2019-2020年高中數學 《直線與圓的方程的應用》教案2 新人教A版必修2.doc

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2019-2020年高中數學 《直線與圓的方程的應用》教案2 新人教A版必修2 學習目標 主要概念： 坐標法――建立適當的直角坐標系后，借助代數方法把要研究的幾何問題，轉化為坐標之間的運算，由此解決幾何問題。 教材分析 　　一、重點難點 　　本節(jié)教材的教學重點是掌握直線和圓的方程在實際生活中的應用，以及用坐標法研究幾何問題的基本思想。難點是如何把一個實際問題轉化為數學問題，即數學建模，以及在運用坐標法證明幾何問題時，如何能根據具體問題靈活地建立適當的直角坐標系。 　　二、教材解讀 　　本節(jié)教材的理論知識有問題提出、題型介紹、思考交流三個板塊組成。 第一板塊 問題提出 解讀 直線與圓的方程在生產、生活實踐以及數學中有著廣泛的應用。 理解、掌握知識的最終目的在于應用，通過知識的應用，問題的解決，一方面可使學生親身體驗到學習數學的意義和作用，培養(yǎng)學生學習的自覺性；另一方面聯系實際的目的就是為了更好地掌握基礎知識，增加用數學的意識，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。 第二板塊 題型介紹 解讀 直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中的應用 通過介紹直線與圓的方程在實際生活中的應用，其目的在于讓學生了解應用問題就是在已學數學知識的基礎上，從實際問題出發(fā)，經過去粗取精、抽象概括，把實際問題抽象成數學問題，建立相應的數學模型。讓學生掌握解決實際問題的全過程，提高學生分析問題和解決問題的能力。 通過介紹直線與圓的方程在平面幾何中的應用，其目的在于讓學生了解坐標法的數學思想，掌握用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”，讓學生從另一個角度再次體會“數形結合”的思想方法。 第三板塊 思考交流 解讀 課本P.138例4中提出：如果不建立坐標系，你能解決這個問題嗎？ 通過讓學生思考和解答，試圖讓學生比較坐標法和幾何法在解決這一問題時的優(yōu)劣，從而發(fā)現坐標法在解決一些問題時的優(yōu)越性。 拓展閱讀 數學來源于實際又服務于實際，新的課程標準越來越注意對學生在數學素養(yǎng)、數學能力方面的要求，要求學生能應用數學知識、觀點、方法去處理實際問題，從而把數學的應用與大眾生活緊密地結合起來，使數學教學更具有現實意義與教育意義。在現行中學數學教學大綱中提到：“使學生學好從事社會主義現代化建設和進一步學習現代科學技術所必需的數學基礎知識和基本技能，培養(yǎng)學生的運算能力，以逐步形成應用數學知識來培養(yǎng)分析和解決實際問題的能力”。1993年國家教委基礎教育課程教材研究中心召開的“數學課程內容改革研討會”上也強調“數學教學應聯系實際”，“要重視從實際問題中建立數學模型，解決數學問題，從而解決實際問題這個全過程。”當前國際數學教育界提出了“大眾數學”的口號，其目的是根據社會對數學的不同需求，發(fā)揮數學在解決實際問題中的作用提高學生學習數學的興趣，支持和引導中學數學從學生所熟悉的生活、生產和其它學科的實際問題出發(fā)，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，得出數學概念和規(guī)律，使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練，逐步把數學知識應用到生產、生活的實際，形成應用數學的意識，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。 隨著科學技術的進步，特別是計算機技術的迅速發(fā)展，數學已經滲透到從自然科學技術到工農業(yè)生產建設，從經濟活動到社會活動的各個領域。而建立數學模型則是數學應用的關鍵環(huán)節(jié)。 所謂數學模型就是對于現實世界的一個特定的對象，為了一個特定的目的，根據特有的內在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。 建立數學模型的過程可以分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環(huán)。 現實對象的信息 表述 (歸納) 數學模型 現實對象的解答 數學模型的解答 求解 (演繹) 解釋 驗證 由此可知，解決數學應用問題可分為三個步驟：一是審題；二是建立數學模型；三是求解數學模型。其中審題是基礎，建立數學模型是關鍵，解題是目標。 綜上所述，我們可以利用數學模型的方法來解決數學應用問題。 網站點擊 典型例題解析 例1：在平行四邊形ABCD中，用坐標法證明：。 點撥用坐標法證題的關鍵是選擇適當的直角坐標系，設出關鍵的點的坐標（或曲線的方程），據此推出未知的點的坐標，再通過代數計算證明所要求證的結論。 O A C B D x y 解答以CA所在的直線為x軸，線段CA的中點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系。 設A（, 0）,B(, ), 則C(－, 0), D(－, ). ∵ =2() =2[] = ∴ 總結用坐標法證題的關鍵是選擇適當的直角坐標系，直角坐標系的建立一般遵循下列原則：（1）原點取在定點，坐標軸以定直線或定線段所在的直線或圖形的對稱軸；（2）盡量利用圖形的對稱性；（3）設出所需點的坐標時，能使所用的字母盡量少。用坐標法證題時，不能把一般情況視為特殊情況，如本題中如把平行四邊形ABCD視為矩形或正方形加以證明，就失去了一般性。 變式題演練 圖1 4 22 9 6．5 4 6．3 O1 O x y C y A B 9 圖2 等腰直角三角形ABC中，，BD是AC邊上的中線，AEBD交BC于E，用坐標法證明：。 例2： 船行前方的河道上有一座圓拱橋，在正常 水位時，拱圈最高點距水面為9m，拱圈內水面寬 22m．船只在水面以上部分高6.5m、船頂部寬4m， 故通行無阻．近日水位暴漲了2.7m，船已經不能通 過橋洞了．船員必須加重船載，降低船身．試問船身 必須降低多少，才能順利地通過橋洞？ 點撥當船行駛在河道的正中央時，要使船能夠通過橋 洞的最低要求是船頂最寬處的角點在圓拱橋的拱圈上。 解答 畫出正常水位時的橋、船的示意圖如圖1；漲水 后橋、船的示意圖如圖2． 以正常水位時河道中央為原點，建立如圖2所示 的坐標系． 設橋拱圓頂的圓心在O1(x1,y1)，則x1=0，因此橋 拱圓頂在坐標系中的方程為x2+(y-y1)2=r2．其中 r為 橋拱半徑． 橋拱最高點B的坐標為(0,9)，橋拱與水線的交點A的坐標為(11,0)．圓O1過點A,B，因此 02+(9-y1)2=r2，112+(0-y1)2=r2， 兩式相減后得 121+18y1-81=0, y1=--2.22； 回代到兩個方程之一，即可解出r11.22． 所以橋拱圓頂的方程是 x2+(y+2.22)2=125.94． 當船行駛在河道的正中央時，船頂最寬處角點C的坐標為(x,y)，則x=2．使船能通過橋洞的最低要求，是點C正好的圓O1上，因此C(2,y)應滿足圓O1的方程，即 22+(y+2.22)2=125.94，解出 y8.82．扣除水面上漲的2.70, 點C距水面為8.82-2.70=6.12． ∴船身在水面以上部分原高6.5，所以為使船能通過橋洞，必須降低船身6.5-6.12=0.38(m)以上 總結求解本題的關鍵是要得到橋拱圓的方程，有了圓的方程，計算點C距水面高度等，問題就迎刃而解了． 變式題演練 據氣象臺預報：在A市正東方向300km的B處有一臺風中心形成，并以每小時40km的速度向西北方向移動。在距臺風中心250km以內的地區(qū)將受其影響，問從現在起經過多長時間，臺風將影響A市？持續(xù)時間多長？ 　　答案：以A為圓心，250km為半徑作⊙A，當臺風中心移動經過的直線與⊙A相交或相切時，A市將受到臺風影響。 以A為坐標原點，正東方向為x軸，建立直角坐標系，則A點的坐標為（0,0），B點坐標為（300,0），⊙A的方程為，直線的方程為 　　　　　　　　?。? 即　　　　　　　?。? 當點C（在⊙A上或⊙A內時，有 即，解之，得 近似地，得　　　　　　 8.6-2.0=6.6 這樣，大約在2小時后，臺風將影響A市，并持續(xù)約6.6小時。 例3：求一宇宙飛船的軌道，使得在軌道上任一點處看地球和月球的視角都相等。 O A B M（x, y） y x 點撥所謂在一點處看地球的視角，在數學上反映即從此點處所引的關于地球的兩條切線間的夾角，故本題可從兩個視角相等得到軌道上任一點應該滿足的條件。 解答設地球和月球的半徑分別為R、r，球心距為d，以地球、月球球心連線的中點為原點，連線所在直線為x軸，建立平面直角坐標系（如圖）. 　　設地球大圓圓心，月球大圓圓心，軌道上任一點M(x, y)，從M點向圓作切線，切點為A，從M點向圓作切線，切點為B， 　　由題意知，，∴∽ 　　∴＝，∴＝ 　　∴＝ 　　整理得 　　∴滿足條件的宇宙飛船的運行軌道為圓。 總結本題實質是一道求軌跡方程的問題，但在解題時關鍵是要審清題意，理解視角的概念，建立適當的直角坐標系，恰當地運用平面幾何知識，以簡化運算。 變式題演練 　　有相距100km的A、B兩個批發(fā)市場，商品的價格相同，但在某地區(qū)居民從兩地運回商品時，A地的單位距離的運費是B地的2倍。問怎樣確定A、B兩批發(fā)市場的售貨區(qū)域對當地居民有利？ 　　答案：建立以AB所在直線為x軸，AB中點為原點的直角坐標系，則A（－50,0），B（50,0）。 設P（x, y），由2｜PA｜＝｜PB｜，得 所以在圓內到A地購物合算；在圓外到B地購物合算；在圓上到A、B兩地購物一樣合算。 知識結構 知識點圖表 直線和圓的方程的應用 在平面幾何中的應用 在實際生活中的應用 數學建模 坐標法 學法指導 1、 數學建模分析的步驟： ?。?）讀懂題目。應包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關系、領悟實質。 “整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對象； “局部理解”是指抓住題目中的關鍵字句，正確把握其含義； “分析關系”就是根據題意，弄清題中各有關量的數量關系或空間形式； “領悟實質”是指抓住題目中的主要問題，正確識別其類型。 ?。?）建立數學模型。將實際問題抽象為數學問題，建模的直接準備就是審題的最后階段，從各種關系中找出最關鍵的數量關系，將此關系用有關的量及數字、符號表示出來，即可得到解決問題的數學模型。 ?。?）求解數學模型。根據所建立的數學模型，選擇合適的數學方法，設計合理簡捷的運算途徑，求出數學問題的解，其中特別注意實際問題中對變量范圍的限制及其他約束條件。 ?。?）檢驗。既要檢驗所得結果是否適合數學模型，又要評判所得結果是否符合實際問題的要求，從而對原問題作出合乎實際意義的回答。 　　2、用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉化為代數問題；然后通過代數運算解決代數問題；最后解釋代數運算結果的幾何含義，得到幾何問題的結論。這就是用坐標方法解決幾何問題的“三部曲”： 　　第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題； 　　第二步：通過代數運算，解決代數問題； 　　第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論。