2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 2.10 函數(shù)的綜合應用教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 2.10 函數(shù)的綜合應用教案 理 新人教A版典例精析題型一抽象函數(shù)的計算或證明【例1】已知函數(shù) f (x)對于任何實數(shù)x,y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),且f(0)0.求證: f(x)是偶函數(shù).【證明】因為對于任何實數(shù)x、y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),令xy0,則f(0)f(0)2f(0)f(0),所以2f(0)2f(0)f(0),因為f(0)0,所以f(0)1,令x0,yx,則f(0x)f(0x)2f(0)f(x),所以f(x)f(x)2f(x),所以f(x)f(x),故f(x)是偶函數(shù).【點撥】對于判斷抽象函數(shù)的奇偶性問題常常采用“賦值法”探索求解途徑;判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性單調性時,既要扣緊函數(shù)奇偶性單調性的定義,又要靈活多變,以創(chuàng)造條件滿足定義的要求.【變式訓練1】已知函數(shù)f(x)對任意的x,y有f(xy)f(x)f(y),且f(x)的定義域為R,請判定f(x)的奇偶性.【解析】取xy0,得f(0)0.取yx,得f(x)f(x),所以f(x)為奇函數(shù).題型二函數(shù)與導數(shù)的綜合應用【例2】已知函數(shù)f(x)x32x2ax1.(1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為4,求實數(shù)a的值;(2)若函數(shù)g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意得g(x)f(x)3x24xa.(1)f(1)34a4,所以a3.(2)方法一:當g(1)a10,即a1時,g(x)f(x)的零點x(1,1);當g(1)7a0,即a7時,f(x)的零點x(1,1),不合題意;當g(1)g(1)0時,1a7;當時,a1.綜上所述,a,7).方法二:g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點,等價于3x24xa在區(qū)間(1,1)上有解,也等價于直線ya與曲線y3x24x,x(1,1)有公共點,作圖可得a,7).方法三:等價于當x(1,1)時,求值域:a3x24x3(x)2,7).【變式訓練2】二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與坐標軸交于(1,0)和(0,1),且其頂點在第四象限,則abc的取值范圍為.【解析】由已知c1,abc0,所以abc2a2.又0a1,所以abc(2,0).題型三化歸求函數(shù)的最大值和最小值問題【例3】某個體經(jīng)營者把開始6個月試銷售A、B兩種商品的逐月投資與所獲得的純利潤列成下表:投資A商品(萬元)123456獲純利(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B商品(萬元)123456獲純利(萬元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品,但不知投入A、B兩種商品各多少才能獲得最大的利潤,請你幫助制定一個資金投入方案,使該經(jīng)營者能獲得最大利潤,并根據(jù)你的方案求出經(jīng)營者下個月可能獲得的最大利潤(結果保留兩個有效數(shù)字).【解析】以投資金額為橫坐標,純利潤為縱坐標,可以在直角坐標系中畫出圖象.據(jù)此可以考慮用下列函數(shù)描述上述兩組數(shù)據(jù)之間的對應關系ya(x4)22 (a0),ybx,把x1,y0.65代入得a0.15,故前6個月所獲得的純利潤關于投資A商品的金額函數(shù)關系式可近似的用y0.15(x4)22表示,再把x4,y1代入可得b0.25,故前6個月所獲得的純利潤關于投資B商品的金額函數(shù)關系式可近似的用y0.25x表示,設下個月投資A商品x萬元,則投資B商品(12x)萬元,則可獲得純利潤為y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6,可得當x3.2時,y取最大值4.1萬元.故下個月分別投資A、B兩種商品3.2萬元和8.8萬元可獲得最大利潤4.1萬元.【點撥】本題可以用兩個函數(shù)近似地表示兩種投資方案,是估計思想的體現(xiàn).根據(jù)表中所列數(shù)據(jù),把近似函數(shù)的解析式求出來,由此求得最大利潤.解決此類問題的關鍵在于根據(jù)列出的散點圖來選取適當?shù)暮瘮?shù)模型,然后求出待定系數(shù)便可求得函數(shù)解析式,再由解析式求最優(yōu)解.【變式訓練3】求函數(shù)y的值域.【解析】x0時,y0;x0時,y,所以0y1;x0時,y,所以y0.綜上,y1.總結提高1.函數(shù)把數(shù)學各個分支緊緊地連在一起,函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)彼此滲透、互相融合,構成了函數(shù)應用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.解這類綜合問題應注意如下幾點: (1)在解題時有些函數(shù)的性質并不明顯,深入挖掘這些隱含條件,將獲得簡捷解法; (2)應堅持“定義域優(yōu)先”的原則,先弄清自變量的取值范圍; (3)函數(shù)思想處處存在,要重視對函數(shù)思想的研究和應用,在解題時,要有意識地引進變量,建立相關函數(shù)關系,利用有關函數(shù)知識解決問題.2.解函數(shù)應用題的基本步驟:(1)閱讀理解,審清題意.讀題要逐字逐句,讀懂題中的文字敘述,理解敘述所表達的實際背景,在此基礎上分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應的數(shù)學問題;(2)引進數(shù)學符號,建立數(shù)學模型.一般地,設自變量為x,函數(shù)為y,必要時引進其他相關輔助變量,并用x、y和輔助變量表示各相關量,然后再根據(jù)問題已知條件,運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識和其他相關知識建立關系式,在此基礎上,將實際問題轉化為函數(shù)問題,實現(xiàn)問題數(shù)學化,即建立數(shù)學模型;(3)利用數(shù)學方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題予以解答,求出結果;(4)將所得結果轉譯成具體問題的解答.- 配套講稿:
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