2019-2020年高三數(shù)學一輪總復習 專題十二 圓錐曲線與方程(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學一輪總復習 專題十二 圓錐曲線與方程(含解析) 抓住3個高考重點 重點1 橢圓及其性質(zhì) 1.橢圓的定義:橢圓的第一定義:對橢圓上任意一點都有 橢圓的第二定義:對橢圓上任意一點都有 2.求橢圓的標準方程的方法 (1)定義法:根據(jù)橢圓定義,確定的值,再結(jié)合焦點位置,直接寫出橢圓的標準方程. (2)待定系數(shù)法:根據(jù)橢圓焦點是在軸還是在軸上,設(shè)出相應形式的標準方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標準方程. 3.求橢圓的標準方程需要注意以下幾點? (1)如果橢圓的焦點位置不能確定,可設(shè)方程為或 (2)與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為 (3)與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為(,焦點在軸上)或(,焦點在軸上) 4.橢圓的幾何性質(zhì)的應用策略 (1)與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析,即使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形:若涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量,則要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的聯(lián)系,求解自然就不難了. (2)橢圓的離心率是刻畫橢圓性質(zhì)的不變量,當越接近于1時,橢圓越扁,當越接近于時,橢圓越接近于圓, 求橢圓的標準方程需要兩個條件,而求橢圓的離心率只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次方程,再結(jié)合即可求出橢圓的離心率 [高考常考角度] 角度1若橢圓的焦點在軸上,過點作圓的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓方程是 . 解析:方法一:設(shè)過點的直線方程為:當斜率存在時,,即 由題意,,由,切點為, 又當斜率不存在時,直線方程為,切點為,故直線, 則與軸的交點即為上頂點坐標,與軸的交點即為焦點,, 即橢圓方程為 (說明:如果設(shè)切點,則過切點的切線方程為,與比較,也可求出切點) 方法二:(數(shù)形結(jié)合)設(shè)點,則有直線,作圖分析可得,又切點 故直線,即, 則與軸的交點即為上頂點坐標,與軸的交點即為右焦點,, 故 橢圓方程為 角度2在平面直角坐標系中,橢圓的中心為原點,焦點在軸上,離心率為.過的直線交C于兩點,且的周長為,那么的方程為 . 解析:可設(shè)橢圓方程為,, 的周長為, 故橢圓的方程為 角度3 已知橢圓,直線為圓的一條切線,記橢圓E的離心率為.若直線的傾斜角為,且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點,則的大小為__________. 解析:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,橢圓的離心率等知識. 如圖所示,設(shè)直線與圓相切于C點,橢圓的右頂點為D,則 由題意,知△OCD為直角三角形,且 重點2 雙曲線及其性質(zhì) 1.雙曲線的定義:雙曲線的第一定義:對雙曲線上任意一點都有 雙曲線的第二定義:對雙曲線上任意一點都有 2.求雙曲線的標準方程的方法 (1)定義法 (2)待定系數(shù)法 3.求雙曲線方程需要注意以下幾點: (1)雙曲線與橢圓的標準方程均可記為,其中,且,且時表示橢圓; 時表示雙曲線,合理使用這種形式可避免討論. (2)常見雙曲線設(shè)法: ①已知的雙曲線設(shè)為; ②已知過兩點的雙曲線可設(shè)為; ③已知漸近線的雙曲線方程可設(shè)為 4.雙曲線的幾何性質(zhì)的應用策略 (1)關(guān)于雙曲緝的漸近線 ①求法:求雙曲線的漸近線的方法是令, 即得兩漸近線方程 ②兩條漸近線的傾斜角互補,斜率互為相反數(shù),且關(guān)于軸、軸對稱. ③與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為. (2)求雙曲線的離心率 雙曲線的離心率,求雙曲線的離心率只需根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次方程,再結(jié)合即可求出. [高考??冀嵌萞 角度1已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切,且雙曲線的右焦點為圓的圓心,則該雙曲線的方程為( ) A. B. C. D. 解析:由已知得,圓,雙曲線的漸近線為, 由已知得,則,故選A. 角度2 已知雙曲線的左、右焦點分別是、,為右支上一動點,點,則的最小值為___________. 解析:由雙曲線的定義得,又 ,當且僅當共線時取等號, 故的最小值為 角度3設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點.若雙曲線右支上存在點,滿足,且到直線的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為( ) A. B. C. D. 解析:如圖,過作于,由題意知 則 而 則 雙曲線的漸近線方程為,即,故選C 重點3 拋物線及其性質(zhì) 1.求拋物線的標準方程的方法 (1)定義法:根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線的標準方程. (2)待定系數(shù)法:根據(jù)條件設(shè)出標準方程,再確定參數(shù)p的值,這里要注意拋物線的標準方程有四種形式.從簡單化角度出發(fā),焦點在軸上的,設(shè)為,焦點在軸上的,設(shè)為. 2.拋物線定義的應用策略 拋物線是到定點和定直線(定點不在定直線上)距離相等的點的軌跡,利用該定義,可有效地實現(xiàn)拋物線上的點到焦點和到準線的距離的轉(zhuǎn)化,將有利于問題的解決. 3.拋物線幾何性質(zhì)的應用策略 (1)焦半徑:拋物線一點到焦點的距離. (2)通徑:過焦點且與軸垂直的弦叫做通徑,且 (3)設(shè)過拋物線的焦點的弦為,則有 ①弦長:為弦的傾斜角) ② ③ ④以弦為直徑的圓與拋物線的準線相切. ⑤直線的方程為(不存在時弦為通徑) [高考常考角度] 角度1已知是拋物線的焦點,是該拋物線上的兩點,,則線段的中點到y(tǒng)軸的距離為( ) A. B.1 C. D. 解析:設(shè),由拋物線定義,得, 故線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.故選C 角度2設(shè)拋物線的頂點在原點,準線方程為,則拋物線的方程是( ) A. B. C. D. 點評:由準線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵. 解析:由題意可知,拋物線的方程為,由準線方程得,所以.故選B 角度3設(shè)拋物線的焦點為,準線為,為拋物線上一點,,為垂足.如果直線的斜率為,那么( B ) A. B. 8 C. D. 16 解析:方法一:拋物線的焦點,直線AF的方程為, 所以得點、,從而,故選B 方法二: 如圖,軸,又, 又由拋物線定義得為等邊三角形,令與軸的交點為,則 在中,,故選B 突破10個高考難點 難點1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 2.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 典例 如圖,設(shè)是圓上的動點,點是在軸上投影,為上一點,且 . (Ⅰ)當在圓上運動時,求點的軌跡的方程; (Ⅱ)求過點且斜率為的直線被所截線段的長度. 點評:(Ⅰ)動點通過點與已知圓相聯(lián)系,所以把點的坐標用點的坐標表示,然后代入已知圓的方程即可;(Ⅱ)直線方程和橢圓方程組成方程組,可以求解,也可以利用根與系數(shù)關(guān)系;結(jié)合兩點的距離公式計算. 解析:(Ⅰ)設(shè)點的坐標是,的坐標是,因為點是在軸上投影, 為上一點,且,所以,且, ∵在圓上,∴,整理得, 即的方程是. (Ⅱ)過點且斜率為的直線方程是,設(shè)此直線與的交點為,, 由得 ,則 ,直線被所截線段的長度為 點評:如果直接解方程,∴,,形式復雜,增加運算難度 所以線段AB的長度是 ) 難點2 中點弦問題的處理 1. 解決圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的問題的常規(guī)思路有三種: (1)通過方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式進行求解; (2)點差法,設(shè)出弦的兩端點,利用中點坐標公式求解; (3)中點轉(zhuǎn)移法,先得出一個端點的坐標,再借助于中點坐標公式得出另一個端點的坐標,而后消二次項. 2.對于中點弦問題,常用的解題方法是點差法,其解題步驟為: (1)設(shè)點:設(shè)出弦的兩端點坐標; (2)代入:代入圓錐曲線方程; (3)作差:兩式相減,再用平方差公式把式子展開; (4)整理:轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標的關(guān)系式,最后求解. 典例已知橢圓的離心率為,右焦點為.斜率為1的直線與橢圓交于兩點,以為底邊作等腰三角形,頂點為。 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)求的面積。 解析:(Ⅰ)由已知得 解得 又 所以橢圓G的方程為 (Ⅱ)設(shè)直線l的方程為由 得 ① 設(shè)、的坐標分別為中點為, 則 因為是等腰的底邊,所以. 所以的斜率解得,此時方程①為 解得 所以 所以. 此時,點到直線的距離 所以 難點3 圓錐曲線中的分點弦 典例 已知橢圓的離心率為,過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點.若,則( ) A. 1 B. C. D. 2 解析:設(shè)為橢圓的右準線,為離心率,過分別作垂直于,為垂足,過作于,由橢圓的第二定義得, 由,令,則, 即,故選B. 難點4 圓錐曲線上點的對稱問題 典例1 已知橢圓:在橢圓上是否存在兩點關(guān)于直線對稱,若存在,求出實數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由. 解析:方法一:(方程組法) 設(shè)橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱,由題意,設(shè) 由,設(shè),的中點為, 則 , ① , 又點在直線上,代入①解得 ,為所求 方法二:(點差法) 設(shè)橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱,的中點為, 則 又 ① 又點在直線上, ② 解得 在橢圓內(nèi), ,為所求 難點5 求軌跡(曲線)方程 典例 已知雙曲線的左、右焦點分別為、,過點的動直線與雙曲線相交于兩點.若動點滿足(其中為坐標原點),求點的軌跡方程. 解析:由條件知,,設(shè),. 方法一:設(shè),則,,, 由得 即,于是的中點坐標為. 當不與軸垂直時,,即,即. 又因為兩點在雙曲線上,所以,,兩式相減得(點差法) ,即. 將代入上式,化簡得. 當與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程. 所以點的軌跡方程是. 方法二:同解法一,有當不與軸垂直時,設(shè)直線的方程是. 代入有.則是上述方程的兩個實根, 所以.. 從而. .相除得,將其代入得 .整理得. 當與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.故點的軌跡方程是. 難點6 圓錐曲線中的定點問題 典例 已知橢圓若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標. 解析:設(shè),由 得 , (1) 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點, , 即 , 即,解得,且滿足. 當時,有,直線過定點與已知矛盾; 當時,有,直線過定點 綜上可知,直線過定點,定點坐標為 難點7 圓錐曲線中的定值問題 典例 已知橢圓的中心為坐標原點,焦點在軸上,斜率為1且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點,與共線. (Ⅰ)求橢圓的離心率; (Ⅱ)設(shè)為橢圓上任意一點,且,,證明為定值. 解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為則右焦點為,直線的方程為, 由 整理得 , 設(shè),則 由共線,得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,故橢圓可化為,設(shè) 由 在橢圓上, , 即 ① 由(Ⅰ)知,, 又,代入①得 難點8 圓錐曲線中的最值問題和范圍問題 典例 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點. (Ⅰ)若是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值; (Ⅱ)設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且∠為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍. 解析:(Ⅰ)方法一:由已知得,所以,設(shè),則 因為,故當,即點為橢圓短軸端點時,有最小值 當,即點為橢圓長軸端點時,有最大值 方法二:由已知得,所以,設(shè),則 (以下同方法一) (Ⅱ)顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線, 由,消去,整理得,∴ 由 得 或 ① 又,∴ 又 ∵,即 ∴ ② 綜合 ①、②得或 故直線的斜率的取值范圍為 難點9 圓錐曲線中的探索問題 典例 已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點 (Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍 (Ⅱ)是否存在實數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點?若存在,求出的值;若不存在,說明理由. 解:(Ⅰ)由 得 ① 依題意,直線與雙曲線的右支交于不同的兩點,故 解得 (Ⅱ)設(shè)則由①可得 , ② 假設(shè)存在實數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點,則 將及②代入,得 解得 或(舍去) 因此存在,使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點. 規(guī)避5個易失分點 易失分點1 焦點位置考慮不全 典例 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上,點到兩焦點的距離分別為和,過點作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點,則該橢圓的方程為_____________. 易失分提示:焦點沒有確定,所以有兩種情況。 解析: ,,由橢圓的定義得, 又 當焦點在軸上時,橢圓的方程為,當焦點在軸上時,橢圓的方程為 易失分點2 忽視圓錐曲線定義的條件 典例1 動點與定點和直線的距離相等,則動點的軌跡是( D ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線 易失分提示:容易忽視點F在直線上,而誤選C. 解析:點在直線,所以到點和直線的距離相等的點一定在過點,且與直線垂直的直線上.故選D 典例2 已知圓和圓,動圓同時與圓及圓相外切,則動圓圓心的軌跡方程為( ) A. B. C. D. 易失分提示:容易因錯誤運用雙曲線定義而出錯,,與雙曲線定義相比,左邊少了外層絕對值,因此只能是雙曲線的一支.如果不注意,就會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果,即點的軌跡方程為. 解析:如圖所示,設(shè)動圓半徑為動圓同時與圓及圓分別外切于A和B 根據(jù)兩圓外切的條件,得, 所以動點M的軌跡為雙曲線的左支, 其中 故點M的軌跡方程為, 故選 D 易失分點3 離心率范圍求解錯誤 典例 已知橢圓的左、右焦點分別為,若橢圓上存在點(異于長軸的端點),使得,則該橢圓離心率的取值范圍是_____________. 易失分提示: 求離心率的范圍關(guān)鍵是構(gòu)建關(guān)于(或)的不等式.本題容易出現(xiàn)的錯誤:一是不會利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化;二是不會利用橢圓的定義或性質(zhì)建立不等關(guān)系,根據(jù)題意利用正弦定理,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式,進而求出其取值范圍. 解析:由已知 由橢圓的幾何性質(zhì)知,,所以,即 結(jié)合,可解得. 本題容易出錯的地方是忽略“點異于長軸端點”這一隱含條件,導致在建立不等式時誤帶等號而出錯.在平時的訓練中應該加強對解題過程的監(jiān)控,多注意所要解決問題的特殊情況,仔細閱讀,深入挖掘隱含條件,形成全面思考,周密解答的良好習慣,這對考生來說是非常重要的. 易失分點4 弦長公式使用不合理 典例 已知橢圓設(shè)直線與橢圓交于兩點,坐標原點到直線的距離為,求面積的最大值. 易失分提示:本題的實質(zhì)就是求直線被橢圓所截得的弦長的最大值,易錯之處在于對弦長公式的使用不合理,致使運算繁雜,導致最后結(jié)果錯誤或是解題半途而廢. 解析:設(shè) (1)當軸時, (2)當與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為.由已知 由,整理得 當時,上式 當且僅當,即時等號成立 當時,,綜上所述,,此時, 易失分點5 焦點三角形問題忽視細節(jié) 典例 已知雙曲線的左、右焦點分別為.若雙曲線上存在點使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是____________ 易失分提示:本題容易出現(xiàn)的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“,都不能等于’,這樣會導致在最后的答案中含有離心率等于.解答數(shù)學題要注意對隱含條件的挖掘,確保答案準確無誤. 解析:由已知點不會是雙曲線的頂點,否則無意義. 因為在中,由正弦定理,得 則由已知得,且知點在雙曲線的右支上, 由雙曲錢的定義知則 由雙曲線的幾何性質(zhì),知,則 ,又,所以離心率的取值范圍是- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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