2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第四課時(shí) 等差數(shù)列教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第四課時(shí) 等差數(shù)列教案(二) 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo): 明確等差中項(xiàng)的概念,進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式;培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn): 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn): 靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題. 教學(xué)過(guò)程: Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 等差數(shù)列定義:an-an-1=d(n≥2),等差數(shù)列通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d(n≥1),推導(dǎo)公式:an=am+(n-m)d Ⅱ.講授新課 首先,請(qǐng)同學(xué)們來(lái)思考這樣一個(gè)問題. 問題1:如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A,使a、A、b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么條件? 由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得:A-a=b-A,即:a=. 反之,若A=,則2A=a+b,A-a=b-A,即a、A、b成等差數(shù)列. 總之,A=a,A,b成等差數(shù)列. 如果a、A、b成等差數(shù)列,那么a叫做a與b的等差中項(xiàng). 不難發(fā)現(xiàn),在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng). 如數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,……中,3是1和5的等差中項(xiàng),5是3和7的等差中項(xiàng),7是5和9的等差中項(xiàng)等等. 進(jìn)一步思考,同學(xué)們是否還發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢? 比如5不僅是3和7的等差中項(xiàng),同時(shí)它也是1和9的等差中項(xiàng),即不僅滿足5=,同時(shí)還滿足5=. 再如7不僅是5和9的等差中項(xiàng),同時(shí)它也是3和11的等差中項(xiàng),還是1和13的等差中項(xiàng),即:7===. 看來(lái),a2+a4=a1+a5=2a3,a4+a6=a3+a7=2a5 依此類推,可得在一等差數(shù)列中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq. 下面,我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際問題. [例1]梯子的最高一級(jí)寬33 cm,最低一級(jí)寬110 cm,中間還有10級(jí),各級(jí)的寬度成等差數(shù)列,計(jì)算中間各級(jí)的寬度. 分析:首先要數(shù)學(xué)建模,即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后求其解,最后還要結(jié)合實(shí)際情況將其還原為實(shí)際問題的解. 解:用{an}表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列,由已知條件,有a1=33,a12=110,n=12. 由通項(xiàng)公式,得a12=a1+(12-1)d,即:110=33+11d,解得:d=7. 因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103. 答案:梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 評(píng)述:要注意將模型的解還原為實(shí)際問題的解. [例2]已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=pn+q,其中p、q是常數(shù),且p≠0,那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?如果是,其首項(xiàng)與公差是什么? 分析:由等差數(shù)列的定義,要判定{an}是不是等差數(shù)列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)就行了. 解:取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n≥2), an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p 它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù),所以{an}是等差數(shù)列,且公差是p. 在通項(xiàng)公式令n=1,得a1=p+q,所以這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是p+q,公差是p.看來(lái),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為:an=pn+q(其中p、q是常數(shù)) 當(dāng)p=0時(shí),它是一常數(shù)數(shù)列,從圖象上看,表示這個(gè)數(shù)列的各點(diǎn)均在y=q的圖象上.當(dāng)p≠0時(shí),它是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示這個(gè)數(shù) 列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上. 例如,首項(xiàng)是1,公差是2的無(wú)窮等差數(shù)列的通項(xiàng) 公式為:an=2n-1,相應(yīng)的圖象是直線y=2x-1上的均 勻排開的無(wú)窮多個(gè)孤立點(diǎn).如圖所示: [例3]已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其和為15,其平方 和為83,求此三個(gè)數(shù). 解:設(shè)此三數(shù)分別為x-d、x、x+d 則 解得x=5,d=2. ∴所求三個(gè)數(shù)列分別為3、5、7或7、5、3. 評(píng)述:三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)注意其設(shè)法. [例4]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=2,a2=3,若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)后,和原數(shù)列仍構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,試問: (1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)? (2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)? 分析:運(yùn)用遞推歸納的思想方法,從特殊中找規(guī)律,得到或猜想出一般結(jié)論,然后再回到特殊解決問題,這應(yīng)該是解決本題的一個(gè)基本途徑. 解:原數(shù)列的第一項(xiàng)是新數(shù)列的第1項(xiàng),原數(shù)列的第二項(xiàng)是新數(shù)列的第2+3=5項(xiàng),原數(shù)列的第三項(xiàng)是新數(shù)列的第3+23=9項(xiàng).……原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第n+(n-1)3=4n-3項(xiàng). (1)當(dāng)n=12時(shí),4n-3=412-3=45,故原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第45項(xiàng). (2)令4n-3=29,解得n=8,故新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng). 評(píng)述:一般地,在公差為d的等差數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入m個(gè)數(shù),構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列,則新數(shù)列的公差為,原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第n+(n-1)m=(m+1)n-m項(xiàng). [例5]在等差數(shù)列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通項(xiàng)公式. 分析一:利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解. 解法一:設(shè)所求的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d 則 即 ①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7 ③ ∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=8 即16-25d2=7,解得d=. 當(dāng)d=時(shí),a1=-,an=-+(n-1)=n- 當(dāng)d=-時(shí),a1=,an=+(n-1)(-)=-n+. 分析二:視a3,a8,a13作為一個(gè)整體,再利用性質(zhì):若m+n=p+q,則am+an=ap+aq解題. 解法二:∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4 代入已知得 解得或 由a3=1,a13=7得d===. ∴an=a3+(n-3)=n-. 由a3=7,a13=1,仿上可得:an=-n+. 評(píng)述:在解答本題時(shí),首先應(yīng)注意到{an}是等差數(shù)列這個(gè)大前提,否則,僅有a3+a8+a18=12及a3a8a13=28就無(wú)法求出a3,a8,a13的具體值;其次,應(yīng)注意到a3,a8,a13中腳碼3,8,13間的關(guān)系:3+13=8+8,從而得到a3+a13=a8+a8=2a8. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P36練習(xí) 已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d: (1)將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉,其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù) 列,這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別 是多少? 解:設(shè)一無(wú)窮等差數(shù)列為:a1,a2,…,am,am+1,…,an,… 若去掉前m項(xiàng),則新數(shù)列為:am+1,…,an,…,即首項(xiàng)為am+1,公差為d的等差數(shù)列. (2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是多少? 解:若設(shè)一無(wú)窮等差數(shù)列為:a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…,則取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng),組成的新數(shù)列為:a1,a3,a5,…,a2m-1,… 即,首項(xiàng)為a1,公差為2d的等差數(shù)列. (3)取出數(shù)列中的所有項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)的各項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差各是多少? 設(shè)一無(wú)窮等差數(shù)列為:a1,a2,a3,…,an,…,則新數(shù)列為:a7,a14,a21,…,a7m,…,即首項(xiàng)為a7,公差為7d的等差數(shù)列. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),首先,需掌握等差中項(xiàng)概念,及A=與a,A,b成等差數(shù)列的關(guān)系,另外,還應(yīng)注意等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P39習(xí)題 4,5,6,7- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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