2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理 蘇教版導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題自主梳理1等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的_,通常用字母_表示(q0)2等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則它的通項an_.3等比中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣:anam_ (n,mN*)(2)若an為等比數(shù)列,且klmn (k,l,m,nN*),則_(3)若an,bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an (0),a,anbn,仍是等比數(shù)列(4)單調(diào)性:或an是_數(shù)列;或an是_數(shù)列;q1an是_數(shù)列;q1,令bnan1 (n1,2,),若數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合53,23,19,37,82中,則6q_.4若數(shù)列an的前n項和Sn3na,數(shù)列an為等比數(shù)列,則實數(shù)a的值為_5設(shè)f(n)2242723n1 (nN*),則f(n)_.探究點一等比數(shù)列的基本量運算例1已知正項等比數(shù)列an中,a1a52a2a6a3a7100,a2a42a3a5a4a636,求數(shù)列an的通項an和前n項和Sn.變式遷移1在等比數(shù)列an中,a1an66,a2an1128,Sn126,求n和q.探究點二等比數(shù)列的判定例2已知數(shù)列an的首項a15,前n項和為Sn,且Sn12Snn5,nN*.(1)證明:數(shù)列an1是等比數(shù)列;(2)求an的通項公式以及Sn.變式遷移2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2,a3的值;(2)求證:數(shù)列Sn2是等比數(shù)列探究點三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3在等比數(shù)列an中,a1a2a3a4a58,且2,求a3.變式遷移3(1)已知等比數(shù)列an中,有a3a114a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列,且b7a7,求b5b9的值;(2)在等比數(shù)列an中,若a1a2a3a41,a13a14a15a168,求a41a42a43a44.分類討論思想與整體思想例(14分)設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為80,它的前2n項和為6 560,且前n項中數(shù)值最大的項為54,求此數(shù)列的第2n項【答題模板】解設(shè)數(shù)列an的公比為q,若q1,則Snna1,S2n2na12Sn.S2n6 5602Sn160,q1,4分由題意得6分將整體代入得80(1qn)6 560,qn81.8分將qn81代入得a1(181)80(1q),a1q1,由a10,得q1,數(shù)列an為遞增數(shù)列10分ana1qn1qn8154.12分與a1q1聯(lián)立可得a12,q3,a2n232n1 (nN*)14分【突破思維障礙】(1)分類討論的思想:利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q1和q1兩種情況討論;研究等比數(shù)列的單調(diào)性時也應(yīng)進行討論:當(dāng)a10,q1或a10,0q1時為遞增數(shù)列;當(dāng)a11或a10,0q1時為遞減數(shù)列;當(dāng)q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和時,常把qn,當(dāng)成整體求解本題條件前n項中數(shù)值最大的項為54的利用是解決本題的關(guān)鍵,同時將qn和的值整體代入求解,簡化了運算,體現(xiàn)了整體代換的思想,在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時應(yīng)靈活運用1等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式分別為ana1qn1,Sn2等比數(shù)列的判定方法:(1)定義法:即證明q (q0,nN*) (q是與n值無關(guān)的常數(shù))(2)中項法:證明一個數(shù)列滿足aanan2 (nN*且anan1an20)3等比數(shù)列的性質(zhì):(1)anamqnm (n,mN*);(2)若an為等比數(shù)列,且klmn (k,l,m,nN*),則akalaman;(3)設(shè)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.4在利用等比數(shù)列前n項和公式時,一定要對公比q1或q1作出判斷;計算過程中要注意整體代入的思想方法5等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是:(1)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則此數(shù)列是非零常數(shù)列;(2)若an是等比數(shù)列,且an0,則lg an構(gòu)成等差數(shù)列(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1(xx遼寧)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和已知a2a41,S37,則S5_.2(xx浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和,8a2a50,則_.3在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a13,前三項的和S321,則a3a4a5_.4(xx無錫模擬)等比數(shù)列an前n項的積為Tn,若a3a6a18是一個確定的常數(shù),那么數(shù)列T10,T13,T17,T25中也是常數(shù)的項是_5記等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S32,S618,則_.6設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a11,a516,則數(shù)列an前7項的和為_7在等比數(shù)列an中,公比q2,前99項的和S9930,則a3a6a9a99_.8(xx福建)在等比數(shù)列an中,若公比q4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式an_.二、解答題(共42分)9(12分)(xx陜西)已知an是公差不為零的等差數(shù)列,a11,且a1,a3,a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項;(2)求數(shù)列2an的前n項和Sn.10(14分)已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)為等差數(shù)列,且a13,a25.(1)求證:數(shù)列an1是等比數(shù)列;(2)求的值11(16分)已知等差數(shù)列an的首項a11,公差d0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列cn對nN*均有an1成立,求c1c2c3c2 010.答案 自主梳理1公比q2.a1qn14.(1)qnm(2)akalaman(4)遞增遞減常擺動6.qn自我檢測13解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac(1)(9)9,b29且b與奇數(shù)項的符號相同,故b3.28n1解析因為an為等比數(shù)列,所以(a2)2(a2)(a8),解得a10,a28,q,ana1qn18n1.39解析由題意:等比數(shù)列an有連續(xù)四項在集合54,24,18,36,81中,由等比數(shù)列的定義知:四項是兩個正數(shù)、兩個負(fù)數(shù),故24,36,54,81,符合題意,則q,6q9.41解析可用特殊值法,由Sn得a13a,a26,a318,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1.5.(8n11)解析由題意可知,f(n)即為一個以2為首項,公比q238,項數(shù)為n1的等比數(shù)列的和由公式可得f(n)Sn1(8n11)課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有a1,an,q,n,Sn五個量,知道其中任意三個量,都可以求出其余兩個量解題時,將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系,然后利用方程組的思想求解;(2)本例可將所有項都用a1和q表示,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解;也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化解方法一由已知得:,得4aq664,aq616.代入,得21616q2100.解得q24或q2.又?jǐn)?shù)列an為正項數(shù)列,q2或.當(dāng)q2時,可得a1,an2n12n2,Sn2n1;當(dāng)q時,可得a132.an32n126n.Sn6426n.方法二a1a5a2a4a,a2a6a3a5,a3a7a4a6a,由可得即解得或當(dāng)a38,a52時,q2.q0,q,由a3a1q28,得a132,an32n126n.Sn6426n.當(dāng)a32,a58時,q24,且q0,q2.由a3a1q2,得a1.an2n12n2.Sn2n1.變式遷移1解由題意得解得或若則Sn126,解得q,此時,an264n1,n6.若則Sn126,q2.an6422n1.n6.綜上n6,q2或.例2解題導(dǎo)引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法:q (q為與n值無關(guān)的常數(shù))(nN*)aanan2 (an0,nN*)(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列,可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明,也可用反證法解(1)由已知Sn12Snn5,nN*,可得n2時,Sn2Sn1n4,兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1,即an12an1,從而an112(an1),當(dāng)n1時,S22S115,所以a2a12a16,又a15,所以a211,從而a212(a11),故總有an112(an1),nN*,又a15,a110,從而2,即數(shù)列an1是首項為6,公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)得an162n1,所以an62n11,于是Snn62nn6.變式遷移2解(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),當(dāng)n1時,a1212;當(dāng)n2時,a12a2(a1a2)4,a24;當(dāng)n3時,a12a23a32(a1a2a3)6,a38.(2)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),當(dāng)n2時,a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120,即Sn2Sn12,Sn22(Sn12)S1240,Sn120,2,故Sn2是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列例3解題導(dǎo)引在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若mnpq,則amanapaq”,可以減少運算量,提高解題速度解由已知得2,a4,a32.若a32,設(shè)數(shù)列的公比為q,則22q2q28,即1qq2224.此式顯然不成立,經(jīng)驗證,a32符合題意,故a32.變式遷移3解(1)a3a11a4a7,a70,a74,b74,bn為等差數(shù)列,b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.:q488q162,又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.課后練習(xí)區(qū)1.解析an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,且a2a41,設(shè)an的公比為q,則q0,且a1,即a31.S37,a1a2a317,即6q2q10.故q或q(舍去),a14.S58(1).211解析由8a2a50,得8a1qa1q40,所以q2,則11.384解析由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則211qq27q2q60(q3)(q2)0,根據(jù)題意可知q0,故q2.所以a3a4a5q2S342184.4T17解析a3a6a18aq2517(a1q8)3a,即a9為定值,所以下標(biāo)和為9的倍數(shù)的積為定值,可知T17為定值533解析因為等比數(shù)列an中有S32,S618,即1q39,故q2,從而1q512533.6127解析公比q416,且q0,q2,S7127.7.解析S9930,即a1(2991)30,數(shù)列a3,a6,a9,a99也成等比數(shù)列且公比為8,a3a6a9a9930.84n1解析等比數(shù)列an的前3項之和為21,公比q4,不妨設(shè)首項為a1,則a1a1qa1q2a1(1416)21a121,a11,an14n14n1.9解(1)由題設(shè)知公差d0,由a11,a1,a3,a9成等比數(shù)列,得,(4分)解得d1或d0(舍去)故an的通項an1(n1)1n.(7分)(2)由(1)知2an2n,由等比數(shù)列前n項和公式,得Sn222232n2n12.(12分)10(1)證明設(shè)log2(an1)log2(an11)d (n2),因為a13,a25,所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221,(3分)所以log2(an1)n,所以an12n,所以2 (n2),所以an1是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列(6分)(2)解由(1)可得an1(a11)2n1,所以an2n1,(8分)所以1.(14分)11解(1)由已知有a21d,a514d,a14113d,(14d)2(1d)(113d)解得d2(d0舍)(2分)an1(n1)22n1.(5分)又b2a23,b3a59,數(shù)列bn的公比為3,bn33n23n1.(8分)(2)由an1得當(dāng)n2時,an.兩式相減得:當(dāng)n2時,an1an2.(10分)cn2bn23n1 (n2)又當(dāng)n1時,a2,c13.cn.(12分)c1c2c3c2 01033(332 010)32 010.(16分)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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