2019-2020年高中數(shù)學知識精要 13.數(shù)列教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學知識精要 13.數(shù)列教案 新人教A版1、數(shù)列的概念:數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,3,n)的特殊函數(shù),數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。如(1)已知,則在數(shù)列的最大項為_(答:);(2)數(shù)列的通項為,其中均為正數(shù),則與的大小關系為_(答:);(3)已知數(shù)列中,且是遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍(答:);(4)一給定函數(shù)的圖象在下列圖中,并且對任意,由關系式得到的數(shù)列滿足,則該函數(shù)的圖象是()(答:A) A B C D2.等差數(shù)列的有關概念:(1)等差數(shù)列的判斷方法:定義法:或。 公式法:通項;前項和.如設是等差數(shù)列,求證:以bn= 為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列.提醒:解答題多用定義法.(2)等差數(shù)列的通項:或.通項公式是n的一次函數(shù),以(n,an)為坐標的一群離散點均勻地分布在直線上. 公差d=是相應直線的斜率.當d0時,數(shù)列遞增;當d0且q1時,是指數(shù)函數(shù),而是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積,因此 的圖象是函數(shù)y=的圖象上的一群孤立點很明顯,若0,當q1時,數(shù)列遞增;當0q1時,數(shù)列遞減提醒:可用來求公比.如設等比數(shù)列中,前項和126,求和公比. (答:,或2)(3)等比數(shù)列的前和:如(1)等比數(shù)列中,2,S99=77,求(答:44);(2)的值為_(答:2046);提醒:(1)等比數(shù)列的通項公式及前和公式中,涉及到5個元素:、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2;(2)為減少運算量,要注意設元的技巧,如奇數(shù)個數(shù)成等比,可設為,(公比為);但偶數(shù)個數(shù)成等比時,不能設為,因公比不一定為正數(shù),只有公比為正時才可如此設,且公比為如有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個成等比數(shù)列,且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)特別提醒:等比數(shù)列前項和公式有兩種形式,為此在求等比數(shù)列前項和時,首先要判斷公比是否為1,再由的情況選擇求和公式的形式,當不能判斷公比是否為1時,要對分和兩種情形討論求解(4)等比中項:若成等比數(shù)列,那么A叫做與的等比中項。提醒:不是任何兩數(shù)都有等比中項,只有同號兩數(shù)才存在等比中項,且有兩個如已知兩個正數(shù)的等差中項為A,等比中項為B,則A與B的大小關系為_(答:AB)5.等比數(shù)列的性質:(1)當時,則有,特別地,當時,則有.如()在等比數(shù)列中,公比q是整數(shù),則=_(答:512);(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則 (答:10)(2) 若是等比數(shù)列,則、成等比數(shù)列;若成等比數(shù)列,則、成等比數(shù)列; 若是等比數(shù)列,且公比,則數(shù)列 ,也是等比數(shù)列。當,且為偶數(shù)時,數(shù)列 ,是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列. 如(1)已知且,設數(shù)列滿足,且,則. (答:);(2)在等比數(shù)列中,為其前n項和,若,則的值為_(答:40)(3)若,則為遞增數(shù)列;若, 則為遞減數(shù)列;若 ,則為遞減數(shù)列;若, 則為遞增數(shù)列;若,則為擺動數(shù)列;若,則為常數(shù)列.(4) 當時,這里,但,這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征,據此很容易根據,判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列,且,則 (答:1)(5) .如設等比數(shù)列的公比為,前項和為,若成等差數(shù)列,則的值為_(答:2)(6) 在等比數(shù)列中,當項數(shù)為偶數(shù)時,;項數(shù)為奇數(shù)時,.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列,故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設數(shù)列的前項和為(), 關于數(shù)列有下列三個命題:若,則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;若,則是等差數(shù)列;若,則是等比數(shù)列這些命題中,真命題的序號是 (答:)6.數(shù)列的通項的求法:公式法:等差數(shù)列通項公式;等比數(shù)列通項公式。如已知數(shù)列試寫出其一個通項公式:_(答:)已知(即)求,用作差法:。如()已知的前項和滿足,求(答:);()數(shù)列滿足,求解:(i)令時,(ii) (1)(2)(1)(2)得:,即所以提醒:(1)用求數(shù)列的通項公式時,你注意到此等式成立的條件了嗎?(只有時,才有,當時,;注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中,若不符合要單獨列出);(2)一般地當已知條件中含有與的混合關系時,常需運用關系式,先將已知條件轉化為只含或的關系式,然后再求解。如數(shù)列滿足,求(答:)已知求,用作商法:。如數(shù)列中,對所有的都有,則_(答:)若求用累加法:。如已知數(shù)列滿足,則=_(答:)已知求,用累乘法:。如已知數(shù)列中,前項和,若,求(答:)已知遞推關系求,用構造法(構造等差、等比數(shù)列)。特別地,(1)形如:(為p,q為常數(shù)且)的數(shù)列()可化為,利用等比數(shù)列求出的表達式,進而求出()可由得兩式相減可得:,利用成等比數(shù)列求出,再利用迭代或迭加求出() ,先用累加法求再求如已知,求(答:);()形如(為常數(shù))也可通過類似方式來求得.更一般地,遞推數(shù)列an=kan1+f(n)(k0,k1)(f(n)為等比或等差)還可由an=kan1+b派生出an+1=kan+b,兩式相減得:an+1-an=k(an- an-1)依據等比數(shù)列的定義求出其通項公式(這是二階線性遞歸數(shù)列an+1+pan+qan1=0的解法),從而形如的數(shù)列可變形為就是則可從,解得于是是公比為的等比數(shù)列.如()數(shù)列中,求數(shù)列的通項公式。解:在兩邊減去得是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,令上式,再把個等式累加得:=.()已知,求(答:);()形如()(為常數(shù)且)的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項??苫癁?求出的表達式,再求如()已知,求(答:);()已知數(shù)列滿足=1,求(答:)這種類型還有如:可采用取倒數(shù)方法轉化成為形式解決;又如已知數(shù)列中且,求數(shù)列 的通項公式可采用兩邊取對數(shù)方法即則數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列。()猜想歸納證明(數(shù)學歸納法)與自然數(shù)有關的命題常用數(shù)學歸納法證明,證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學歸納法的一個特征,其步驟是:(1)驗證命題對于第一個自然數(shù)nn0 (kn0)時成立;(2)假設n =k時成立,從而證明當n=k+1時命題也成立,(3)得出結論。注:(1)數(shù)學歸納法是一種完全歸納法,其中兩步在推理中的作用是:第一步是遞推的基礎,第二步是遞推的依據,二者缺一不可。(2)在運用數(shù)學歸納法時,要注意起點 n,并非一定取 1,也可能取 0,2 等值,要看清題目 .(3)第二步證明的關鍵是要運用歸納假設,特別要弄清由 k 到 k+ 1 時命題變化情況 .證明時要一湊假設,二湊結論;7.數(shù)列求和的常用方法:(1)公式法:等差數(shù)列求和公式;等比數(shù)列求和公式,特別聲明:運用等比數(shù)列求和公式,務必檢查其公比與1的關系,必要時需分類討論.;常用公式:,.如(1)等比數(shù)列的前項和S2,則_(答:);(2)計算機是將信息轉換成二進制數(shù)進行處理的。二進制即“逢2進1”,如表示二進制數(shù),將它轉換成十進制形式是,那么將二進制轉換成十進制數(shù)是_(答:)(2)分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和. 如求:(答:)(3)倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián),則??煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導方法). 如求證:;已知,則_(答:)一般地,,(an為等差數(shù)列)可通過此法來求. 提醒:觀察通項、 注意首項、 點清項數(shù);(4)錯位相減法:如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成,那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導方法):兩邊同乘以公比錯位相減(但要區(qū)分公比是否為1). 如(1)設為等比數(shù)列,已知,求數(shù)列的首項和公比;求數(shù)列的通項公式.(答:,;);(2)設函數(shù),數(shù)列滿足:,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;令,求函數(shù)在點處的導數(shù),并比較與的大小。(答:略;,當時,;當時,)(5)裂項相消法:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關聯(lián),那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:; ;, ;.如(1)求和: (答:);(2)在數(shù)列中,且S,則n_(答:99);(3)等差數(shù)列an的公差d(d0),則.的求和也可用此法.(6)通項轉換法:先對通項進行變形,發(fā)現(xiàn)其內在特征,再運用分組求和法求和。如()求數(shù)列14,25,36,前項和= (答:);()求和: (答:)8. “分期付款”、“森林木材”型應用問題(1)這類應用題一般可轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中,務必“卡手指”,細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.(2)利率問題:單利問題:如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型:若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為:(等差數(shù)列問題);復利問題:按揭貸款的分期等額還款(復利)模型:若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清。如果每期利率為(按復利),那么每期等額還款元應滿足: (等比數(shù)列問題). p貸款數(shù),r利率,n還款期數(shù)- 配套講稿:
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