2019-2020年高考數學一模試卷 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數學一模試卷 理(含解析)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1(5分)已知集合U=2,0,1,5,集合A=0,2,則UA=()AB0,2C1,5D2,0,1,52(5分)已知復數z滿足z(1+i)=1(其中i為虛數單位),則z=()ABCD3(5分)若函數y=ax+b的部分圖象如圖所示,則()A0a1,1b0B0a1,0b1Ca1,1b0Da1,0b14(5分)已知實數x,y滿足不等式組,則2x+y的最大值為()A3B4C6D95(5分)已知直線a,b,平面,且a,b,則“ab”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S的值為()A16B25C36D497(5分)在ABC中,a,b,c分為為A,B,C所對的邊,若函數f(x)=x3+bx2+(a2+c2ac)x+1有極值點,則B的范圍是()A(0,)B(0,C,)D,8(5分)如果自然數a的各位數字之和等于8,我們稱a為“吉祥數”將所有“吉祥數”從小到大排成一列a1,a2,a3,若an=xx,則n=()A83B82C39D37二、填空題:本大題共5小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分25分本大題分為必做題和選做題兩部分(一)必做題:第9、10、11、12、13題為必做題,每道試題考生必須作答9(5分)(x)4的展開式中常數項為(用數字表示)10(5分)(x22sinx)dx=11(5分)已知向量=(1,1),=(1,)(x0,y0),若,則x+4y的最小值為12(5分)已知圓C:x2+y2+8x+ay5=0經過拋物線E:x2=4y的焦點,則拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為13(5分)設P是函數y=lnx圖象上的動點,則點P到直線y=x的距離的最小值為三、【坐標系與參數方程選做題】(共1小題,每小題5分,滿分5分)14(5分)在極坐標系中,曲線C1:cos=與曲線C2:2cos2=1相交于A,B兩點,則|AB|=四、【幾何證明選講選做題】(共1小題,每小題0分,滿分0分)15如圖,在RtABC中,A=30,C=90,D是AB邊上的一點,以BD為直徑的O與AC相切于點E若BC=6,則DE的長為三、解答題16(12分)函數f(x)=2sin(x+)(w0)的最小正周期是(1)求f()的值;(2)若sinx0=,且x0(0,),求f(x0)的值17(12分)空氣質量指數(簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數,其數值越大說明空氣污染越嚴重,為了及時了解空氣質量狀況,廣東各城市都設置了實時監(jiān)測站下表是某網站公布的廣東省內21個城市在xx12月份某時刻實時監(jiān)測到的數據:城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值廣州118東莞137中山95江門78云浮76茂名107揭陽80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇慶48清遠47佛山160惠州113汕頭88汕尾74陽江112韶關68梅州84(1)請根據上表中的數據,完成下列表格:空氣質量優(yōu)質良好輕度污染中度污染AQI值范圍0,50)50,100)100,150)150,200)城市個數(2)統(tǒng)計部門從空氣質量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個城市,省環(huán)保部門再從中隨機選取3個城市組織專家進行調研,記省環(huán)保部門“選到空氣質量“良好”的城市個數為”,求的分布列和數學期望18(14分)在三棱錐PABC中,已知平面PBC平面ABC,AB是底面ABC最長的邊三棱錐PABC的三視圖如圖1所示,其中側視圖和俯視圖均為直角三角形(1)請在圖2中,用斜二測畫法,把三棱錐PABC的直觀圖補充完整(其中點P在xOz平面內),并指出三棱錐PABC的哪些面是直角三角形;(2)求二面角BPAC的正切值;(3)求點C到面PAB的距離19(14分)已知數列an的首項大于0,公差d=1,且+=(1)求數列an的通項公式;(2)若數列bn滿足:b1=1,b2=,bn+1=bn+,其中n2求數列bn的通項bn;是否存在實數,使得數列bn為等比數列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由20(14分)已知橢圓E:+=1(ab0)的離心率為,過左焦點傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為(1)求橢圓E的方程;(2)若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點,過點M(1,0)作l的垂線垂足為Q,求點Q的軌跡方程21(14分)已知定義在2,2上的奇函數f(x)滿足:當x(0,2時,f(x)=x(x2)(1)求f(x)的解析式和值域;(2)設g(x)=ln(x+2)ax2a,其中常數a0試指出函數F(x)=g(f(x)的零點個數;若當1+是函數F(x)=g(f(x)的一個零點時,相應的常數a記為ak,其中k=1,2,n證明:a1+a2+an(nN*)廣東省深圳市xx高考數學一模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1(5分)已知集合U=2,0,1,5,集合A=0,2,則UA=()AB0,2C1,5D2,0,1,5考點:交、并、補集的混合運算專題:集合分析:根據集合的補集的定義求出A的補集即可解答:解:集合U=2,0,1,5,集合A=0,2,UA=1,5,故選:C點評:本題考查了集合的運算,是一道基礎題2(5分)已知復數z滿足z(1+i)=1(其中i為虛數單位),則z=()ABCD考點:復數代數形式的乘除運算專題:數系的擴充和復數分析:利用復數的運算法則即可得出解答:解:z(1+i)=1,=故選:D點評:本題考查了復數的運算法則,屬于基礎題3(5分)若函數y=ax+b的部分圖象如圖所示,則()A0a1,1b0B0a1,0b1Ca1,1b0Da1,0b1考點:指數函數的圖像與性質專題:函數的性質及應用分析:根據指數函數的圖象和性質即可判斷解答:解:由圖象可以看出,函數為減函數,故0a1,因為函數y=ax的圖象過定點(0,1),函數y=ax+b的圖象過定點(0,b),1b0,故選:A點評:本題主要考查函數圖象的應用,利用函數過定點是解決本題的關鍵4(5分)已知實數x,y滿足不等式組,則2x+y的最大值為()A3B4C6D9考點:簡單線性規(guī)劃專題:不等式的解法及應用分析:作出可行域,平行直線可得直線過點A(3,0)時,z取最大值,代值計算可得解答:解:作出不等式組所對應的可行域(如圖陰影),變形目標函數z=2x+y可得y=2x+z,平移直線y=2x可知,當直線經過點A(3,0)時,z取最大值,代值計算可得z=2x+y的最大值為6故選:C點評:本題考查簡單線性規(guī)劃,準確作圖是解決問題的關鍵,屬中檔題5(5分)已知直線a,b,平面,且a,b,則“ab”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題:簡易邏輯分析:根據題意,分兩步來判斷:分析當時,ab是否成立,有線面垂直的性質,可得其是真命題,分析當ab時,是否成立,舉出反例可得其是假命題,綜合可得答案解答:解:根據題意,分兩步來判斷:當時,a,且,a,又b,ab,則ab是的必要條件,若ab,不一定,當=a時,又由a,則ab,但此時不成立,即ab不是的充分條件,則ab是的必要不充分條件,故選B點評:本題考查充分必要條件的判斷,涉及線面垂直的性質的運用,解題的關鍵要掌握線面垂直的性質6(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S的值為()A16B25C36D49考點:程序框圖專題:算法和程序框圖分析:執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的i,n,S的值,當i=6時,滿足條件i5,退出循環(huán),輸出S的值為36解答:解:執(zhí)行程序框圖,可得S=0,n=1,i=1S=1,不滿足條件i5,i=2,n=3,S=4不滿足條件i5,i=3,n=5,S=9不滿足條件i5,i=4,n=7,S=16不滿足條件i5,i=5,n=9,S=25不滿足條件i5,i=6,n=11,S=36滿足條件i5,退出循環(huán),輸出S的值為36故選:C點評:本題主要考察了程序框圖和算法,正確判斷退出循環(huán)時S的值是解題的關鍵,屬于基礎題7(5分)在ABC中,a,b,c分為為A,B,C所對的邊,若函數f(x)=x3+bx2+(a2+c2ac)x+1有極值點,則B的范圍是()A(0,)B(0,C,)D,考點:利用導數研究函數的極值專題:計算題;導數的綜合應用;解三角形分析:先求導f(x)=x2+2bx+(a2+c2ac),從而化函數f(x)=x3+bx2+(a2+c2ac)x+1有極值點為x2+2bx+(a2+c2ac)=0有兩個不同的根,從而再利用余弦定理求解解答:解:f(x)=x3+bx2+(a2+c2ac)x+1,f(x)=x2+2bx+(a2+c2ac),又函數f(x)=x3+bx2+(a2+c2ac)x+1有極值點,x2+2bx+(a2+c2ac)=0有兩個不同的根,=(2b)24(a2+c2ac)0,即aca2+c2b2,即ac2accosB;即cosB;故B的范圍是(,);故選:D點評:本題考查了導數的綜合應用及余弦定理的應用,屬于中檔題8(5分)如果自然數a的各位數字之和等于8,我們稱a為“吉祥數”將所有“吉祥數”從小到大排成一列a1,a2,a3,若an=xx,則n=()A83B82C39D37考點:數列遞推式專題:點列、遞歸數列與數學歸納法分析:利用“吉祥數”的定義,分類列舉出“吉祥數”,推理可得到結論解答:解:由題意,一位數時只有8一個;二位數時,有17,26,35,44,53,62,71,80共8個三位數時:(0,0,8)有1個,(0,1,7)有4個,(0,2,6)有4個,(0,3,5)有4個,(0,4,4)有2個,(1,1,6)有3個,(1,2,5)有6個,(1,3,4)有6個,(2,2,4),有3個,(2,3,3)有3個,共1+43+2+33+62=36個,四位數小于等于xx:(0,0,1,7)有3個,(0,0,2,6)有1個,(0,1,1,6)有6個,(0,1,2,5)有7個,(0,1,3,4)有6個,(1,1,1,5)有3個,(1,1,2,4)有6個,(1,1,3,3)有3個,(1,2,2,3)有3個,共有34+63+1+7=38個數,小于等于xx的一共有1+8+36+38=83個,即a83=xx故選:A點評:本題考查新定義,涉及簡單計數原理和排列組合的知識,屬中檔題二、填空題:本大題共5小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分25分本大題分為必做題和選做題兩部分(一)必做題:第9、10、11、12、13題為必做題,每道試題考生必須作答9(5分)(x)4的展開式中常數項為(用數字表示)考點:二項式定理專題:計算題;二項式定理分析:利用二項展開式的通項公式Tr+1=()rx42r,令42r=0得r=2,即可求出(x)4的展開式中常數項解答:解:設(x)4展開式的通項為Tr+1,則Tr+1=()rx42r,令42r=0得r=2展開式中常數項為:()2=故答案為:點評:本題考查二項式系數的性質,利用通項公式化簡是關鍵,屬于中檔題10(5分)(x22sinx)dx=18考點:微積分基本定理專題:導數的概念及應用分析:根據微積分基本定理計算即可解答:解:(x22sinx)dx=(x3+2cosx)|=33+2cos3(3)32cos(3)=9+9=18故答案為:18點評:本題考查了微積分基本定理,關鍵是求出原函數,屬于基礎題11(5分)已知向量=(1,1),=(1,)(x0,y0),若,則x+4y的最小值為9考點:平面向量數量積的運算專題:平面向量及應用分析:根據,得到x+y=xy,由x+4y4結合“=”成立的條件,求出此時x,y的值,從而得到答案解答:解:,(x0,y0),=1+=0,+=1,x+4y=(x+4y)(+)=1+45+2=9,當且僅當=即x2=4y2時“=”成立,故答案為:9點評:本題考查了平面向量數量積的運算,考查了基本不等式的性質,是一道基礎題12(5分)已知圓C:x2+y2+8x+ay5=0經過拋物線E:x2=4y的焦點,則拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為4考點:拋物線的簡單性質專題:計算題;圓錐曲線的定義、性質與方程分析:求出拋物線E:x2=4y的焦點為(0,1),準線為y=1,確定圓的方程,即可求出拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長解答:解:拋物線E:x2=4y的焦點為(0,1),準線為y=1(0,1)代入圓C:x2+y2+8x+ay5=0,可得1+a5=0,a=4圓C:x2+y2+8x+4y5=0,即(x+4)2+(y+2)2=25,圓心到直線的距離為d=1,拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為2=4故答案為:4點評:本題考查圓的方程,考查拋物線的性質,考查直線與圓的位置關系,考查學生的計算能力,比較基礎13(5分)設P是函數y=lnx圖象上的動點,則點P到直線y=x的距離的最小值為考點:利用導數研究曲線上某點切線方程專題:計算題;作圖題;導數的綜合應用分析:由題意作圖,從而可得點P(1,0)時,點P到直線y=x的距離的有最小值;從而求解解答:解:由題意作圖如下,令y=1得,x=1,y=0;故點P(1,0)時,點P到直線y=x的距離的有最小值;故d=;故答案為:點評:本題考查了導數的綜合應用及數形結合的思想應用,屬于中檔題三、【坐標系與參數方程選做題】(共1小題,每小題5分,滿分5分)14(5分)在極坐標系中,曲線C1:cos=與曲線C2:2cos2=1相交于A,B兩點,則|AB|=2考點:簡單曲線的極坐標方程專題:坐標系和參數方程分析:曲線C1:cos=化為x=曲線C2:2cos2=1化為2(cos2sin2)=1,可得x2y2=1,聯(lián)立解得即可解答:解:曲線C1:cos=化為x=曲線C2:2cos2=1化為2(cos2sin2)=1,x2y2=1,聯(lián)立,解得|AB|=2故答案為:2點評:本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、弦長問題,考查了計算能力,屬于基礎題四、【幾何證明選講選做題】(共1小題,每小題0分,滿分0分)15如圖,在RtABC中,A=30,C=90,D是AB邊上的一點,以BD為直徑的O與AC相切于點E若BC=6,則DE的長為4考點:與圓有關的比例線段專題:立體幾何分析:連接OE,由已知得AEO=90,OA=2OE,OD=AD,由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,得DE=OD,由此能求出DE的長解答:解:連接OE,AC是O的切線,AEO=90,A=30,OA=2OE,OA=OD+AD,OD=OE,OD=AD,DE=OD(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半),C=90,A=30,BC=6,AB=2BC=12,AB=OB+OD+AD=3OD=12,OD=4,DE=OD=4故答案為:4點評:本題考查線段長的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意圓的簡單性質的合理運用三、解答題16(12分)函數f(x)=2sin(x+)(w0)的最小正周期是(1)求f()的值;(2)若sinx0=,且x0(0,),求f(x0)的值考點:由y=Asin(x+)的部分圖象確定其解析式專題:計算題;三角函數的求值分析:(1)由已知可求的值,從而可得解析式,即可根據誘導公式求值(2)由已知可求得cos2x0的值,即可求sin2x0的值,由兩角和的正弦公式展開所求代入即可求值解答:解:(1)f(x)的周期是,即T=,(1分)=2,即 (3分) (5分)(2)由得,(7分)又,2x0(0,),(8分),(9分)= (12分)點評:本小題主要考查了三角函數f(x)=Asin(x+)的圖象與性質,同角三角函數的關系式,誘導公式,兩角和與差和二倍角的三角函數公式,考查了簡單的數學運算能力,屬于基礎題17(12分)空氣質量指數(簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數,其數值越大說明空氣污染越嚴重,為了及時了解空氣質量狀況,廣東各城市都設置了實時監(jiān)測站下表是某網站公布的廣東省內21個城市在xx12月份某時刻實時監(jiān)測到的數據:城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值城市 AQI數值廣州118東莞137中山95江門78云浮76茂名107揭陽80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇慶48清遠47佛山160惠州113汕頭88汕尾74陽江112韶關68梅州84(1)請根據上表中的數據,完成下列表格:空氣質量優(yōu)質良好輕度污染中度污染AQI值范圍0,50)50,100)100,150)150,200)城市個數(2)統(tǒng)計部門從空氣質量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個城市,省環(huán)保部門再從中隨機選取3個城市組織專家進行調研,記省環(huán)保部門“選到空氣質量“良好”的城市個數為”,求的分布列和數學期望考點:離散型隨機變量的期望與方差;分層抽樣方法專題:概率與統(tǒng)計分析:(1)根據已知數據,能完成表格(2)按分層抽樣的方法,抽出的“良好”類城市為4個,抽出的“輕度污染”類城市為2個根據題意的所有可能取值為:1,2,3分別求出相應的概率,由此能求出的分布列和數學期望解答:解:(1)根據數據,完成表格如下:空氣質量優(yōu)質良好輕度污染中度污染AQI值范圍0,50)50,100)100,150)150,200)城市頻數21261(2分)(2)按分層抽樣的方法,從“良好”類城市中抽取個,(3分)從“輕度污染”類城市中抽取個,(4分)所以抽出的“良好”類城市為4個,抽出的“輕度污染”類城市為2個根據題意的所有可能取值為:1,2,3,(8分)的分布列為:123p所以 (11分)答:的數學期望為2個(12分)點評:本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識,考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力,數據處理能力18(14分)在三棱錐PABC中,已知平面PBC平面ABC,AB是底面ABC最長的邊三棱錐PABC的三視圖如圖1所示,其中側視圖和俯視圖均為直角三角形(1)請在圖2中,用斜二測畫法,把三棱錐PABC的直觀圖補充完整(其中點P在xOz平面內),并指出三棱錐PABC的哪些面是直角三角形;(2)求二面角BPAC的正切值;(3)求點C到面PAB的距離考點:二面角的平面角及求法專題:空間位置關系與距離;空間角分析:(1)由已知條件能用出三棱錐PABC直觀圖,由三視圖知ABC和PCA是直角三角形(2)過P作PHBC交BC于點H,由三視圖知PBC為等腰三角形,取PC的中點E,過E作EFPA且交PA于點F,連接BE,BF,BFE是二面角BPAC的平面角,由此能求出二面角BPAC的正切值(3)記C到面PAB的距離為h,由VPABC=VCPAB,能求出C到面PAB的距離解答:解:(1)三棱錐PABC直觀圖如圖1所示;由三視圖知ABC和PCA是直角三角形(3分)(2)如圖2,過P作PHBC交BC于點H,由三視圖知PBC為等腰三角形,BC=4,PB=PC=BC=4,取PC的中點E,過E作EFPA且交PA于點F,連接BE,BF,因為BEPC,由三視圖知AC面PBC,且BE面PBC,ACBE,又由ACPC=C,BE面PAC,由PA面PAC,BEPA,BEEF=E,PA面BEF,由BF面BEF,PABF,所以BFE是二面角BPAC的平面角(6分)PEFPAC,(8分),在直角BFE中,有所以,二面角BPAC的正切值為 (9分)(3)記C到面PAB的距離為h,由(1)、(2)知,PB=4,VCPAB=,(12分)三棱錐PABC的體積,(13分)由VPABC=VCPAB,得C到面PAB的距離 (14分)點評:本題主要考察空間點、線、面位置關系,三視圖及幾何體的直觀圖,二面角,三棱錐的體積,空間坐標系等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,考查用向量方法解決數學問題的能力19(14分)已知數列an的首項大于0,公差d=1,且+=(1)求數列an的通項公式;(2)若數列bn滿足:b1=1,b2=,bn+1=bn+,其中n2求數列bn的通項bn;是否存在實數,使得數列bn為等比數列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由考點:數列與不等式的綜合專題:等差數列與等比數列分析:(1)由已知得=,從而,由此能求出數列an的通項公式(2)由已知得=+1,令cn=,則c2=,cn+1=cn+1,由此能求出數列bn的通項公式若數列bn為等比數列,則有,由此能求出存在實數=1,使得數列bn為等比數列解答:解:(1)數列an的首項大于0,公差d=1,且+=,(2分)=,(3分)整理得,解得a1=1或a1=3(舍去)(4分)因此數列an的通項an=n(5分)(2)bn+,=+1(6分)令cn=,則有c2=,cn+1=cn+1,(n2)當n2時,cn=c2+(n2)=n2+,(8分)數列bn的通項bn=(9分)b1=1,b2=,(10分)若數列bn為等比數列,則有=b1b3,即,解得=1或(11分)當時,(n2),不是常數,數列bn不是等比數列,當=1時,b1=1,(n2),數列bn為等比數列所以,存在實數=1,使得數列bn為等比數列(14分)點評:本題考查了等差數列的基本量的計算、遞推數列的通項公式、數列裂項求和公式、等比數列的定義,考查了學生的運算能力,以及化歸與轉化的思想20(14分)已知橢圓E:+=1(ab0)的離心率為,過左焦點傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為(1)求橢圓E的方程;(2)若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點,過點M(1,0)作l的垂線垂足為Q,求點Q的軌跡方程考點:直線與圓錐曲線的綜合問題專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題分析:(1)由橢圓E的離心率為,可得=,解得a2=2b2,可得c=b故橢圓E的方程可設為x2+2y2=2b2,則橢圓E的左焦點坐標為(b,0),過左焦點傾斜角為45的直線方程為l:y=x+b與橢圓方程聯(lián)立可得交點坐標,利用弦長公式|AB|=,解得b即可得出(2)當切線l的斜率存在且不為0時,設l的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0,根據直線l和橢圓E有且僅有一個交點,可得=0,m2=2k2+1由于直線MQ與l垂直,可得直線MQ的方程為:y=,聯(lián)立,解得,消去m,k即可得出解答:解:(1)橢圓E的離心率為,=,解得a2=2b2,c2=a2b2=b2,即c=b故橢圓E的方程可設為x2+2y2=2b2,則橢圓E的左焦點坐標為(b,0),過左焦點傾斜角為45的直線方程為l:y=x+b設直線l與橢圓E的交點記為A,B,聯(lián)立,消去y,得3x2+4bx=0,解得x1=0,x2=,|AB|=,解得b=1故橢圓E的方程為(2)( i)當切線l的斜率存在且不為0時,設l的方程為y=kx+m,聯(lián)立,消去y并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0,直線l和橢圓E有且僅有一個交點,=16k2m24(1+2k2)(2m22)=0,化簡并整理,得m2=2k2+1直線MQ與l垂直,直線MQ的方程為:y=,聯(lián)立,解得,x2+y2=2(*)( ii)當切線l的斜率為0時,此時Q(1,1),符合(*)式 ( iii)當切線l的斜率不存在時,此時Q 或,符合(*)式綜上所述,點Q的軌跡方程為x2+y2=2點評:本題主要考查軌跡方程和橢圓的定義、直線方程、直線與橢圓相切的位置關系,弦長問題,考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數形結合、化歸與轉化思想,屬于難題21(14分)已知定義在2,2上的奇函數f(x)滿足:當x(0,2時,f(x)=x(x2)(1)求f(x)的解析式和值域;(2)設g(x)=ln(x+2)ax2a,其中常數a0試指出函數F(x)=g(f(x)的零點個數;若當1+是函數F(x)=g(f(x)的一個零點時,相應的常數a記為ak,其中k=1,2,n證明:a1+a2+an(nN*)考點:數列與函數的綜合專題:導數的綜合應用;等差數列與等比數列分析:(1)由奇函數性質得f(0)=0,當x2,0)時,f(x)=f(x)=(x)(x2)=x(x+2),由此能求出f(x)的解析式和值域(2)當t=0時,方程f(x)=t有三個實根,當t=1或t=1時,方程f(x)=t只有一個實根,當t(0,1)或t(1,0)時,方程f(x)=t有兩個實根設h(x)=,x1,1,h(1)=0,由此利用導數性質能求出函數F(x)=g(f(x)的零點個數由已知得g(f(1+)=0,g(f(1+)=g()=ln(ak()=0,從而,記m(x)=ln(x+1)x,1=,由此利用導數性質能證明a1+a2+an(nN*)解答:(1)解:f(x)為奇函數,f(0)=0當x2,0)時,x(0,2,則f(x)=f(x)=(x)(x2)=x(x+2),f(x)=x0,2時,f(x)1,0,x2,0),f(x)0,1,f(x)的值域為1,1(2)解:函數f(x)的圖象如圖a所示,當t=0時,方程f(x)=t有三個實根,當t=1或t=1時,方程f(x)=t只有一個實根,當t(0,1)或t(1,0)時,方程f(x)=t有兩個實根由g(x)=0,解得a=,f(x)的值域為1,1,只需研究函數y=在1,1上的圖象特征設h(x)=,x1,1,h(1)=0,令h(x)=0,得x=e2(0,1),h(e2)=當1xe2時,h(x)0,當e2x1時,h(x)0,又ln23ln32,即,由h(0)=,h(1)=,得h(0)h(1),h(x)的大致圖象如圖b所示根據圖象b可知,當0a、a=時,直線y=a與函數y=h(x)的圖象僅有一個交點,則函數g(x)在1,1上僅有一個零點,記零點為t,則t分別在區(qū)間(1,0)、(0,1)上,根據圖象a,方程f(x)=t有兩個交點,因此函數F(x)=g(f(x)有兩個零點類似地,當a=時,函數g(x)在1,1上僅有零點0,因此函數F(x)有1、0、1這三個零點當a=時,函數g(x)在1,1上有兩個零點,一個零點是1,另一個零點在(0,1)內,因此函數Y(x)有三個零點當時,函數g(x)在1,1上有兩個零點,且這兩個零點均在(0,1)內,因此函數F(x)有四個零點當a時,函數g(x)在1,1上沒有零點,因此函數F(x)沒有零點 證明:1+是函數F(x)=g(f(x)的一個零點,有g(f(1+)=0,1+(0,2),f(1+)=,g(f(1+)=g()=ln()ak()=0,k=1,2,n記m(x)=ln(x+1)x,1=,當x(0,1時,m(x)0,當x(0,1時,m(x)m(0)=0,即ln(x+1)x故有l(wèi)n(),則=,k=1,2,n 當n=1時,a1當n2時,=,a1+a2+a3+an+=綜上,有a1+a2+an(nN*)點評:本題主要考查函數的性質、分段函數、導數應用、一元二次方程的求解、連續(xù)函數的零點存在性定理,放縮法證明數列不等式,考查學生數形結合、分類討論的數學思想,以及計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識- 配套講稿:
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