2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.4 投影與直觀圖課堂探究 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.4 投影與直觀圖課堂探究 新人教B版必修2 探究一 平行投影性質(zhì)的應(yīng)用 1．在應(yīng)用平行投影性質(zhì)時(shí)，要注意投射線、投射面之間的位置關(guān)系，尤其不要忽視投射線平行于所給平面圖形的情形． 2．常見圖形的平行投影 圖形 圖形的平行投影 點(diǎn) 是一個(gè)點(diǎn) 線段 是線段或一個(gè)點(diǎn) 線段的中點(diǎn) 是一個(gè)點(diǎn)(包括投影的線段的中點(diǎn)) 直線 是直線或一個(gè)點(diǎn) 平行直線 是兩條平行直線，或重合為一條直線，或是兩個(gè)點(diǎn) 平面圖形 當(dāng)平面圖形與投射線不平行時(shí)，投影與原圖形相似(包括全等) 【典型例題1】 下列四個(gè)命題： ①矩形的平行投影一定是矩形； ②梯形的平行投影一定是梯形； ③兩條相交直線的平行投影可能平行； ④如果一個(gè)三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位線的平行投影一定是這個(gè)三角形的平行投影的三角形的中位線． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：當(dāng)投射線與投射面垂直，矩形所在平面與投射面平行時(shí)，矩形的平行投影是矩形；當(dāng)投射線與矩形所在平面平行時(shí)，投影是一條線段；當(dāng)投射線與矩形不平行，矩形所在平面與投射面不平行時(shí)，其投影一般情況下為平行四邊形，①錯(cuò)誤；當(dāng)投射線與梯形所在平面平行時(shí)，投影是一條線段；當(dāng)梯形所在平面與投射線不平行時(shí)，梯形的平行投影一定是梯形，②錯(cuò)誤；當(dāng)投射線與兩相交直線所在平面平行時(shí)它的投影是一條直線；當(dāng)投射線與兩相交直線確定的平面不平行時(shí)，它的投影仍是兩條相交直線，③錯(cuò)誤；“一個(gè)三角形的平行投影仍是三角形”，說明投射線與三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性質(zhì)“在平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比”來判斷，④是正確的． 答案：B 探究二 畫平面圖形的直觀圖 1．畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定頂點(diǎn)的位置． 2．建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征，盡量使原平面圖形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的線段上． 3．原圖中不與x軸或y軸平行的線段，可以先作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線畫出其端點(diǎn)然后再連線． 【典型例題2】 畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖． 思路分析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，首先在原來的等腰梯形中建立平面直角坐標(biāo)系，要使盡可能多的頂點(diǎn)和線段在坐標(biāo)軸上，這樣作起圖來較為方便，然后按橫線相等，豎線是原來的一半的原則，作出對應(yīng)的各個(gè)頂點(diǎn)，連線即成． 畫法： (1)如圖①，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45． (2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD． (3)連接B′C′，D′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸及O′點(diǎn)、E′點(diǎn)，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖③． 探究三 畫空間圖形的直觀圖 1．畫棱柱、棱錐直觀圖的步驟： (1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系． (2)畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面． (3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)． (4)成圖：擦去輔助線，連線成圖． 2．畫棱臺的直觀圖的四個(gè)步驟： (1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系． (2)畫下底面． (3)畫高，畫上底面． (4)連線成圖． 【典型例題3】 有一個(gè)正三棱錐，底面邊長為3 cm，高為3 cm，畫出這個(gè)正三棱錐的直觀圖． 思路分析：根據(jù)斜二測畫法，先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系畫出正三角形的直觀圖，再確定出正三棱錐的頂點(diǎn)即可． 解：(1)先畫出邊長為3 cm的正三角形水平放置的直觀圖，如圖①所示； (2)過正三角形的中心O′建立z′軸，畫出正三棱錐的頂點(diǎn)V′，使V′O′＝3 cm，連接V′A′，V′B′，V′C′，如圖②所示； (3)擦去輔助線，被遮住部分用虛線表示，得到正三棱錐的直觀圖，如圖③． 點(diǎn)評正棱錐的直觀圖在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常要用到，應(yīng)該掌握正棱錐直觀圖的畫法思路，以便在今后的學(xué)習(xí)中，可以較快、較準(zhǔn)確地畫出正棱錐的草圖．畫草圖的步驟為：畫底面、找底面的中心、作高連線． 探究四 直觀圖的還原 直觀圖的還原其實(shí)是畫直觀圖的逆過程，只要明確角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可簡化解答相關(guān)問題． (1)角的關(guān)系： 原圖形　　　　　斜二測直觀圖形 ∠xOy＝90∠x′O′y′＝45(或135)． (2)長度關(guān)系： 與x軸平行的線段畫后對應(yīng)線段； 與y軸平行的線段畫后對應(yīng)線段． 【典型例題4】 (1)水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為__________． 解析：分析易知△ABC為以∠C為直角的直角三角形，且AC＝3，BC＝22＝4，所以AB＝5，故AB邊上的中線長為． 答案： (2)已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為__________． 解析：如圖所示，過C′作y′軸的平行線C′D′，與x′軸交于點(diǎn)D′， 則C′D′＝＝a． 又C′D′是原△ABC的高CD的直觀圖， 所以CD＝a，故S△ABC＝ABCD＝a2． 答案：a2 探究五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：混淆了直觀圖與平行投影的區(qū)別而致誤 【典型例題5】 關(guān)于利用斜二測畫法畫直觀圖有以下結(jié)論： ①三角形的直觀圖是三角形； ②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形； ④菱形的直觀圖是菱形． 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 錯(cuò)解：A 錯(cuò)因分析：混淆了直觀圖與平行投影的區(qū)別，直觀圖是利用平行投影的性質(zhì)畫出來的一種能反映原物體整體特征的圖示，而平行投影的情況就較多了． 正解：正方形、菱形的直觀圖通常為平行四邊形而不具有其他性質(zhì)，即③④不正確，故選C． 答案：C