2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 第2部分 大專題綜合測3 數(shù)列（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 第2部分 大專題綜合測3 數(shù)列（含解析） 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(文)(xx北京西城區(qū)二模)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，滿足a2＋a4＋…＋a20＝10，則數(shù)列{an}前21項的和等于(　　) A.　　　　 B．21 C．42　　　　 D．84 [答案]　B [解析]　由a2＋a4＋…＋a20＝10a11＝10得a11＝1，所以等差數(shù)列{an}的前21項和S21＝21a11＝21，故選B． (理)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，則S30為(　　) A．15　　　　 B．20 C．25　　　　 D．30 [答案]　A [解析]　S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝12. 又S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列． 即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15. 2．(文)(xx北京東城練習)已知{an}為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，若a4a8＝4，則a5a6a7＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．64 [答案]　B [解析]　由題意得a4a8＝a＝4，又因為數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，所以a6＝2，則a5a6a7＝a＝8，故選B． (理)(xx河北衡水中學二調)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，則a6＝(　　) A．27　 　　 B．81　　 　 C． 243　　　 D．729 [答案]　C [解析]　∵a1a2a3＝a＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1＝3，∴a1＝1，∴q＝＝3，∴a6＝a1q5＝35＝243. 3．(xx杭州第二次質檢)設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，若＋＝＋，＋＝＋，則a1a5＝(　　) A．24 B．8 C．8 D．16 [答案]　C [解析]　利用等比數(shù)列的通項公式求解．設此正項等比數(shù)列的公比為q，q>0， 則由＋＝＋得＝，a1a2＝4，同理由＋＝＋得a3a4＝16，則q4＝＝4，q＝，a1a2＝a＝4，a＝2，所以a1a5＝aq4＝8，故選C. 4．(文)(xx青島市質檢)“?n∈N*,2an＋1＝an＋an＋2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　本題考查等差數(shù)列的定義以及充要條件的判斷，難度較?。? 由2an＋1＝an＋an＋2，可得an＋1－an＝an＋2－an＋1，由n的任意性可知，數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差是固定的常數(shù)，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，反之，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，易得2an＋1＝an＋an＋2，故“?n∈N*,2an＋1＝an＋an＋2”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充要條件，故選C. (理)“l(fā)gx，lgy，lgz成等差數(shù)列”是“y2＝xz”成立的(　　) A．充分非必要條件　　　 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　“l(fā)gx，lgy，lgz成等差數(shù)列”?2lgy＝lgx＋lgz?y2＝xz，但y2＝xz?/ 2lgy＝lgx＋lgz，∴選A. 5．(文)(xx福州質檢)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝2a6＋a4，則a5的值為(　　) A．－5 B．－ C． D． [答案]　B [解析]　本題考查等差數(shù)列的通項公式，難度中等． 設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a8＝2a6＋a4，故a2＋6d＝2a2＋8d＋a2＋2d，解得d＝－，故a5＝a2＋3d＝1－＝－，故選B． (理)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，前20項和為100，則a7a14的最大值是(　　) A．25 B．50 C．100 D．不存在 [答案]　A [解析]　∵S20＝20＝100，∴a1＋a20＝10. ∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10. ∵an>0，∴a7a14≤()2＝25.當且僅當a7＝a14時取等號． 6．(文)在直角坐標系中，O是坐標原點，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限內的兩個點，若1，x1，x2,4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2,8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　由等差、等比數(shù)列的性質，可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴P1(2,2)，P2(3,4)，∴S△OP1P2＝1. (理)(xx長沙市一模)等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lgan}的前8項和等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 [答案]　C [解析]　設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝＝，an＝a4qn－4＝2()n－4，則lgan＝lg2＋(n－4)lg，數(shù)列{lgan}成等差數(shù)列，所以前8項和等于＝4(lg2－3lg＋lg2＋4lg)＝4，故選C. 7．(xx河南商丘市二模)在遞增的等比數(shù)列{an}中，已知a1＋an＝34，a3an－2＝64，且前n項和為Sn＝42，則n＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 [答案]　D [解析]　由已知得a1＋a1qn－1＝34，aqn－1＝64，∴a1＋＝34，解得：a1＝32或a1＝2，當a1＝32時，qn－1<1不適合題意，故a1＝2，qn－1＝16，又Sn＝＝＝42，解得q＝4，∴4n－1＝16，n－1＝2，n＝3. 8．(文)兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是，且a>b，則雙曲線－＝1的離心率e等于(　　) A. B． C． D． [答案]　D [解析]　由已知可得a＋b＝5，ab＝6， 解得或(舍去)． 則c＝＝，故e＝＝. (理)△ABC的三邊分別為a、b、c，若b既是a、c的等差中項，又是a、c的等比中項，則△ABC是(　　) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形 [答案]　C [解析]　∵b是a、c的等差中項，∴b＝.又∵b是a、c的等比中項，∴b＝，∴()2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴b＝＝a，故△ABC是等邊三角形． 9．(xx天津十二區(qū)縣聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，則＋＋…＋等于(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　本題考查數(shù)列的遞推公式、裂項法求和，難度中等． 依題意an＋1＝an＋n＋1，故an＋1－an＝n＋1，由累加法可得an－a1＝，an＝，故＝＝2(－)，故＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝＝，故選C. 10．(文)已知數(shù)列{an}，若點(n，an)(n∈N*)在經(jīng)過點(5,3)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前9項和S9＝(　　) A．9 B．10 C．18 D．27 [答案]　D [解析]　由條件知a5＝3，∴S9＝9a5＝27. (理)(xx鄭州市質檢)已知實數(shù)4，m,9構成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　　) A. B． C.或 D．或 [答案]　C [解析]　由題意知m2＝36，m＝6，當m＝6時，該圓錐曲線表示橢圓，此時a＝，b＝1，c＝，e＝；當m＝－6時，該圓錐曲線表示雙曲線，此時a＝1，b＝，c＝，e＝，故選C. 11．(文)(xx重慶市調研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝7，a6＋a8＝－6，則Sn取最大值時，n的值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　C [解析]　a7＝(a6＋a8)＝－3，公差d＝＝－2，an＝a2－2(n－2)＝11－2n，因此在等差數(shù)列{an}中，前5項均為正，從第6項起以后各項均為負，當Sn取最大值時，n的值為5，故選C. (理)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，則“d>|a1|”是“Sn的最小值為S1，且Sn無最大值”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　依題意，當d>|a1|時，數(shù)列{an}是遞增的數(shù)列，無論a1的取值如何，Sn的最小值為S1，且Sn無最大值；反過來，當Sn的最小值為S1，且Sn無最大值時，如當a1＝1，d＝時，此時Sn的最小值為S1，且Sn無最大值，但不滿足d>|a1|.綜上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值為S1，且Sn無最大值”的充分不必要條件． 12．(文)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，執(zhí)行程序框圖(如下圖)，當k＝4時，輸出S＝，則axx＝(　　) A．xx B．xx C．xx D．xx [答案]　D [解析]　由程序框圖可知，{an}是公差為1的等差數(shù)列， 且＋＋＋＝， ∴－＋－＋－＋－＝－＝， ∴－＝，解得a1＝2，∴axx＝a1＋xxd＝2＋xx＝xx. (理)已知曲線C：y＝(x>0)上兩點A1(x1，y1)和A2(x2，y2)，其中x2>x1.過A1、A2的直線l與x軸交于點A3(x3,0)，那么(　　) A．x1，，x2成等差數(shù)列 B．x1，，x2成等比數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．x1，x3，x2成等比數(shù)列 [答案]　A [解析]　直線A1A2的斜率k＝＝＝－，所以直線A1A2的方程為y－＝－(x－x1)，令y＝0解得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋x2，故x1，，x2成等差數(shù)列，故選A. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上) 13．(xx?？谑姓{研)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則Sxx＝________. [答案]　1008 [解析]　由an＋1－an＝sin?an＋1＝an＋sin，∴a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1， ∴a5＝a1，如此繼續(xù)可得an＋4＝an(n∈N*)，數(shù)列{an}是一個以4為周期的周期數(shù)列，而xx＝4503＋2，因此Sxx＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008. 14．(文)定義運算＝ad－bc，函數(shù)f(x)＝圖象的頂點坐標是(m，n)，且k，m，n，r成等差數(shù)列，則k＋r的值為________． [答案]?。? [解析]　f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7的頂點坐標為(－2，－7)， ∵m＝－2，n＝－7，∴k＋r＝m＋n＝－9. (理)已知數(shù)列{an}的通項為an＝7n＋2，數(shù)列{bn}的通項為bn＝n2.若將數(shù)列{an}、{bn}中相同的項按從小到大順序排列后記作數(shù)列{cn}，則c9的值是________． [答案]　961 [解析]　設數(shù)列{an}中的第n項是數(shù)列{bn}中的第m項，則m2＝7n＋2，m、n∈N*.令m＝7k＋i，i＝0,1,2，…，6，k∈Z，則i2除以7的余數(shù)是2，則i＝3或4，所以數(shù)列{cn}中的項依次是{bn}中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c9＝b31＝312＝961. 15．(xx遼寧省協(xié)作校聯(lián)考)若數(shù)列{an}與{bn}滿足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S63＝________. [答案]　560 [解析]　∵bn＝＝，又a1＝2，∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…， ∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560. 16．(xx山西大學附中月考)已知無窮數(shù)列{an}具有如下性質：①a1為正整數(shù)；②對于任意的正整數(shù)n，當an為偶數(shù)時，an＋1＝；當an為奇數(shù)時，an＋1＝.在數(shù)列{an}中，若當n≥k時，an＝1，當1≤n1(k≥2，k∈N*)，則首項a1可取數(shù)值的個數(shù)為________(用k表示)． [答案]　2k－2 [解析]　當n≥k時，an＝1，∴ak＝1，當n1矛盾，∴ak＝，∴ak－1＝2，同理可得ak－2＝3或4，ak－3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵k－(k－2)＝2，∴倒推(k－2)步可求得a1，∴a1有2k－2個可能取值． 三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)(文)(xx江蘇宿遷摸底)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和Sn＝(an－1)(an＋2)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝(－1)nanan＋1，求數(shù)列{bn}的前2n項的和T2n. [解析]　(1)當n＝1時，S1＝(a1－1)(a1＋2)＝a1， 解得a1＝－1或a1＝2， 因為a1>0，所以a1＝2. 當n≥2時，Sn＝(an－1)(an＋2)， Sn－1＝(an－1－1)(an－1＋2)， 兩式相減得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 又因為an>0，所以an＋an－1>0，所以an－an－1＝1， 所以{an}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以an＝n＋1. (2)T2n＝－a1a2＋a2a3－a3a4＋a4a5－a5a6＋…＋a2n－2a2n－1－a2n－1a2n＋a2na2n＋1＝2(a2＋a4＋…＋a2n)， 又a2，a4，…，a2n是首項為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝n2＋2n， 故T2n＝2n2＋4n. [易錯分析]　本題有兩個易錯點：一是數(shù)列{an}的通項公式求解錯誤或者不認真審題導致求解過程出現(xiàn)增根；二是在數(shù)列求和時，不能夠合理地分類與整合． (理)(xx臨沂三校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,4是a1和a4的一個等比中項，a2和a3的等差中項為6，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn. [解析]　(1)因為4是a1和a4的一個等比中項， 所以a1a4＝(4)2＝32. 由題意可得 因為q>1，所以a3>a2. 解得所以q＝＝2. 故數(shù)列{an}的通項公式an＝2n. (2)由于bn＝log2an(n∈N*)，所以anbn＝n2n， Sn＝12＋222＋323＋…＋(n－1)2n－1＋n2n，① 2Sn＝122＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1.② ①－②得，－Sn＝12＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1. 所以Sn＝2－2n＋1＋n2n＋1. 18．(本題滿分12分)(文)已知數(shù)列{an}的首項為1，對任意的n∈N*，定義bn＝an＋1－an. (1)若bn＝n＋1， ①求a3的值和數(shù)列{an}的通項公式； ②求數(shù)列{}的前n項和Sn； (2)若bn＋1＝bn＋2bn(n∈N*)，且b1＝2，b2＝3，求數(shù)列{bn}的前3n項的和． [解析]　(1)①a1＝1，a2＝a1＋b1＝1＋2＝3，a3＝a2＋b2＝3＋3＝6 當n≥2時，由an＋1－an＝n＋1得 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝ 而a1＝1適合上式，所以an＝(n∈N*)． ②由①得：＝＝2(－)， Sn＝＋＋＋…＋ ＝2(1－)＋2(－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－)＝. (2)因為對任意的n∈N*有bn＋6＝＝＝＝bn， 所以數(shù)列{bn}為周期數(shù)列，周期為6. 又數(shù)列{bn}的前6項分別為2,3，，，，，且這六個數(shù)的和為8. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，則 當n＝2k(k∈N*)時， S3n＝S6k＝k(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＝8k， 當n＝2k＋1(k∈N*)時， S3n＝S6k＋3＝k(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＋b6k＋1＋b6k＋2＋b6k＋3＝8k＋b1＋b2＋b3＝8k＋， 當n＝1時，S3＝ 所以，當n為偶數(shù)時，S3n＝4n； 當n為奇數(shù)時，S3n＝4n＋. (理)(xx鄭州市質檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk對任意n∈N*恒成立的實數(shù)k的取值范圍． [解析]　(1)由Sn＝2an－2可得a1＝2，因為Sn＝2an－2， 所以，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1, 即：＝2. 數(shù)列{an}是以a1＝2為首項，公比為2的等比數(shù)列， 所以，an＝2n(n∈N*)． (2)bn＝log2a1＋log2a2＋…log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝. (n－8)bn≥nk對任意n∈N*恒成立，等價于≥k對n∈N*恒成立； 設cn＝(n－8)(n＋1)，則當n＝3或4時，cn取得最小值為－10，所以k≤－10. 19．(本題滿分12分)(文)(xx河北衡水中學三調)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，－＝0，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝－1，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，證明Sn<. [解析]　(1)由已知－＝0，n∈N*. 即－＝0,1＋－＝0. 即－＝－1(常數(shù)) ∴數(shù)列是以＝－2為首項，以－1為公差的等差數(shù)列． 可得＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1)， ∴an＝ (2)由(1)可得an＝. ∵bn＝－1＝－1＝＝ ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＋ ＝<＝. (理)已知數(shù)列{an}具有性質：①a1為整數(shù)；②對于任意的正整數(shù)n，當an為偶數(shù)時，an＋1＝；當an為奇數(shù)時，an＋1＝； (1)若a1為偶數(shù)，且a1，a2，a3成等差數(shù)列，求a1的值； (2)設a1＝2m＋3(m>3且m∈N)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求證：Sn≤2m＋1＋3； (3)若an為正整數(shù)，求證：當n>1＋log2a1(n∈N)時，都有an＝0. [解析]　(1)設a1＝2k，則a2＝k， 由條件知2k＋a3＝2k，∴a3＝0. 分兩種情況討論： 若k是奇數(shù)，則a3＝＝＝0，∴k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0， 若k是偶數(shù)，則a3＝＝＝0，∴k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0， ∴a1的值為2或0. (2)當m>3時，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5＝2m－4，…，am＝2，am＋1＝1，am＋2＝…＝an＝0， ∴Sn≤Sm＋1＝1＋2＋…＋2m＋4＝2m＋1＋3. (3)∵n>1＋log2a1，∴n－1>log2a1，∴2n－1>a1， 由定義可知：an＋1＝， ∴an＋1≤，∴≤. ∴an＝…a1≤a1， ∴an<2n－1＝1， ∵an∈N，∴an＝0， 綜上可知：當n>1＋log2a1(n∈N)時，都有an＝0. 20．(本題滿分12分)(文)(xx江西八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1＝4，前n項和為Sn，且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設函數(shù)f(x)＝anx＋an－1x2＋an－2x3＋…＋a1xn，f ′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，令bn＝f ′(1)，求數(shù)列{bn}的通項公式，并研究其單調性． [解析]　(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)得Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)， 兩式相減得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋1)(n≥2)， 又由已知a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)，即{an＋1}是一個首項為5，公比q＝3的等比數(shù)列，所以an＝53n－1－1(n∈N*)． (2)因為f ′(x)＝an＋2an－1x＋…＋na1xn－1， 所以f ′(1)＝an＋2an－1＋…＋na1 ＝(53n－1－1)＋2(53n－2－1)＋…＋n(530－1) ＝5[3n－1＋23n－2＋33n－3＋…＋n30]－ 令S＝3n－1＋23n－2＋33n－3＋…＋n30， 則3S＝3n＋23n－1＋33n－2＋…＋n31， 作差得S＝－－， 所以f ′(1)＝－， 即bn＝－， 而bn＋1＝－， 作差得bn＋1－bn＝－n－>0， 所以{bn}是單調遞增數(shù)列． (理)已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，且an＋1＝2an＋1(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求數(shù)列f(x)在點x＝1處的導數(shù)f ′(1)． [解析]　(1)證明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2， ∴數(shù)列{an＋1}是以a1＋1為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1＝(a1＋1)2n－1＝62n－1＝32n， ∴an＝32n－1. (2)∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn， ∴f ′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1， ∴f ′(1)＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(321－1)＋2(322－1)＋3(323－1)＋…＋n(32n－1) ＝3(2＋222＋323＋…＋n2n)－(1＋2＋3＋…＋n)， 令Tn＝2＋222＋323＋…＋n2n， ∴2Tn＝122＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1， ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1 ＝－n2n＋1＝－(n－1)2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2， ∴f ′(1)＝3(n－1)2n＋1－＋6. 21．(本題滿分12分)(文)(xx廣東文，19)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當n≥2時，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)證明：為等比數(shù)列； (3)求數(shù)列{an}的通項公式． [分析]　考查：1.等比數(shù)列的定義；2.等比數(shù)列的通項公式；3.等差數(shù)列的通項公式． (1)令n＝2可得a4的值；(2)先利用an＝Sn－Sn－1將4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)轉化為4an＋2＋an＝4an＋1，再利用等比數(shù)列的定義可證是等比數(shù)列；(3)由(2)可得數(shù)列的通項公式，再將數(shù)列的通項公式轉化為數(shù)列是等差數(shù)列，進而可得數(shù)列{an}的通項公式． [解析]　(1)當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4＋5＝8＋1， 解得：a4＝ . (2)因為4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， 所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)， 因為4a3＋a1＝4＋1＝6＝4a2， 所以4an＋2＋an＝4an＋1，對于n＝1成立． 因為＝＝ ＝＝， 所以數(shù)列是以a2－a1＝1為首項，公比為的等比數(shù)列． (3)由(2)知：數(shù)列是以a2－a1＝1為首項，公比為的等比數(shù)列，所以an＋1－an＝n－1. 即－＝4， 所以數(shù)列是以＝2為首項，4為公差的等差數(shù)列， 所以＝2＋(n－1)4＝4n－2， 即an＝(4n－2)n＝(2n－1)n－1， 所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝(2n－1)n－1. (理)(xx遼寧葫蘆島市一模)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝5，a4＋a8＝22； (1)求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和公式Sn； (2)令bn＝，求證：b1＋b2＋…＋bn<. [解析]　(1)由a4＋a8＝22得：a6＝11，又a3＝5，∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1， Sn＝＝＝n2. (2)bn＝＝＝ 當n＝1時，b1＝＝<，原不等式成立； 當n≥2時， b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋＋…＋＋＋ ＝<＝ ∴b1＋b2＋…＋bn<(n∈N*) 22．(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝－，a1＝－. (1)求證{}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)設Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1.若Tn≥p－n對任意的n∈N*恒成立，求p的最大值． [解析]　(1)證明：∵an＋1＝－， ∴an＋1＋1＝－＋1＝＝， 由于an＋1≠0， ∴＝＝1＋， ∴{}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)題結論知：＝2＋(n－1)＝n＋1， ∴an＝－1＝－(n∈N*)． (3)∵Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1≥p－n， ∴n＋an＋an＋1＋…＋a2n－1≥p， 即(1＋an)＋(1＋an＋1)＋(1＋an＋2)＋…＋(1＋a2n－1)≥p，對任意n∈N*恒成立， 而1＋an＝， 設H(n)＝(1＋an)＋(1＋an＋1)＋…＋(1＋a2n－1)， ∴H(n)＝＋＋…＋， H(n＋1)＝＋＋…＋＋＋， ∴H(n＋1)－H(n)＝＋－＝－>0， ∴數(shù)列{H(n)}單調遞增， ∴n∈N*時，H(n)≥H(1)＝，故p≤. ∴p的最大值為. 反饋練習 一、選擇題 1．等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，則a6＋a8等于(　　) A．80 B．96 C．160 D．320 [答案]　C [解析]　∵＝＝q＝＝2， ∴a6＋a8＝(a2＋a4)q4＝1024＝160. 2．(xx廣州二測)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所有偶數(shù)項之和為25，則這個數(shù)列的項數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 [答案]　A [解析]　設這個數(shù)列的項數(shù)為2n，于是有2n＝25－15＝10，即這個數(shù)列的項數(shù)為10，故選A. [易錯分析]　考生不會利用奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關系去求解數(shù)列的項數(shù)，導致無法解題． 3．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，a1，a5，a17依次成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是(　　) A．4 B．3 C．2 D． [答案]　B [解析]　解法1：由條件知a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，得a1＝2d，a5＝a1＋4d＝6d，∴q＝＝＝3，故選B． 解法2：q＝＝＝＝＝3，故選B． 4．以Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項和，若S5>S6，則下列不等關系不一定成立的是(　　) A．2a3>3a4 B．5a5>a1＋6a6 C．a(chǎn)5＋a4－a3<0 D．a(chǎn)3＋a6＋a12<2a7 [答案]　D [解析]　依題意得a6＝S6－S5<0,2a3－3a4＝2(a1＋2d)－3(a1＋3d)＝－(a1＋5d)＝－a6>0,2a3>3a4；5a5－(a1＋6a6)＝5(a1＋4d)－a1－6(a1＋5d)＝－2(a1＋5d)＝－2a6>0,5a5>a1＋6a6；a5＋a4－a3＝(a3＋a6)－a3＝a6<0.綜上所述知選D． 5．(文)在等差數(shù)列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a50，且a1＝－d， ∴Sn＝na1＋d＝－nd＋d＝(n2－)， ∴當n＝6時，Sn取到最小值． (理)(xx遼寧理，8)設等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則(　　) A．d<0 B．d>0 C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0 [答案]　C [解析]　數(shù)列{2a1an}遞減，∴{a1an}遞減． ∴a1an－a1an－1＝a1(an－an－1)＝a1d<0. 6．(文)設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，且a1>0，若S2>2a3，則q的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0，) B．(－，0)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞) [答案]　B [解析]　∵S2>2a3，∴a1＋a1q>2a1q2， ∵a1>0，∴2q2－q－1<0， ∴－0，S10<0，則，，…，中最大的是(　　) A. B． C． D． [答案]　B [解析]　∵S9＝(a1＋a9)＝9a5>0，∴a5>0. 又∵S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)<0，∴a5＋a6<0，即得a6<0，且|a6|>a5，則數(shù)列{an}的前5項均為正數(shù)，從第6項開始均為負數(shù)，則當n≤5時，數(shù)列{}是遞增的正數(shù)項數(shù)列，其最大項為，當n>6時，各項均為負數(shù)，即可得最大，故應選B． (理)等比數(shù)列{an}的首項為2，項數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，這個等比數(shù)列前n項的積為Tn(n≥2)，則Tn的最大值為(　　) A. B． C．1 D．2 [答案]　D [解析]　由題意知S奇－2＝S偶q，S奇＝， S偶＝，∴q＝，∵a1＝2，q＝， ∴{Tn}為遞減數(shù)列且a2＝1，ak<1(k>2)， ∴T2＝a1a2＝2為最大值． 9．(xx南昌市二模)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝5，a8＝18，數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝3n，若am＝b1＋b4，則正整數(shù)m等于(　　) A．29 B．28 C．27 D．26 [答案]　A [解析]　由題意得：a8＝a1＋7d＝5＋7d＝18，∴d＝， ∴am＝5＋(m－1)， 又Sn＝3n，∴bn＝，∴5＋(m－1)＝3＋233＝57，解得m＝29. 10．設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn為(　　) A．2n－1 B．1－2n C．()n－1 D．1－()n [答案]　D [解析]　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝()2，a3＝f(3)＝f(2)f(1)＝[f(1)]3＝()3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝()n，∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n＝＝1－()n，故選D． 11．(文)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則axx＝(　　) A. B． C． D． [答案]　A [解析]　由題可得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，…，所以數(shù)列{an}是一個周期為4的周期數(shù)列，又因為xx＝5034＋2，所以axx＝a2＝，故選A. (理)(xx山西太原市一模)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)cos＋1(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S60＝(　　) A．－30 B．－60 C．90 D．120 [答案]　D [解析]　由an的通項公式得：a1＝a3＝a5＝…＝a59＝1，當n＝2p(p為奇數(shù)時)，an＝－(2n－1)＋1＝2－2n；當n＝2q(q為偶數(shù)時)an＝(2n－1)＋1＝2n，∴S60＝301＋＋＝120. 12．(文)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，則該數(shù)列的前10項和為(　　) A．2101 B．1067 C．1012 D．xx [答案]　B [解析]　當n為奇數(shù)時，an＋2＝an＋1，這是一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列；當n為偶數(shù)時，an＋2＝2an＋1，這是一個以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以S18＝a1＋a2＋…＋a17＋a18＝(a1＋a3＋…＋a17)＋(a2＋a4＋…＋a18)＝9＋1＋＝9＋36＋1022＝1067. (理)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝a2＋axx，且A、B、C三點共線(該直線不過原點O)，則下列各式中正確的是(　　) A．Sxx＝1 B．Sxx＝ C．Sxx＝ D．Sxx＝1007 [答案]　C [解析]　∵A、B、C共線，且該直線不過O點，＝a2＋axx， ∴－＝(a2－1)＋axx， 即＝(a2－1)＋a2004＝k＝k－k， 由共線向量定理得a2－1＝－axx，∴a2＋axx＝1， ∴Sxx＝＝＝. 二、填空題 13．各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40＝________. [答案]　150 [解析]　設每10項一組的和依次組成的數(shù)列為{bn}，由已知可得：b1＝10，b1＋b2＋b3＝70.① 設原等比數(shù)列{an}的公比為q， 則＝ ＝＝q10. 同理：＝q10，＝q10，…， ∴{bn}構成等比數(shù)列，且公比q′＝q10. 由①可得10＋10q′＋10(q′)2＝70， 即(q′)2＋q′－6＝0，解得q′＝2或q′＝－3. ∵q′＝q10>0，∴q′＝2. ∴{bn}的前4項依次是：10,20,40,80. ∴S40＝150. 14．等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a8＝10，a14＋a15＝50，則此數(shù)列的前15項之和是________． [答案]　180 [解析]　∵ ∴∴ ∴S15＝15a1＋d＝180. 15．(xx山東青島摸底)設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則logxxx1＋logxxx2＋…＋logxxxxx的值為________． [答案]?。? [解析]　因為y′＝(n＋1)xn，所以在點(1,1)處的切線的斜率k＝n＋1， 所以＝n＋1，所以xn＝， 所以logxxx1＋logxxx2＋…＋logxxxxx ＝logxx(x1x2…xxx) ＝logxx(…)＝logxx＝－1. 16．(文)(xx合肥質檢)定義等積數(shù)列：在一個數(shù)列中，若每一項與它的后一項的積是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，且稱此常數(shù)為公積．已知在等積數(shù)列{an}中，a1＝2，公積為5，當n為奇數(shù)時，這個數(shù)列的前n項和Sn＝________. [答案]　 [解析]　由題可知，等積數(shù)列{an}為2，，2，，…，當n為奇數(shù)時，其前n項和Sn，可分兩部分組成，個2之和與個之和，所以Sn＝2＋＝. (理)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，＝＋1，則a10＝________. [答案]　－ [解析]　由＝＋1，得－＝1，又＝，故數(shù)列{}是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故＝＋(10－1)1，得a10＝－. 三、解答題 17．(文)已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值． [解析]　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， 于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－)n－1 ＝(－1)n－1. (2)由(1)得 Sn＝1－(－)n＝ 當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小， 所以1Sn－≥S2－＝－＝－. 綜上，對于n∈N*，總有－≤Sn－≤. 所以數(shù)列{Tn}最大項的值為，最小項的值為－. (理)已知等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，前n項和為Sn，且S4＋a2＝3S3；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，b2＝a4. (1)求證：數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項； (2)若a1＝2，設cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn； (3)在(2)的條件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值． [解析]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， 由S4＋a2＝2S3，得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d， ∴a1＝d， 則an＝a1＋(n－1)d＝na1，∴b1＝2a1，b2＝4a1， 等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝2， 則bn＝2a12n－1＝2na1， ∵2n∈N*，∴{bn}中的每一項都是{an}中的項． (2)當a1＝2時，bn＝2n＋1， cn＝＝2(－) 則Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝2(－＋－＋…＋－) ＝2(－)＝. (3)f(n)＝log3Tn＝log3， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log3＋log3＋…＋log3＝log3(…)＝log3≤log3＝－1，即f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值為－1. 18．(文)(xx日照市診斷)已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，其前n項和為Sn，且滿足：a2a3＝45，a1＋a4＝14. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)通過公式bn＝構造一個新的數(shù)列{bn}．若{bn}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c； (3)對于(2)中得到的數(shù)列{bn}，求f(n)＝(n∈N*)的最大值． [解析]　(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列． ∴a2＋a3＝a1＋a4＝14.又a2a3＝45， ∴或. ∵公差d>0，∴a2＝5，a3＝9. ∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3. (2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n， ∴bn＝＝. ∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∴2b2＝b1＋b3， ∴2＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)． ∴bn＝＝2n. 顯然{bn}成等差數(shù)列，符合題意，故c＝－. (3)f(n)＝＝＝≤.即f(n)的最大值為. (理)(xx山西太原五中月考)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an>0，a1＝，且－，，成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設數(shù)列{bn}滿足bnlog3(1－Sn＋1)＝1，求適合方程b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝的正整數(shù)n的值． [解析]　(1)設數(shù)列{an}的公比為q，由－，，成等差數(shù)列得＝－＋， ∴－3＋＝，解得q＝或q＝－1(舍去)， 所以an＝2()n (2)因為Sn＋1＝＝1－，得log3(1－Sn＋1)＝log3＝－n－1 所以bn＝－，bnbn＋1＝＝－， b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝－＋－＋…＋－＝－ 由題意得－＝，解得n＝100. 19．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且2an＝Sn＋n. (1)若bn＝an＋1，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn. [解析]　(1)證明：n＝1時，2a1＝S1＋1，∴a1＝1. 由題意，得2an＝Sn＋n,2an＋1＝Sn＋1＋(n＋1)， 兩式相減可得2an＋1－2an＝an＋1＋1， 即an＋1＝2an＋1. 于是an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn， 又b1＝a1＋1＝2. 所以數(shù)列{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． (2)解：由(1)知：bn＝22n－1＝2n，∴an＝2n－1， ∴Sn＝2an－n＝2n＋1－n－2， ∴Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)－2n ＝－－2n＝2n＋2－4－－n2. 20．(xx唐山市二模)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝＋＋…＋，試比較bn＋1與bn的大小，并說明理由． [解析]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為D．由已知得 注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1. 所以an＝n＋1.(n∈N＋)． (2)由(1)可知bn＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋， 因為bn＋1－bn＝＋－＝－＞0，所以bn＋1>bn. 21．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝－，求數(shù)列{nan}的前n項和Tn. [解析]　(1)由已知得2S3＝S1＋S2， ∴2(a1＋a2＋a3)＝a1＋(a1＋a2)， ∴a2＋2a3＝0，an≠0， ∴1＋2q＝0，∴q＝－. (2)∵a1－a3＝a1(1－q2)＝a1(1－)＝a1＝－， ∴a1＝－2，∴an＝(－2)(－)n－1＝(－)n－2， ∴nan＝n(－)n－2. ∴Tn＝1(－)－1＋2(－)0＋3(－)1＋…＋n(－)n－2，① ∴－Tn＝1(－)0＋2(－)1＋3(－)2＋…＋n(－)n－1，② ①－②得Tn＝－2＋[(－)0＋(－)1＋(－)2＋…＋(－)n－2]－n(－)n－1 ＝－－(－)n－1(＋n)， ∴Tn＝－－(－)n－1(＋n)． 22．(文)已知點P(an，an＋1)(n∈N*)是函數(shù)y＝x2在點(1，)處的切線上的點，且a1＝. (1)證明：{an＋}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. [解析]　(1)證明：∵函數(shù)y＝x2的導數(shù)為y′＝x， ∴函數(shù)y＝x2在點(1，)處的切線斜率為. 故函數(shù)y＝x2在(1，)處的切線方程為 y－＝(x－1)． ∵點P在此切線上，∴an＋1－＝(an－1)． ∴an＋1＋＝(an＋)． ∵a1＝，∴an＋≠0. ∴數(shù)列{an＋}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． (2)解：由(1)知an＋＝()n－1， ∴an＝()n－1－. ∴Sn＝1＋＋()2＋…＋()n－1－ ＝－＝2－－. (理)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的導函數(shù)f ′(x)＝－2x＋7，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值； (2)令bn＝，其中n∈N*，求{nbn}的前n項和． [解析]　(1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， ∴f ′(x)＝2ax＋b， 由f ′(x)＝－2x＋7得：a＝－1，b＝7， 所以f(x)＝－x2＋7x， 又因為點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，所以有Sn＝－n2＋7n. 當n＝1時，a1＝S1＝6； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8， ∴an＝－2n＋8(n∈N*)． 令an＝－2n＋8≥0得n≤4， ∴當n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12. 綜上，an＝－2n＋8(n∈N*)， 當n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12. (2)由題意得b1＝＝8，bn＝＝2－n＋4， 所以＝，即數(shù)列{bn}是首項為8，公比是的等比數(shù)列， 故{nbn}的前n項和Tn＝123＋222＋…＋n2－n＋4，① Tn＝122＋22＋…＋(n－1)2－n＋4＋n2－n＋3，② ①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n2－n＋3 ∴Tn＝－n24－n＝32－(2＋n)24－n.