2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初聯(lián)考試題 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初聯(lián)考試題 文（含解析） 【試卷綜評(píng)】命題把重點(diǎn)放在高中數(shù)學(xué)課程中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容上，充分關(guān)注考生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中必須掌握的核心觀念、思想方法、基本概念和常用技能。試卷對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容和基本能力，特別是對(duì)高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)進(jìn)行較為全面地考查。注重了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考，沒(méi)有片面追求知識(shí)及基本思想、方法的覆蓋面，反映了新課程的理念. 一、選擇題：本大題有10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的． 【題文】1．設(shè)全集，集合，集合，則=（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算.A1 【答案解析】A 解析：因?yàn)槿?，集合，集合，所以，故，故選A. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件先求出，然后再求即可. 【題文】2．已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), 則 （ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)的性質(zhì);考查函數(shù)的求值. B1 B4 【答案解析】A 解析：∵函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ∴，故選A． 【思路點(diǎn)撥】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案． 【題文】3．若有直線、和平面、，下列四個(gè)命題中，正確的是 （ ） A．若，，則 B．若，，，，則 C．若，，則 D．若，，，則 【知識(shí)點(diǎn)】面面平行的判定定理;線面平行的定理; 面面垂直的性質(zhì)定理.G4 G5 【答案解析】D 解析：A不對(duì)，由面面平行的判定定理知，m與n可能相交，也可能是異面直線；B不對(duì)，由面面平行的判定定理知少相交條件； C不對(duì)，由面面垂直的性質(zhì)定理知，m必須垂直交線；故選D． 【思路點(diǎn)撥】由面面平行的判定定理和線面平行的定理判斷A、B、D；由面面垂直的性質(zhì)定理判斷C． 【題文】4．等式成立是成等差數(shù)列 的 （ ） A．充分不必要條件 B. 充要條件 C．必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2 【答案解析】A 解析：若等式成立，則， 此時(shí)不一定成等差數(shù)列， 若成等差數(shù)列，則，等式成立，所以“等式成立”是“成等差數(shù)列”的．必要而不充分條件． 故選A． 【思路點(diǎn)撥】由正弦函數(shù)的圖象及周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行雙向判斷即可． 【題文】5．直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A．1 B．0 C．2 D．-1或0 【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程;直線的垂直關(guān)系．H1 H2 【答案解析】D 解析：∵直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直， ∴3m+m（2m-1）=0，解得m=0或m=-1．故選：D． 【思路點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 【題文】6．如下圖①對(duì)應(yīng)于函數(shù)f(x)，則在下列給出的四個(gè)函數(shù)中，圖②對(duì)應(yīng)的函數(shù)只能是（ ） A．y=f(|x|) B．y=|f(x)| C．y=f(－|x|) D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象;函數(shù)的圖象與圖象變化.B8 【答案解析】C 解析：由圖（2）知，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，且當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象右側(cè)與左側(cè)關(guān)于y軸對(duì)稱，而y軸左側(cè)圖象與（1）中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f（x）的圖象相同，故當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=f（-x），得出A、D不正確．故選C. 【思路點(diǎn)撥】由題意可知，圖2函數(shù)是偶函數(shù)，與圖1對(duì)照，y軸左側(cè)圖象相同，右側(cè)與左側(cè)關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)選項(xiàng)一一利用排除法分析可得答案． 【題文】7．若為等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,且S15 =,則tan的值為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì). D2 【答案解析】B 解析：由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，， ∴∴,故選B． 【思路點(diǎn)撥】由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)，，求出，進(jìn)而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果． 【題文】8．過(guò)點(diǎn)（，0）引直線與曲線 交于A,B兩點(diǎn) ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線的斜率等于（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜率；直線與圓的關(guān)系. H1 H4 【答案解析】B 解析：由，得x2+y2=1（y≥0）． 所以曲線表示單位圓在x軸上方的部分（含與x軸的交點(diǎn)）， 設(shè)直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合， 則-1＜k＜0，直線l的方程為y-0=k(x?)，即kx?y?k＝0． 則原點(diǎn)O到l的距離d=，l被半圓截得的半弦長(zhǎng)為． 則S△ABO＝ =． 令，則S△ABO＝，當(dāng)t＝，即時(shí)，S△ABO有最大值為．此時(shí)由，解得k=．故選B． 【思路點(diǎn)撥】由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點(diǎn)），由此可得到過(guò)C點(diǎn)的直線與曲線相交時(shí)k的范圍，設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長(zhǎng)，寫(xiě)出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值． 【題文】9．當(dāng)x>3時(shí)，不等式x+≥恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A．(－∞,3] B．[3,+∞) C．[,+∞) D．(－∞, ] 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立問(wèn)題；基本不等式.B3 E6 【答案解析】D 解析：因?yàn)椴坏仁絰+≥恒成立，所以有恒成立，令，，即在恒成立，而函數(shù)在上是增函數(shù)，故，故選D. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件把原式轉(zhuǎn)化為在恒成立的問(wèn)題，再借助于函數(shù)的單調(diào)性即可. 【題文】10．如圖，南北方向的公路 ,A地在公路正東 2 km處，B地在A東偏北300方向2 km處，河流沿岸曲線PQ 上任意一點(diǎn)到公路和到A地距離相等?，F(xiàn)要在曲線PQ上一處建 一座碼頭，向A、B兩地運(yùn)貨物，經(jīng)測(cè)算，從M到A、M到B修建費(fèi) 用都為a萬(wàn)元/km,那么，修建這條公路的總費(fèi)用最低是（ ）萬(wàn)元 A. (2+)a B. 2(+1)a C. 5a D. 6a 【知識(shí)點(diǎn)】拋物線方程的應(yīng)用. H7 【答案解析】C 解析：依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線， 根據(jù)拋物線的定義知：欲求從M到A，B修建公路的費(fèi)用最低，只須求出B到直線距離即可．因B地在A地東偏北300方向2km處，∴B到點(diǎn)A的水平距離為3（km），∴B到直線距離為：3+2=5（km），那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低為：5a（萬(wàn)元）．故選C． 【思路點(diǎn)撥】依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線，欲求從M到A，B修建公路的費(fèi)用最低，只須求出B到直線l距離即可． 二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分） 【題文】11. 若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則的值是 【知識(shí)點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義. C1 【答案解析】 解析：OP=r＝＝1，∴點(diǎn)P在單位圓上，∴sinα＝，tanα＝，得sinαtanα＝()()＝．故答案為. 【思路點(diǎn)撥】求出OP的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sinα，tanα，即可求出sinαtanα的值得到結(jié)果． 【題文】12．設(shè)滿足則的最小值為 _______ 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．E5 【答案解析】2 解析：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示： 由圖得當(dāng)過(guò)點(diǎn)B（2，0）時(shí)，有最小值2． 故答案為：2． 【思路點(diǎn)撥】先畫(huà)出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個(gè)角點(diǎn)，然后將其代入中，求出的最小值． 【題文】13．一個(gè)組合體的三視圖如圖，則其體積為_(kāi)_______________ 第13題圖 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求體積．G2 【答案解析】 解析：三視圖復(fù)原的幾何體是下部為底面半徑為2高為4的圓柱，上部是底面半徑為2為3的圓錐，所以幾何體的體積為：故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】利用三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可． 【題文】14．若則的值為 ____ . 【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)求函數(shù)值.B1 【答案解析】2 解析：由已知條件可知，所以 ，故答案為2. 【思路點(diǎn)撥】先求出的值，再求即可. 【題文】15．如右圖，等邊△中，， 則 _________ 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. F3 【答案解析】 解析：由題意，得，； ∴ 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】先表示出向量與，再計(jì)算向量的數(shù)量積． 【題文】16．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 _____ 【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.B9 C3 【答案解析】4 解析：函數(shù)與的圖象有公共的對(duì)稱中心，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象， 當(dāng)1＜x≤4時(shí)，≥，而函數(shù)在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在(2，)上是單調(diào)增且為正數(shù)函數(shù)，在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在(，3)上是單調(diào)減且為正數(shù)，∴函數(shù)在x=處取最大值為2≥，而函數(shù)在（1，2）、（3，4）上為負(fù)數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以兩個(gè)函數(shù)圖象在（1，4）上有兩個(gè)交點(diǎn)（圖中C、D），根據(jù)它們有公共的對(duì)稱中心（1，0），可得在區(qū)間（-2，1）上也有兩個(gè)交點(diǎn)（圖中A、B），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為4，故答案為4. 【思路點(diǎn)撥】的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心公式，可得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心也是點(diǎn)，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2,即可得到結(jié)果. 【題文】17. 在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（－1，0）， B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足下列條件：（1） ， （2），（3），則的頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ____ 【知識(shí)點(diǎn)】軌跡方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． H5 H9 【答案解析】解析：由得，G為重心， 由得，M為外心．所以M點(diǎn)在y軸上（M到AB兩點(diǎn)距離相等）．又，則GM∥AB． 設(shè)M為（0，y），G為（x，y）（y≠0），由重心坐標(biāo)公式得C為（3x，3y）． 再由MA=MC，得．整理得：①． 再設(shè)c（x，y），由3x=x，3y=y得x＝，y＝代入①得：(x′)2+=1.所以△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+ =1(y≠0)． 故答案為 ． 【思路點(diǎn)撥】由題目給出的條件，分別得到G為三角形ABC的重心，M為三角形ABC的外心，設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，由GM∥AB，可知M和G具有相同的縱坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由M到A和C的距離相等列式可得G的軌跡方程，利用代入法轉(zhuǎn)化為C的軌跡方程． 三、解答題：本大題有5小題，共 72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 【題文】18．（14分）已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； （2）設(shè)△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，，若，求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性；余弦定理． C3 C4 C5 C6 C8 【答案解析】（1）最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間 （2）：，. 解析：（1），…………3分 則最小正周期是；…………5分； 由，得 的單調(diào)遞減區(qū)間， 8分 （2），則，…………9分 ,,所以， 所以，，…………11分 因?yàn)?，所以由正弦定理得，……①………?2分 由余弦定理得，即……②…………11分，由①②解得：，．…………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）利用二倍角的正弦與余弦公式及輔助角公式可求得f（x），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）利用余弦定理與正弦定理可得方程組，解之即可． 【題文】19．（14分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90， E、F分別是BC、的中點(diǎn)。 （1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正切值。 第19題圖 【知識(shí)點(diǎn)】面面平行的判定定理；直線與平面所成的角.B4 C3 D1 【答案解析】（1）見(jiàn)解析（2） 解析：（1）證：取CC1的中點(diǎn)M，連接ME，MF，則ME∥，MF∥， 所以平面MEF∥平面，又EF平面MEF，EF∥平面7分 （也可以用線面平行的方法來(lái)求證） （2）解；過(guò)E做AB的垂線，交AB于點(diǎn)H，連接HF，則∠EFH即為所求之線面角..10分 ，14分 【思路點(diǎn)撥】（1）取CC1的中點(diǎn)M，連接ME，MF，然后利用面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行；（2）過(guò)E做AB的垂線，交AB于點(diǎn)H，連接HF，則∠EFH即為所求之線面角，再求出其正切值即可. 【題文】20．（14分）數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，是和的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列{}滿足，． （1）求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的判斷；裂項(xiàng)相消法. D3 D4 【答案解析】（1） （2） 解析：（1）是和1的等差中項(xiàng)， 當(dāng)時(shí)，，， 當(dāng)時(shí)，，……………………….2分 ,,……………………………..4分 ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列， ………………………………………………………………………… 6分 設(shè)的公差為，，. ……………………………………………8分 （2） ……………………… 【思路點(diǎn)撥】（1）先結(jié)合題意利用的關(guān)系求出，然后求出與，再得到即可；（2）把變形后利用裂項(xiàng)相消法即可. 【題文】21．（15分）設(shè)奇函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)當(dāng)時(shí)，都 有 （1）若，試比較的大??； （2）若存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性；不等式成立的條件.B4 B3 【答案解析】（1）（2） 解析：（1）由已知得，又 ， ，即6分 （2）為奇函數(shù)，等價(jià)于8分 又由（1）知單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于即10分 存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，12分 的取值范圍為15分 【思路點(diǎn)撥】（1）由已知把原不等式變形為即可；（2）先等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)使得不等式成立即可得解. 【題文】22．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓 ＋＝1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k. (1)若直線PA平分線段MN，求k的值； (2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d， 且求的面積。 第22題圖 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．A8 【答案解析】（1） （2）， 解析：(1)由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為 .由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)， 又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝.……………………5分 (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得 ＋＝1，解得x＝， 因此P，A.于是C，直線AC的斜率為＝1， 故直線AB的方程為x－y－＝0. 因此，d＝＝.……………………10分 ，消去y，得, ,……………………15分 【思路點(diǎn)撥】（1）由題設(shè)寫(xiě)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，求出線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線PA過(guò)原點(diǎn)和斜率公式，即可求出k的值； （2）寫(xiě)出直線PA的方程，代入橢圓，求出點(diǎn)P，A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得點(diǎn)P到直線AB的距離d；然后聯(lián)立方程組進(jìn)而求出面積.