2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 計(jì)數(shù)原理 第3講　二項(xiàng)式定理教案 理 新人教版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 計(jì)數(shù)原理 第3講　二項(xiàng)式定理教案 理 新人教版 【xx年高考會(huì)這樣考】 1．能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理． 2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 二項(xiàng)式定理的核心是其展開式的通項(xiàng)公式，復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握這個(gè)公式，注意二項(xiàng)式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(a＋b)n的二項(xiàng)展開式． 其中的系數(shù)C(r＝0,1，…，n)叫二項(xiàng)式系數(shù)． 式中的Can－rbr叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr. 2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為n＋1. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n. (4)二項(xiàng)式的系數(shù)從C，C，一直到C，C. 3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．即C＝C. (2)增減性與最大值： 二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)k＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大．由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的； 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)Cn取得最大值； 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Cn，Cn取得最大值． (3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 一個(gè)防范 運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問題，另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負(fù)． 一個(gè)定理 二項(xiàng)式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項(xiàng)數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理．因此二項(xiàng)式定理是排列組合知識(shí)的發(fā)展和延續(xù)． 兩種應(yīng)用 (1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等． (2)展開式的應(yīng)用：利用展開式①可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計(jì)算等． 三條性質(zhì) (1)對(duì)稱性； (2)增減性； (3)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和； 以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進(jìn)行歸納總結(jié)． 雙基自測(cè) 1．(xx福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于(　　)． A．80 B．40 C．20 D．10 解析　Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr， 當(dāng)r＝2時(shí)，T3＝40x2. 答案　B 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝(　　)． A．45 B．55 C．70 D．80 解析　(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29 由已知條件a＝41，b＝29，則a＋b＝70. 答案　C 3．(人教A版教材習(xí)題改編)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(　　)． A．9 B．8 C．7 D．6 解析　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8. 答案　B 4．(xx重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr 由已知條件35C＝36C 即C＝3C ＝3 整理得n＝7 答案　B 5．(xx安徽)設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________. 解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r 由題意知a10，a11分別是含x10和x11項(xiàng)的系數(shù)，所以a10＝－C，a11＝C， ∴a10＋a11＝C－C＝0. 答案　0 考向一　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 【例1】?已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)． (1)求n； (2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項(xiàng)． [審題視點(diǎn)] 準(zhǔn)確記住二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解此類題的關(guān)鍵． 解　通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx. (1)∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， ∴r＝5時(shí)，有＝0，解得n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6)＝2， ∴x2的項(xiàng)的系數(shù)為C(－3)2＝405. (3)由題意知令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2. 求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可． 【訓(xùn)練1】 (xx山東)若6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為________． 解析　二項(xiàng)式6展開式的通項(xiàng)公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，當(dāng)r＝2時(shí)，Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是Ca，根據(jù)已知Ca＝60，解得a＝4. 答案　4 考向二　二項(xiàng)式定理中的賦值 【例2】?二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項(xiàng)式系數(shù)之和； (2)各項(xiàng)系數(shù)之和； (3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和． [審題視點(diǎn)] 此類問題要仔細(xì)觀察，對(duì)二項(xiàng)式中的變量正確賦值． 解　設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為C＋C19＋C＋…＋C＝29. (2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1 (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59， 將兩式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和． 二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式，對(duì)a，b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式問題的一種重要思想方法．賦值法是從函數(shù)的角度來應(yīng)用二項(xiàng)式定理，即函數(shù)f(a，b)＝(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.對(duì)a，b賦予一定的值，就能得到一個(gè)等式． 【訓(xùn)練2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(①＋②)2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 考向三　二項(xiàng)式的和與積 【例3】?(1＋2x)3(1－x)4展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為________． [審題視點(diǎn)] 求多個(gè)二項(xiàng)式積的某項(xiàng)系數(shù)，要會(huì)轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式． 解析　(1＋2x)3(1－x)4展開式中的x項(xiàng)的系數(shù)為兩個(gè)因式相乘而得到，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘以第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，它為C(2x)0C(－x)1＋C(2x)1C14(－x)0，其系數(shù)為C03C(－1)＋C2＝－4＋6＝2. 答案　2 對(duì)于求多個(gè)二項(xiàng)式的和或積的展開式中某項(xiàng)的 系數(shù)問題，要注意排列、組合知識(shí)的運(yùn)用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．二項(xiàng)式定理研究?jī)身?xiàng)和的展開式，對(duì)于三項(xiàng)式問題，一般是通過合并其中的兩項(xiàng)或進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式去求解． 【訓(xùn)練3】 (xx廣東)x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析　原問題等價(jià)于求7的展開式中x3的系數(shù)，7的通項(xiàng)Tr＋1＝Cx7－rr＝(－2)rCx7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數(shù)為(－2)2C＝84，即x7的展開式中x4的系數(shù)為84. 答案　84 　　 難點(diǎn)突破23——排列組合在二項(xiàng)展開式中的應(yīng)用 (a＋b)n展開式可以由次數(shù)、項(xiàng)數(shù)和系數(shù)來確定． (1)次數(shù)的確定 從n個(gè)相同的a＋b中各取一個(gè)(a或b)乘起來，可以構(gòu)成展開式中的一項(xiàng)，展開式中項(xiàng)的形式是mapbq， 其中p∈N，q∈N，p＋q＝n. (2)項(xiàng)數(shù)的確定 滿足條件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)共n＋1組． 即將(a＋b)n展開共2n項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后共n＋1項(xiàng)． (3)系數(shù)的確定 展開式中含apbq(p＋q＝n)項(xiàng)的系數(shù)為C(即p個(gè)a，q個(gè)b的排列數(shù))因此(a＋b)n展開式中的通項(xiàng)是 Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n) (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項(xiàng)式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項(xiàng)展開，也可三項(xiàng)展開，四項(xiàng)展開等． 【示例】? 若多項(xiàng)式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，則a9＝(　　)． A．9 B．10 C．－9 D．－10