2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第11講 函數(shù)與方程練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第11講 函數(shù)與方程練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.考查具體函數(shù)的零點個數(shù)和零點的取值范圍.2.利用函數(shù)零點求解參數(shù)的取值范圍.3.考查函數(shù)零點、方程的根和兩函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)的等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想. 一、函數(shù)零點 1.定義:對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點. 2.函數(shù)零點與方程根的關(guān)系:方程f(x)=0有實根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點. 3.零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0. 對函數(shù)零點的認(rèn)知 (1)并不是所有的函數(shù)都有零點,如函數(shù)f(x)=. (2)函數(shù)的零點不是點,是方程f(x)=0的根. 二、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖象 與x軸的交點 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數(shù) 2 1 0 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零點分布情況 根的分布(m<n<p為常數(shù)) 圖象 滿足的條件 x1<x2<m (兩根都小于m) m<x1<x2 (兩根都大于m) x1<m<x2 (一根大于m,一根小于m) f(m)<0 x1,x2∈(m,n) (兩根位于m,n之間) m<x1<n<x2<p (兩根分別位于m與n,n與p之間) 只有一根在m,n之間 或f(m)f(n)<0 三、二分法 對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法. 1.若函數(shù)f(x)=x2+mx+1有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【解析】 依題意,Δ=m2-4>0,∴m>2或m<-2. 【答案】 C 2.在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為( ) A. B. C. D. 【解析】 顯然f(x)=ex+4x-3的圖象連續(xù)不間斷,又f=-1>0,f=-2<0. ∴由零點存在定理知,f(x)在內(nèi)存在零點. 【答案】 C 3.函數(shù)f(x)=x-x的零點的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=x與y2=x的圖象如圖所示,易知,兩函數(shù)圖象只有一個交點.因此函數(shù)f(x)=x-x只有1個零點. 【答案】 B 4.已知函數(shù)f(x)=x2+x+a在區(qū)間(0,1)上有零點,則實數(shù)a的取值范圍是________. 【解析】 函數(shù)f(x)=x2+x+a在(0,1)上遞增. 由已知條件f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0. 【答案】 (-2,0) 5.(xx重慶高考)若a0,f(b)<0,f(c)>0, ∴f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi). 【答案】 A 6.(xx天津高考)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=x. 設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=x,在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖象,可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點,因此函數(shù)f(x)有2個零點. 【答案】 B 考向一 [031] 函數(shù)零點的求解與判斷 (1)(xx天津高考)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(xx廣州模擬)設(shè)函數(shù)y=x3與y=x-2的圖象的交點為(x0,y0),則x0所在的區(qū)間(端點值為連續(xù)整數(shù)的開區(qū)間)是________. 【思路點撥】 (1)先根據(jù)零點存在性定理證明有零點,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù). (2)畫出兩個函數(shù)的圖象尋找零點所在的區(qū)間. 【嘗試解答】 (1)因為f′(x)=2xln 2+3x2>0,所以函數(shù)f(x)=2x+x3-2在(0,1)上遞增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1個零點. (2)設(shè)f(x)=x3-x-2,則x0是函數(shù)f(x)的零點.在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=x3與y=x-2的圖象,如圖所示. ∵f(1)=1--1=-1<0, f(2)=8-0=7>0 ∴f(1)f(2)<0, ∴x0∈(1,2). 【答案】 (1)B (2)(1,2) 規(guī)律方法1 確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的常用方法,(1)解方程法:當(dāng)對應(yīng)方程f(x)=0易解時,可先解方程,再看求得的根是否落在給定區(qū)間上; (2)利用函數(shù)零點的存在性定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點. (3)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. 對點訓(xùn)練 (1)函數(shù)f(x)=-cos x在[0,+∞)內(nèi)( ) A.沒有零點 B.有且僅有一個零點 C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點 (2)(xx廈門模擬)函數(shù)f(x)=ln(x-2)-的零點所在的大致區(qū)間是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【解析】 (1)令f(x)=-cos x=0,則=cos x,設(shè)函數(shù)y=和y=cos x,在同一坐標(biāo)系下做出它們在[0,+∞)的圖象,顯然兩函數(shù)的圖象的交點有且只有一個,所以函數(shù)f(x)=-cos x在[0,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點. (2)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>2},∴排除A. ∵f(3)=-<0,f(4)=ln 2->0, f(5)=ln 3->0, ∴f(3)f(4)<0,f(4)f(5)>0, ∴函數(shù)f(x)的零點在(3,4)之間,故選C. 【答案】 (1)B (2)C 考向二 [032] 函數(shù)零點的應(yīng)用 已知函數(shù)g(x)=x+(x>0).若g(x)=m有實數(shù)根,求m的取值范圍; 【思路點撥】 可用基本不等式求出最值或數(shù)形結(jié)合法求解. 【嘗試解答】 法一 ∵g(x)=x+≥2=2e,等號成立的條件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需m≥2e,則g(x)=m就有零點. 故當(dāng)g(x)=m有實數(shù)根時,m的取值范圍為[2e,+∞). 法二 作出g(x)=x+(x>0)的大致圖象如圖: 可知若使g(x)=m有零點,則只需m≥2e. 故當(dāng)g(x)=m有實數(shù)根時,m的取值范圍為[2e,+∞). 規(guī)律方法2 已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路,(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決; (3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解. 對點訓(xùn)練 (1)(xx山東省實驗中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) (2)(xx撫順模擬)已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點,則a的取值范圍是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.[-1,0) D.(0,1] 【解析】 (1)由題意可知f(1)f(2)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3. (2)∵當(dāng)x>0時,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=. ∴要使f(x)在R上有兩個零點,則必須2x-a=0在(-∞,0]上有解. 又當(dāng)x∈(-∞,0]時,2x∈(0,1]. 故所求a的取值范圍是(0,1]. 【答案】 (1)C (2)D 思想方法之七 解決方程根問題的一大“利器”——數(shù)形結(jié)合 利用函數(shù)處理方程解的問題,方法如下: (1)方程f(x)=a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y=f(x),x∈I},?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有交點. (2)方程f(x)=a在區(qū)間I上有幾個解?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有幾個交點. 一般地,在探究方程解的個數(shù)或已知解的個數(shù)求參數(shù)的范圍時,常采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,從而可利用數(shù)形結(jié)合的方法給予直觀解答. ——— [1個示范例] ———— [1個對點練] ——— (xx錦州模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]時,f(x)=x,則關(guān)于x的方程f(x)=x在x∈[0,4]上解的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 根據(jù)f(x-1)=f(x+1)可得函數(shù)f(x)的周期為2,根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)以及f(x-1)=f(x+1)可得f(1-x)=f(1+x),所以這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.根據(jù)函數(shù)f(x)在[0,1]上的解析式可以畫出函數(shù)f(x)在[0,4]上的圖象,結(jié)合圖象可得函數(shù)f(x)=x在[0,4]上有4個解. (xx濟南模擬)已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍為( ) A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) 【解析】 畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示, 觀察圖象可知,若方程f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根,則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有3個不同的交點,此時需滿足0<a<1,故選D. 【答案】 D- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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