2019-2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)題型歸納.DOC
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)題型歸納 請(qǐng)同學(xué)們高度重視: 首先,關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法: 1、分離變量;2變更主元;3根分布;4判別式法 5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法:(1)對(duì)稱(chēng)軸(重視單調(diào)區(qū)間) 與定義域的關(guān)系 (2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在 其次,分析每種題型的本質(zhì),你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問(wèn)題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”,創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 最后,同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí),請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ) 一、基礎(chǔ)題型:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值;不等式恒成立; 1、此類(lèi)問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決: 第一步:令得到兩個(gè)根; 第二步:畫(huà)兩圖或列表; 第三步:由圖表可知; 其中不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題, 2、常見(jiàn)處理方法有三種: 第一種:分離變量求最值-----用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類(lèi)討論(>0,=0,<0) 第二種:變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-----(已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元); 例1:設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,若在區(qū)間D上,恒成立,則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”,已知實(shí)數(shù)m是常數(shù), (1)若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,求m的取值范圍; (2)若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”,求的最大值. 解:由函數(shù) 得 (1) 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”, 則 在區(qū)間[0,3]上恒成立 解法一:從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手:等價(jià)于 解法二:分離變量法: ∵ 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), 恒成立 等價(jià)于的最大值()恒成立, 而()是增函數(shù),則 (2)∵當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價(jià)于當(dāng)時(shí) 恒成立 解法三:變更主元法 再等價(jià)于在恒成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問(wèn)題) -2 2 例2:設(shè)函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (Ⅱ)若對(duì)任意的不等式恒成立,求a的取值范圍. (二次函數(shù)區(qū)間最值的例子) 解:(Ⅰ) 3a a a 3a 令得的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a) 令得的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,a)和(3a,+) ∴當(dāng)x=a時(shí),極小值= 當(dāng)x=3a時(shí),極大值=b. (Ⅱ)由||≤a,得:對(duì)任意的恒成立① 則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù) 的對(duì)稱(chēng)軸 (放縮法) 即定義域在對(duì)稱(chēng)軸的右邊,這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題:?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。 上是增函數(shù). (9分) ∴ 于是,對(duì)任意,不等式①恒成立,等價(jià)于 又∴ 點(diǎn)評(píng):重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法:對(duì)稱(chēng)軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系 第三種:構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征:恒成立恒成立;從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型 例3;已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為, (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),求的值域; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。 解:(Ⅰ)∴, 解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 又 ∴的值域是 (Ⅲ)令 思路1:要使恒成立,只需,即分離變量 思路2:二次函數(shù)區(qū)間最值 二、題型一:已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 解法1:轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立, 回歸基礎(chǔ)題型 解法2:利用子區(qū)間(即子集思想);首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集; 做題時(shí)一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”,要弄清楚兩句話的區(qū)別:前者是后者的子集 例4:已知,函數(shù). (Ⅰ)如果函數(shù)是偶函數(shù),求的極大值和極小值; (Ⅱ)如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍. 解:. (Ⅰ)∵ 是偶函數(shù),∴ . 此時(shí),, 令,解得:. 列表如下: (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 可知:的極大值為, 的極小值為. (Ⅱ)∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù), ∴,在給定區(qū)間R上恒成立判別式法 則 解得:. 綜上,的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) (I)求的單調(diào)區(qū)間; (II)若在[0,1]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍。子集思想 (I) 1、 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào),單調(diào)遞增。 2、 a-1 -1 單調(diào)增區(qū)間: 單調(diào)減區(qū)間: (II)當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集: 1、時(shí),單調(diào)遞增 符合題意 2、, 綜上,a的取值范圍是[0,1]。 三、題型二:根的個(gè)數(shù)問(wèn)題 題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點(diǎn)======即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題 解題步驟 第一步:畫(huà)出兩個(gè)圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”; 第二步:由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫(xiě)不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關(guān)系; 第三步:解不等式(組)即可; 例6、已知函數(shù),,且在區(qū)間上為增函數(shù). 求實(shí)數(shù)的取值范圍; 若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解:(1)由題意 ∵在區(qū)間上為增函數(shù), ∴在區(qū)間上恒成立(分離變量法) 即恒成立,又,∴,故∴的取值范圍為 (2)設(shè), 令得或由(1)知, ①當(dāng)時(shí),,在R上遞增,顯然不合題意… ②當(dāng)時(shí),,隨的變化情況如下表: — ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由于,欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),即方程有三個(gè)不同的實(shí)根,故需,即 ∴,解得 綜上,所求的取值范圍為 根的個(gè)數(shù)知道,部分根可求或已知。 例7、已知函數(shù) (1)若是的極值點(diǎn)且的圖像過(guò)原點(diǎn),求的極值; (2)若,在(1)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;否則說(shuō)明理由。高1考1資1源2網(wǎng) 解:(1)∵的圖像過(guò)原點(diǎn),則 , 又∵是的極值點(diǎn),則 -1 (2)設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個(gè)不同交點(diǎn), 等價(jià)于有含的三個(gè)根,即: 整理得: 即:恒有含的三個(gè)不等實(shí)根 (計(jì)算難點(diǎn)來(lái)了:)有含的根, 則必可分解為,故用添項(xiàng)配湊法因式分解, 十字相乘法分解: 恒有含的三個(gè)不等實(shí)根 等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。 題2:切線的條數(shù)問(wèn)題====以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù) 例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值-4,使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為,求:(1)的解析式;(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍. (1)由題意得: ∴在上;在上;在上 因此在處取得極小值 ∴①,②,③ 由①②③聯(lián)立得:,∴ (2)設(shè)切點(diǎn)Q, 過(guò) 令, 求得:,方程有三個(gè)根。 需: 故:;因此所求實(shí)數(shù)的范圍為: 題3:已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù) 解法:根分布或判別式法 例8、 解:函數(shù)的定義域?yàn)椋á瘢┊?dāng)m=4時(shí),f (x)= x3-x2+10x, =x2-7x+10,令 , 解得或. 令 , 解得 可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(5,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為. (Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6, 1 要使函數(shù)y=f (x)在(1,+∞)有兩個(gè)極值點(diǎn),=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞) 根分布問(wèn)題: 則, 解得m>3 例9、已知函數(shù),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍. 解:(1) 當(dāng)時(shí),令解得,令解得, 所以的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí),同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. (2)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn) =0有3個(gè)根,則或, 方程有兩個(gè)非零實(shí)根,所以 或 而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn) 其它例題: 1、(最值問(wèn)題與主元變更法的例子).已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式; (Ⅱ)若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解:(Ⅰ) 令=0,得 因?yàn)?,所以可得下表? 0 + 0 - ↗ 極大 ↘ 因此必為最大值,∴因此, , 即,∴,∴ (Ⅱ)∵,∴等價(jià)于, 令,則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍, 為此只需,即, 解得,所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是[0,1]. 2、(根分布與線性規(guī)劃例子) (1)已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式; (Ⅱ) 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí), 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程. 解: (Ⅰ). 由, 函數(shù)在時(shí)有極值 , ∴ ∵ ∴ 又∵ 在處的切線與直線平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為△ABC的中位線, ∴ 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故這時(shí)直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為△ABC的中位線, ∴所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點(diǎn)為: ∵ , , ∴ 所求直線方程為: 或 3、(根的個(gè)數(shù)問(wèn)題)已知函數(shù)的圖象如圖所示。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)f ( x )的解析式; (Ⅲ)若方程有三個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解:由題知: (Ⅰ)由圖可知 函數(shù)f ( x )的圖像過(guò)點(diǎn)( 0 , 3 ),且= 0 得 (Ⅱ)依題意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 (Ⅲ)依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根,當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3<8a<7a + 3<a<3 所以 當(dāng)<a<3時(shí),方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根?!?12分 4、(根的個(gè)數(shù)問(wèn)題)已知函數(shù) (1)若函數(shù)在處取得極值,且,求的值及的單調(diào)區(qū)間; (2)若,討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 解:(1) ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分 (2)由題得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 當(dāng)即時(shí) - 此時(shí),,,有一個(gè)交點(diǎn);…………………………9分 當(dāng)即時(shí), + — , ∴當(dāng)即時(shí),有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)即時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),,有一個(gè)交點(diǎn).………………………13分 綜上可知,當(dāng)或時(shí),有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn).…………………………………14分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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