2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題27 轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題27 轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想（含解析） 一、選擇題 1．已知f(x)＝2x，則函數(shù)y＝f(|x－1|)的圖象為(　　) [答案]　D [解析]　法一：f(|x－1|)＝2|x－1|. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2.可排除A、C． 當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝4.可排除B． 法二：y＝2x→y＝2|x|→y＝2|x－1|，經(jīng)過圖象的對稱、平移可得到所求． [方法點(diǎn)撥]　1.函數(shù)圖象部分的復(fù)習(xí)應(yīng)該解決好畫圖、識圖、用圖三個(gè)基本問題，即對函數(shù)圖象的掌握有三方面的要求： ①會(huì)畫各種簡單函數(shù)的圖象； ②能依據(jù)函數(shù)的圖象判斷相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)； ③能用數(shù)形結(jié)合的思想以圖輔助解題． 2．作圖、識圖、用圖技巧 (1)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換． 描繪函數(shù)圖象時(shí)，要從函數(shù)性質(zhì)入手，抓住關(guān)鍵點(diǎn)(圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)和對稱性進(jìn)行． (2)識圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系． (3)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象結(jié)合研究． 3．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖 ①平移變換： y＝f(x)y＝f(x－h(huán))， y＝f(x)y＝f(x)＋k. ②伸縮變換： y＝f(x)y＝f(ωx)， y＝f(x)y＝Af(x)． ③對稱變換： y＝f(x)y＝－f(x)， y＝f(x)y＝f(－x)， y＝f(x)y＝f(2a－x)， y＝f(x)y＝－f(－x)． 2．(文)(xx哈三中二模)對實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝，設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2＋1)*(x＋2)，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(2,4]∪(5，＋∞) B．(1,2]∪(4,5] C．(－∞，1)∪(4,5] D．[1,2] [答案]　B [解析]　由a*b的定義知，當(dāng)x2＋1－(x＋2)＝x2－x－1≤1時(shí)，即－1≤x≤2時(shí)，f(x)＝x2＋1；當(dāng)x<－1或x>2時(shí)，f(x)＝x＋2，∵y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴方程f(x)－c＝0恰有兩不同實(shí)根，即y＝c與y＝的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合易得10，則c<0；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝>0，所以b>0；當(dāng)y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，選C． [方法點(diǎn)撥]　1.給出解析式判斷函數(shù)圖象的題目，一般借助于平移、伸縮、對稱變換，結(jié)合特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高(低)點(diǎn)、兩圖象的交點(diǎn)等)作出判斷． 2．由函數(shù)圖象求解析式或求解析式中的參數(shù)值(或取值范圍)時(shí)，應(yīng)注意觀察圖象的單調(diào)性、對稱性、特殊點(diǎn)、漸近線等然后作出判斷． 3．?dāng)?shù)形結(jié)合的途徑 (1)通過坐標(biāo)系“形”題“數(shù)”解 借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化．在高考中主要以解析幾何作為知識載體來考查．值得強(qiáng)調(diào)的是，“形”“題”“數(shù)”解時(shí)，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧(這是因?yàn)槿枪降氖褂?，可以大大縮短代數(shù)推理)． 實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4. (2)通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造“數(shù)”題“形”解 許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化．例如，將a>0與距離互化，將a2與面積互化，將a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60)與余弦定理溝通，將a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(或復(fù)數(shù))和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線對應(yīng)，將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等．這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形(平面的或立體的)．另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常相伴而充分地發(fā)揮作用． 4．(文)已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx解的個(gè)數(shù)是(　　) A．5　　　 B．7　　　 C．9　　　 D．10 [答案]　C [分析]　由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)為周期函數(shù)，結(jié)合f(x)在[－1,1]上的解析式可畫出f(x)的圖象，方程f(x)＝lgx的解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝f(x)與y＝lgx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． [解析]　由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0,1]的函數(shù)． 由方程f(x)＝lgx知x∈(0,10]時(shí)方程有解，畫出兩函數(shù)y＝f(x)與y＝lgx的圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)．又∵lg10＝1，故當(dāng)x>10時(shí)，無交點(diǎn)．∴由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)． [方法點(diǎn)撥]　數(shù)形結(jié)合在函數(shù)、方程、不等式中的應(yīng)用 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的解題思路，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)． (2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答． (3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． (理)已知m、n是三次函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a、b∈R)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且m∈(0,1)，n∈(1,2)，則的取值范圍是(　　) A．(－∞，)∪(1，＋∞) B．(，1) C．(－4,3) D．(－∞，－4)∪(3，＋∞) [答案]　D [解析]　f ′(x)＝x2＋ax＋2b， 由題意知∴(*) 表示不等式組(*)表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(－2，－3)連線的斜率，由圖形易知選D． 5．(文)直線x＋y－m＝0與圓x2＋y2＝1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A．10，則|MN|＝t2－lnt，令y＝t2－lnt(t>0)，則y′＝2t－，由y′>0得t>，由y′<0得00}，B＝{a|?x∈R，asinx＋cosx<－2}，則A∩B等于(　　) A．{a|a<－1} B．{a|a<1} C．{a|a≠1} D．{a|a<－1或a>1} [答案]　A [解析]　由已知條件可得不等式a<＝(2x＋)對任意的x∈R恒成立，由(2x＋)≥2＝1可得a<1，即A＝{a|a<1}；又由不等式asinx＋cosx＝sin(x＋φ)<－2有解，可得－<－2，解得a>1或a<－1，即得B＝{a|a>1或a<－1}，則A∩B＝{a|a<－1}，故應(yīng)選A． 二、填空題 11．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比數(shù)列，則的值是________． [分析]　利用滿足條件的具體數(shù)列代入求值． [答案]　 [解析]　由題意知，只要滿足a1、a3、a9成等比數(shù)列的條件，{an}取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值是沒有關(guān)系的．因此，可把抽象數(shù)列化歸為具體數(shù)列．比如，可選取數(shù)列an＝n(n∈N*)，則＝＝. [方法點(diǎn)撥]　抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化的化歸思想 (1)本題如果從已知條件a＝a1a9?(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1與d的關(guān)系后，代入所求式子：＝，也能求解，但計(jì)算較繁瑣，易錯(cuò)．因此，把抽象數(shù)列轉(zhuǎn)化為具體的簡單的數(shù)列進(jìn)行分析，可以很快得到答案． (2)對于某個(gè)在一般情況下成立的結(jié)論或恒成立問題，可運(yùn)用一般與特殊相互轉(zhuǎn)化的化歸思想，將一般性問題特殊化、具體化，使問題變得簡便． 三、解答題 12．如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M、N分別為SA、CD的中點(diǎn)． (1)證明：直線MN∥平面SBC； (2)證明：平面SBD⊥平面SAC． [解析]　(1)如圖所示，取SB中點(diǎn)E，連接ME，CE. 因?yàn)镸為SA的中點(diǎn)， 故ME∥AB，且ME＝AB． 因?yàn)镹為菱形ABCD中邊CD的中點(diǎn)， 故CN綊AB，ME綊CN，所以四邊形MECN是平行四邊形，即MN∥EC． 又因?yàn)镋C?平面SBC，MN?平面SBC， 所以直線MN∥平面SBC． (2)連接AC，BD，相交于點(diǎn)O. 因?yàn)镾A⊥底面ABCD，故SA⊥BD． 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， 所以AC⊥BD． 又因?yàn)镾A∩AC＝A，故BD⊥平面SAC． 又因?yàn)锽D?平面SBD， 所以平面SBD⊥平面SAC． [方法點(diǎn)撥]　1.轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸的基本內(nèi)涵是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常將待解決的問題A，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一問題B，而問題B是相對較容易解決的或已經(jīng)有固定解決模式的問題，且通過問題B的解決可以得到原問題A的解．用框圖可直觀地表示為： 其中問題B稱為化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段稱為化歸策略．化歸思想有著堅(jiān)實(shí)的客觀基礎(chǔ)，它著眼于揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過矛盾轉(zhuǎn)化解決問題． 2．立體幾何中的沿表面最短距離問題一般都轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開圖中兩點(diǎn)間距離或點(diǎn)到直線的距離求解． 3．立體幾何問題要注意利用線線、線面、面面平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化探尋解題思路，對于不易觀察的空間圖形可部分地畫出其平面圖形．利用線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理將空間問題向平面轉(zhuǎn)化． 4．立體幾何中常采用等體積法將求距離問題轉(zhuǎn)化為體積的計(jì)算問題． 5．熟悉化原則，對于比較生疏的問題，要善于展開聯(lián)想與想象，尋找學(xué)過知識中與其相近、相似或有聯(lián)系的內(nèi)容，探求切入點(diǎn)． 13．已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，且f(x)在 [0，＋∞)上是增函數(shù)．當(dāng)0≤θ≤時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有的θ∈[0，]均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m；若不存在，則說明理由． [解析]　由f(x)是R上的奇函數(shù)可得f(0)＝0. 又在[0，＋∞)上是增函數(shù)， 故f(x)在R上為增函數(shù)． 由題設(shè)條件可得f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0. 又由f(x)為奇函數(shù)，可得 f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)． ∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴cos2θ－3>2mcosθ－4m， 即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0. 令cosθ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1. 于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0≤t≤1， 不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立． ∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立． 又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2－時(shí)取等號)，∴m>4－2. ∴存在實(shí)數(shù)m滿足題設(shè)的條件，m>4－2 14．試求常數(shù)m的范圍，使曲線y＝x2的所有弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分． [分析]　正面解決較難，考慮到“不能”的反面是“能”，被直線垂直平分的弦的兩端點(diǎn)關(guān)于此直線對稱，于是問題轉(zhuǎn)化為“拋物線y＝x2上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝m(x－3)對稱，求m的取值范圍”，再求出m的取值集合的補(bǔ)集即為原問題的解． [解析]　先求m的取值范圍，使拋物線y＝x2上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝m(x－3)對稱． 由題意知m≠0，∴設(shè)拋物線上兩點(diǎn)(x1，x)，(x2，x)關(guān)于直線y＝m(x－3)對稱，于是有 所以 消去x2得2x＋x1＋＋6m＋1＝0. 因?yàn)榇嬖趚1∈R使上式恒成立， 所以Δ＝()2－42(＋6m＋1)>0. 即12m3＋2m2＋1<0， 也即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0. 因?yàn)?m2－2m＋1>0恒成立，所以2m＋1<0， 所以m<－. 即當(dāng)m<－時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 y＝m(x－3)對稱，所以當(dāng)m≥－時(shí)，曲線y＝x2的所有弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分． [方法點(diǎn)撥]　正難則反、逆向思維的化歸思想 (1)正面思考問題一時(shí)無從著手，遇到困難時(shí)，可正難則反，逆向思維，即考慮問題的反面，用補(bǔ)集思想去探索研究． (2)在運(yùn)用補(bǔ)集的思想解題時(shí)，一定要搞清結(jié)論的反面是什么，“所有弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分”的反面是“至少存在一條弦能被直線y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直線y＝m(x－3)垂直平分”． (3)反證法也是正難則反的轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)． 15．(文)(xx沈陽市質(zhì)檢)投擲質(zhì)地均勻的紅、藍(lán)兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n.試就方程組解答下面問題． (1)求方程組只有一個(gè)解的概率； (2)求方程組只有正數(shù)解的概率． [解析]　(1)方程組只有一解，則n≠2m 6 √ √ √ √ √ 5 √ √ √ √ √ √ 4 √ √ √ √ √ 3 √ √ √ √ √ √ 2 √ √ √ √ √ 1 √ √ √ √ √ √ n　 　m 1 2 3 4 5 6 由上表可知方程組只有一個(gè)解的概率 P＝＝. (2)由方程組解得 若要方程組只有正解，則需 6 √ 5 √ 4 √ 3 2 √ √ √ √ √ 1 √ √ √ √ √ n　 　m 1 2 3 4 5 6 由上表得可知方程組只有正解的概率P＝. (理)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足4Sn＝(an＋1)2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解析]　(1)∵4Sn＝(an＋1)2， ∴4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)， 相減得an－an－1＝2，又4a1＝(a1＋1)2， ∴a1＝1，∴an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝ ＝(－)． 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝. [方法點(diǎn)撥]　給出數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等一般要化歸為基本數(shù)列；數(shù)列通項(xiàng)或前n項(xiàng)和中含有參數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最大(小)項(xiàng)等問題常常要分類討論；給出某項(xiàng)或項(xiàng)的關(guān)系式或給出前n項(xiàng)和的關(guān)系等，常借助公式、性質(zhì)列方程求解．