2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)(五)理.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)(五)理1.已知直線(xiàn)x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C:+=1(ab0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D,橢圓C的右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)AS,BS與直線(xiàn)l:x=分別交于M,N兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度的最小值.解:(1)如圖,由題意得橢圓C的左頂點(diǎn)為A(-2,0),上頂點(diǎn)為D(0,1),即a=2,b=1.故橢圓C的方程為+y2=1.(2)直線(xiàn)AS的斜率顯然存在且不為0,設(shè)直線(xiàn)AS的方程為y=k(x+2)(k0),解得M(,),且將直線(xiàn)方程代入橢圓C的方程,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.設(shè)S(x1,y1),由根與系數(shù)的關(guān)系得(-2)x1=.由此得x1=,y1=,即S(,).又B(2,0),則直線(xiàn)BS的方程為y=-(x-2),聯(lián)立直線(xiàn)BS與l的方程解得N(,-).MN=+=+2=.當(dāng)且僅當(dāng)=,即k=時(shí)等號(hào)成立,故當(dāng)k=時(shí),線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度的最小值為.2.橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長(zhǎng)為2,A(,0),F(c,0)(c0OF|=2|FA|,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程及離心率;(2)若=0,求直線(xiàn)PQ的方程;(3)設(shè)=(1),過(guò)點(diǎn)P且平行于x=的直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明=-.(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為+=1(a).由已知得解得a=,c=2.所以橢圓的方程為+=1,離心率e=.(2)解:由(1)可得A(3,0).設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k(x-3).由方程組得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依題意=12(2-3k2)0,得-k1,解得x2=.因F(2,0),M(x1,-y1),故=(x1-2,-y1)=(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-(,y2).而=(x2-2,y2)=(,y2),所以=-.3.已知橢圓C1,拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在y軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表中:x0-14y-2-21(1)求C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線(xiàn)l與C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與C2的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q,試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)設(shè)C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為+=1(ab0),x2=py,(0,-2)不符合x(chóng)2=py方程,必為橢圓上點(diǎn),代入得a=2.即橢圓方程為+=1,若(4,1)在橢圓上,則有+=1,b2=a2(不合題意).即(4,1)在拋物線(xiàn)上,p=16,拋物線(xiàn)方程為x2=16y,驗(yàn)證得(-1,)在拋物線(xiàn)上,(,-2)不在拋物線(xiàn)上,(,-2)在橢圓上,b2=4.故C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為+=1,x2=16y.(2)存在.設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+n,將其代入+=1,消去x并化簡(jiǎn)整理得(1+2m2)y2+4mny+2n2-8=0,l與C1相切,=16m2n2-4(1+2m2)(2n2-8)=0,n2=4(1+2m2),設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),則y0=-=-,x0=my0+n=.又直線(xiàn)l與C2的準(zhǔn)線(xiàn)y=-4的交點(diǎn)Q(n-4m,-4),以PQ為直徑的圓的方程為(x-)(x-n+4m)+(y+)(y+4)=0,化簡(jiǎn)并整理得x2-x+(4m-n)x+(y+2)+(y+2)2=0,當(dāng)x=0,y=-2等式恒成立,即存在定點(diǎn)M(0,-2)符合題意.4.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)為動(dòng)點(diǎn),已知點(diǎn)A(,0),B(-,0),直線(xiàn)PA和PB的斜率之積為-.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)E于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(M、Q不重合),求證:直線(xiàn)MQ過(guò)x軸上一定點(diǎn).(1)解:由題意知:=-.化簡(jiǎn)得+y2=1(y0).(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,代入+y2=1(y0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.y1+y2=,y1y2=,MQ的方程為y-y1=(x-x1),令y=0,得x=x1+=my1+1+=+1=2.直線(xiàn)MQ過(guò)定點(diǎn)(2,0).5.(xx高考湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1),求直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.解:(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1.化簡(jiǎn)整理得y2=2(|x|+x).故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=(2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x0).依題意,可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y-1=k(x+2).由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(*)當(dāng)k=0時(shí),此時(shí)y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=.故此時(shí)直線(xiàn)l:y=1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)(,1).當(dāng)k0時(shí),方程(*)根的判別式為=-16(2k2+k-1).(*)設(shè)直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.(*)()若由(*)(*)解得k.即當(dāng)k(-,-1)(,+)時(shí),直線(xiàn)l與C1沒(méi)有公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn).故此時(shí)直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn).()若或由(*)(*)解得k(-1,),或-k0.即當(dāng)k-1,時(shí),直線(xiàn)l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)k-,0)時(shí),直線(xiàn)l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2沒(méi)有公共點(diǎn).故當(dāng)k-,0)-1,時(shí),直線(xiàn)l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn).()若由(*)(*)解得-1k-或0kb0)的離心率e=,左頂點(diǎn)M到直線(xiàn)+=1的距離d=,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),證明:點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為定值;(3)在(2)的條件下,試求AOB的面積S的最小值.(1)解:由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.由左頂點(diǎn)M(-a,0)到直線(xiàn)+=1,即bx+ay-ab=0的距離d=,得=,即=,把a(bǔ)=2b代入上式,得=,解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,可知x1=x2,y1=-y2.因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故=0,即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,又點(diǎn)A在橢圓C上,所以+=1,解得|x1|=|y1|=.此時(shí)點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d1=|x1|=.當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立有消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以O(shè)AOB.所以=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(1+k2)-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d2=.綜上所述,點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為定值.(3)解:設(shè)直線(xiàn)OA的斜率為k0.當(dāng)k00時(shí),則OA的方程為y=k0x,OB的方程為y=-x,聯(lián)立得同理可求得故AOB的面積為S=|x1|x2|=2.令1+=t(t1),則S=2=2,令g(t)=-+4=-9(-)2+(t1),所以4g(t).所以S1.當(dāng)k0=0時(shí),可求得S=1,故S1,故S的最小值為.7.(xx山師附中模擬)已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足|+|=(+)+2.(1)求曲線(xiàn)C的方程;(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2x02)在曲線(xiàn)C上,曲線(xiàn)C在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)為l.問(wèn):是否存在定點(diǎn)P(0,t)(t0),使得l與PA,PB都相交,交點(diǎn)分別為D,E,且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值.若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)依題意可得=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),|+|=,(+)=(x,y)(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)C的方程:x2=4y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(0,t)(t0)滿(mǎn)足條件,則直線(xiàn)PA的方程是y=x+t,直線(xiàn)PB的方程是y=x+t,曲線(xiàn)C在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)l的方程為y=x-,它與y軸的交點(diǎn)為F(0,-),由于-2x02,因此-11.當(dāng)-1t0時(shí),-1-,存在x0(-2,2),使得=,即l與直線(xiàn)PA平行,故當(dāng)-1t0時(shí),不符合題意.當(dāng)t-1時(shí),-1,所以l與直線(xiàn)PA,PB一定相交,分別聯(lián)立方程組解得D,E的橫坐標(biāo)分別是xD=,xE=.則xE-xD=,又|FP|=-t,有SPDE=|FP|xE-xD|=,又SQAB=4(1-)=.于是=對(duì)任意x0(-2,2),要使QAB與PDE的面積之比是常數(shù),只需t滿(mǎn)足解得t=-1,此時(shí)QAB與PDE的面積之比為2,故存在t=-1,使QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2.- 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