2019-2020年高中數(shù)學 排列與組合 版塊七 排列組合問題的常用方法總結1完整講義（學生版）.doc

《2019-2020年高中數(shù)學 排列與組合 版塊七 排列組合問題的常用方法總結1完整講義（學生版）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數(shù)學 排列與組合 版塊七 排列組合問題的常用方法總結1完整講義（學生版）.doc（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學 排列與組合 版塊七 排列組合問題的常用方法總結1完整講義（學生版） 知識內(nèi)容 1．基本計數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理． ⑵乘法原理 分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理． 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素） 排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示． 排列數(shù)公式：，，并且． 全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列． 的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合． 組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示． 組合數(shù)公式：，，并且． 組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有． 7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！ 8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題． 1．排列與組合應用題，主要考查有附加條件的應用問題，解決此類問題通常有三種途徑： ①元素分析法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 求解時應注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答． 2．具體的解題策略有： ①對特殊元素進行優(yōu)先安排； ②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏； ③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復； ④對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理； ⑥對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面． ⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構造模型． 典例分析 直接法 （優(yōu)先考慮特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分類討論） 【例1】 從名外語系大學生中選派名同學參加廣州亞運會翻譯、交通、禮儀三項義工活動，要求翻譯有人參加，交通和禮儀各有人參加，則不同的選派方法共有 ． 【例2】 北京《財富》全球論壇期間，某高校有名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為 A． B． C． D． 【例3】 在平面直角坐標系中，軸正半軸上有個點，軸正半軸有個點，將軸上這個點和軸上這個點連成條線段，這條線段在第一象限內(nèi)的交點最多有（ ） A．個 B．個 C．個 D．個 【例4】 一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球， ⑴從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？ ⑵若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？ 【例5】 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的個白球和個黑球． ⑴從口袋內(nèi)取出個球，共有多少種取法？ ⑵從口袋內(nèi)取出個球，使其中含有個黑球，有多少種取法？ ⑶從口袋內(nèi)取出個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 【例6】 有名劃船運動員，其中人只會劃左舷，人只會劃右舷，其余人既會劃左舷也會劃右舷．從這名運動員中選出人平均分在左、右舷劃船參加比賽，有多少種不同的選法？ 【例7】 若，則，就稱是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例8】 從名女生，名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為______． A． B． C． D． 【例9】 某城市街道呈棋盤形，南北向大街條，東西向大街條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種． 【例10】 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用步走完，則上樓梯的方法有______種． 【例11】 亞、歐乒乓球?qū)官?，各隊均有名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？ 【例12】 設含有個元素的集合的全部子集數(shù)為，其中由個元素組成的子集數(shù)為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【例13】 設坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿軸跳動，每次向正方向或負方向跳動一個單位，經(jīng)過次跳動質(zhì)點落在點（允許重復過此點）處，則質(zhì)點不同的運動方法種數(shù)為　　　　　 ． 【例14】 從名男同學，名女同學中選名參加體能測試，則選到的名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有________種（用數(shù)字作答） 【例15】 在的邊上有四點，邊上有共個點，連結線段，如果其中兩條線段不相交，則稱之為一對“和睦線”，和睦線的對數(shù)共有：（ ） A． B． C． D． 【例16】 從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種？ ⑴ 、必須當選； ⑵ 、都不當選； ⑶ 、不全當選； ⑷ 至少有2名女生當選； ⑸ 選出5名同學，讓他們分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任． 【例17】 甲組有名男同學，名女同學；乙組有名男同學、名女同學．若從甲、乙兩組中各選出名同學，則選出的人中恰有名女同學的不同選法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例18】 從名大學畢業(yè)生中選人擔任村長助理，則甲、乙至少有人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例19】 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例20】 要從個人中選出個人去參加某項活動，其中甲乙必須同時參加或者同時不參加，問共有多少種不同的選法？ 【例21】 有四個停車位，停放四輛不同的車，有幾種不同的停法？若其中的一輛車必須停放在兩邊的停車位上，共有多少種不同的停法？ 【例22】 某班5位同學參加周一到周五的值日，每天安排一名學生，其中學生甲只能安排到周一或周二，學生乙不能安排在周五，則他們不同的值日安排有（ ） A．288種 B．72種 C．42種 D．36種 【例23】 某班有名男生，名女生，現(xiàn)要從中選出人組成一個宣傳小組，其中男、女學生均不少于人的選法為（ ） A． B． C． D． 【例24】 用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個 ⑴數(shù)字1不排在個位和千位 ⑵數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位． 【例25】 甲、乙、丙、丁、戊名學生進行講笑話比賽，決出了第一到第五的名次，甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”．從這個回答分析，人的名次排列共有_______（用數(shù)字作答）種不同情況． 【例26】 某高校外語系有名奧運會志愿者，其中有名男生，名女生，現(xiàn)從中選人參加某項“好運北京”測試賽的翻譯工作，若要求這人中既有男生，又有女生，則不同的選法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例27】 用5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中恰好有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)的個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例28】 某電視臺連續(xù)播放個不同的廣告，其中有個不同的商業(yè)廣告和個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且兩個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例29】 從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽， 要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有_____種（用數(shù)字作答）． 【例30】 從名男生和名女生中選出人，分別從事三項不同的工作，若這人中至少有名女生，則選派方案共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例31】 甲組有名男同學，名女同學；乙組有名男同學、名女同學．若從甲、乙兩組中各選出名同學，則選出的人中恰有名女同學的不同選法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例32】 將名大學生分配到個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_______種（用數(shù)字作答）． 【例33】 用數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)共有（ ） A．個 B．個 C．個 D．個 【例34】 一生產(chǎn)過程有道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等名工人中安排人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排人，則不同的安排方案共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例35】 2位男生和3位女生共5位同學站成一排．若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為 （ ） A．36 B．42 C． 48 D．60 【例36】 從名女生，名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為______． A． B． C． D． 【例37】 名志愿者中安排人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動．若每天安排人，則不同的安排方案共有 種（用數(shù)字作答）． 【例38】 給定集合，映射滿足： ①當時，； ②任取，若，則有． 則稱映射：是一個“優(yōu)映射”．例如：用表1表示的映射：是一個“優(yōu)映射”． 表1 表2 1 2 3 2 3 1 ⑴ 1 2 3 4 3 已知表2表示的映射：是一個優(yōu)映射，請把表2補充完整（只需填出一個滿足條件的映射）； ⑵若映射：是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個，則這樣的“優(yōu)映射”的個數(shù)是_____． 【例39】 將個不同的小球全部放入編號為和的兩個小盒子里，使得每個盒子里的球的個數(shù)不小于盒子的編號，則不同的放球方法共有__________種． 【例40】 將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（　?。? A．10種　　　B．20種　　　C．36種 　　　D．52種 【例41】 一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球， ⑴從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？ ⑵若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？ 【例42】 正整數(shù)稱為凹數(shù)，如果，且，其中，請回答三位凹數(shù)共有 個（用數(shù)字作答）． 【例43】 年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例44】 某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有_______種．（用數(shù)字作答） 【例45】 某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？ 【例46】 從7人中選派5人到10個不同交通崗的5個中參加交通協(xié)管工作，則不同的選派方法有（ ） A．種 B．種 C．種 D． 【例47】 12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（ ） A．種 B．3種 C．種 D．種 【例48】 袋中裝有分別編號為的個白球和個黑球，從中取出個球，則取出球的編號互不相同的取法有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種． 【例49】 現(xiàn)有男、女學生共人，從男生中選人，從女生中選人分別參加數(shù)學、物理、化學三科競賽，共有種不同方案，那么男、女生人數(shù)分別是（ ） A．男生人，女生人 B．男生人，女生人 C．男生人，女生人 D．男生人，女生人． 【例50】 將個小球任意放入個不同的盒子中， ⑴若個小球各不相同，共有多少種放法？ ⑵若要求每個盒子都不空，且個小球完全相同，共有多少種不同的放法？ ⑶若要求每個盒子都不空，且個小球互不相同，共有多少種不同的放法？ 【例51】 將個小球任意放入個不同的盒子中，每個盒子都不空， ⑴若個小球完全相同，共有多少種不同的放法？ ⑵若個小球互不相同，共有多少種不同的放法？ 【例52】 四個不同的小球，每球放入編號為、、、的四個盒子中． ⑴ 隨便放（可以有空盒，但球必須都放入盒中）有多少種放法？ ⑵ 四個盒都不空的放法有多少種？ ⑶ 恰有一個空盒的放法有多少種？ ⑷ 恰有兩個空盒的放法有多少種？ ⑸ 甲球所放盒的編號總小于乙球所放盒的編號的放法有多少種？ 【例53】 設坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿軸跳動，每次向正方向或負方向跳個單位，若經(jīng)過次跳動質(zhì)點落在點處（允許重復過此點），則質(zhì)點不同的運動方法共___________種；若經(jīng)過次跳動質(zhì)點落在點處（允許重復過此點），其中，且為偶數(shù)，則質(zhì)點不同的運動方法共有_______種． 【例54】 設集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有（ ） A．50種 B．49種 C．48種 D．47種 【例55】 是集合到集合的映射，是集合到集合的映射，則不同的映射的個數(shù)是多少？有多少？滿足的映射有多少？滿足的映射對有多少？ 【例56】 排球單循壞賽，勝者得分，負者分，南方球隊比北方球隊多支，南方球隊總得分是北方球隊的倍， 設北方的球隊數(shù)為． ⑴試求北方球隊的總得分以及北方球隊之間比賽的總得分； ⑵證明：或； ⑶證明：冠軍是一支南方球隊． 【例57】 已知集合，函數(shù)的定義域、值域都是，且對于任意．設是的任意的一個排列，定義數(shù)表，若兩個數(shù)表的對應位置上至少有一個數(shù)不同，就說這是兩張不同的數(shù)表，那么滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為（ ） A． B． C． D． 間接法（直接求解類別比較大時） 【例58】 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？ 【例59】 從中取一個數(shù)字，從中取兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，則所有不同的三位數(shù)的個數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例60】 以三棱柱的頂點為頂點共可組成 個不同的三棱錐． 【例61】 設集合，集合是的子集，且滿足，，那么滿足條件的子集的個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例62】 將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例63】 某高校外語系有名奧運會志愿者，其中有名男生，名女生，現(xiàn)從中選 人參加某項“好運北京”測試賽的翻譯工作，若要求這人中既有男生，又有女生，則不同的選法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例64】 對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（是不小于的正整數(shù)），如果在時有，則稱“與”是該數(shù)組的一個“順序”，一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù)”．例如，數(shù)組中有順序“”，“”，其“順序數(shù)”等于．若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“順序數(shù)”是，則的“順序數(shù)”是_________． 【例65】 已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例66】 甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）． 【例67】 設有編號為，，，，的五個球和編號為，，，，的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入個盒子內(nèi)， ⑴只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？ ⑵沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？ ⑶每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？ 【例68】 在排成的方陣的個點中，中心個點在某一個圓內(nèi)，其余個點在圓外，在個點中任選個點構成三角形，其中至少有一頂點在圓內(nèi)的三角形共有（ ） A．個 B．個 C．個 D．個 【例69】 從甲、乙等名同學中挑選名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有人參加，則不同的挑選方法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例70】 若關于的方程組有解，且所有解都是整數(shù)，則有序數(shù)對的數(shù)目為（ ） A． B． C． D． 【例71】 從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中選名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例72】 甲、乙兩人從門課程中各選修門，則甲、乙所選的課程中至少有門不相同的選法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例73】 ，則含有五個元素，且其中至少有兩個偶數(shù)的的子集個數(shù)為_____． 【例74】 在由數(shù)字0，1，2，3，4所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有_______個． 【例75】 在的邊上取個點，在邊上取個點（均除點外），連同點共個點，現(xiàn)任取其中三個點為頂點作三角形，可作出三角形的個數(shù)為多少？ 【例76】 共個人，從中選名組長名副組長，但不能當副組長，不同的選法總數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例77】 將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例78】 三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成___ _個三角形． 【例79】 從名奧運志愿者中選出名，分別從事翻譯、導游、保潔三項不同的工作，每人承擔一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ） A．種 　B．種 C．種 　　D．種 【例80】 某校從名教師中選派名教師同時去個邊遠地區(qū)支教（每地人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種（ ） A． B． C． D． 【例81】 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各 一臺，則不同的選法有_____種（用數(shù)字作答）