100年末富蘭克林的財產(chǎn)應(yīng)增加到:y100=1 000(1+5%)100=131 501(英鎊),比遺囑中寫的還多出501英鎊.在第二個100年末,遺產(chǎn)就更多了:y100=131 501(1+5%)100=4 142 421(英鎊).可見富蘭克林的遺囑是有科學(xué)根據(jù)的. 遺囑故事啟示我們:在指數(shù)效應(yīng)下,微薄的財產(chǎn),低廉的利率,可以變得令人瞠目結(jié)舌.威名顯赫的拿破侖,由于陷進(jìn)了指數(shù)效應(yīng)的漩渦而使法國政府十分難堪! 1797年,拿破侖參觀國立盧森堡小學(xué),贈上了一束價值三個金路易的玫瑰花,并許諾只要法蘭西共和國存在一天,他將每年送一束價值相等的玫瑰花,以作兩國友誼的象征.由于連年征戰(zhàn),拿破侖忘卻了這一諾言!1894年,盧森堡王國鄭重地向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”,要求法國政府在拿破侖的聲譽(yù)和1 375 596法郎的債款中,兩者選取其一.這筆巨款就是三個金路易的本金,以5%的年利率,在97年的指數(shù)效應(yīng)下的產(chǎn)物.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)3.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 3.1.2 指數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 第三 基本 初等 函數(shù) 3.1 指數(shù) 指數(shù)函數(shù)
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