2019年高考數學大一輪總復習 8.7 立體幾何中的向量方法高效作業(yè) 理 新人教A版.doc
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2019年高考數學大一輪總復習 8.7 立體幾何中的向量方法高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分,在下列四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.已知二面角α-l-β的大小是,m,n是異面直線,且m⊥α,n⊥β,則m,n所成的角為( ) A. B. C. D. 解析:∵m⊥α,n⊥β, ∴異面直線m,n所成的角與二面角α-l-β相等或互補. 又∵異面直線所成角的范圍為(0,], ∴m,n所成的角為. 答案:B 2.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數x,y,z分別為( ) A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 解析:∵⊥, ∴=0,即3+5-2z=0,得z=4, 又BP⊥平面ABC,∴⊥,⊥, 則解得 答案:B 3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為AA1的中點,則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 解析:如圖,以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系. 設AA1=2AB=2,則B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2), ∴=(0,-1,1),=(0,-1,2), ∴cos〈,〉==. 答案:C 4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定 解析:分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.∵A1M=AN=a, ∴M(a,a,),N(a,a,a). ∴=(-,0,a). 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), ∴=(0,a,0). ∴=0.∴⊥. ∵是平面BB1C1C的法向量,且MN?平面BB1C1C, ∴MN∥平面BB1C1C. 答案:B 5.如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為 ( ) A. B. C. D. 解析:如圖,以A為原點建立空間直角坐標系, 則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0), =(a,a,0),=(0,2a,2a), =(a,-a,0). 設平面AGC的法向量為n1=(x1,y1,1), 由?? ?n1=(1,-1,1). sinθ===. 答案:C 6.過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的二面角為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析:建立如圖所示空間直角坐標系,設AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1) 由題意,AD⊥平面ABP,設E為PD的中點,連接AE,則AE⊥PD, 又∵CD⊥平面PAD,∴AE⊥CD, 又PD∩CD=D, ∴AE⊥平面CDP. ∴=(0,1,0),=(0,,) 分別是平面ABP,平面CDP的法向量,而〈,〉=45, ∴平面ABP與平面CDP所成的二面角為45. 答案:B 二、填空題(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上) 7.(xx南通模擬)設平面α與向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β與向量b=(2,3,1)垂直,則平面α與β的位置關系是________. 解析:由題知a,b分別是平面α,β的法向量, 又ab=(-1)2+23+(-4)1=0, ∴a⊥b,∴α⊥β. 答案:垂直 8.正四棱錐S-ABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是________. 解析:如圖,以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz. 設OD=SO=OA=OB=OC=a, 則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-,). 則=(2a,0,0), =(-a,-,), =(a,a,0). 設平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1), 則cos〈,n〉===. ∴〈,n〉=60, ∴直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30. 答案:30 9.如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對角線BD將△ABD折起,使A點在平面BCD內的射影O落在BC邊上,若二面角C-AB-D的大小為θ,則sinθ的值等于________. 解析:由題意可求得BO=,OC=,AO=, 建立空間直角坐標系如圖,則C(,0,0), B(-,0,0),A(0,0,),D(,3,0), =(4,3,0),=(,0,). 設m=(x,y,z)是平面ABD的一個法向量. 則取z=-3,x=7,y=-, 則m=(7,-,-3). 又=(0,3,0)是平面ABC的一個法向量, ∴cos〈m,〉===-, sinθ= =. 答案: 10.(xx臨沂期末)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AA1=2,則二面角C1-AB-C的余弦值為________. 解析:如圖建立空間直角坐標系, 則A(0,0,0),=(0,1,2),=(,,0) 設n=(x,y,z)為平面ABC1的法向量 則 取n=(-,2,-1), 取m=(0,0,1),作為平面ABC的法向量. 則cos〈m,n〉=-=-. ∴二面角C1-AB-C的余弦值為. 答案: 三、解答題(本大題共3小題,共40分,11、12題各13分,13題14分,寫出證明過程或推演步驟) 11.(xx伽師二中二模)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30,平面PAB⊥平面ABC. (1)求證:PA⊥平面PBC; (2)求二面角P-AC-B的余弦值; (3)求異面直線AB和PC所成角的余弦值. 解:由于平面PAB⊥平面ABC,且PA=PB, ∴以AB的中點O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系 ∵PA=PB=,∴AB=2,PO=. 又∠BAC=30,AB⊥BC,∴BC=2, ∴A(0,-,0),P(0,0,),B(0,,0),C(2,,0). (1)證明:∵=(0,-,-),=(2,0,0), ∴=0, ∴PA⊥BC.又∵PA⊥PB,PB∩BC=B, ∴PA⊥平面PBC. (2)作OM⊥AC于點M,連結PM. 又∵PO⊥平面ABC,∴PM⊥AC, ∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角. 在Rt△AMO中,OM=AOsin30==,∴M(,-,0), 從而=(-,,0),=(-,,). ∴cos〈,〉==. (3)∵=(0,2,0),=(2,,-), ∴cos〈,〉==. 12.(xx南昌一模)如圖所示,在底面是矩形的四棱錐,P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2. (1)求證:平面PDC⊥平面PAD; (2)若E是PD的中點,求異面直線AE與PC所成角的余弦值; (3)在BC邊上是否存在一點G,使得D點到平面PAG的距離為1.若存在,求出BG的值;若不存在,請說明理由. 解:如圖所示,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系, 則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),E(0,1,),P(0,0,1). ∴=(-1,0,0),=(0,2,0),=(0,0,1),=(0,1,),=(1,2,-1), (1)證明: ?平面PDC⊥平面PAD. (2)∵cos〈,〉===,∴AE與PC所成角的余弦值為. (3)假設BC邊上存在點G滿足題設條件,令BG=x,則G(1,x,0),作DQ⊥AG, 又∵PA⊥DQ,PA∩AG=A,則DQ⊥平面PAG,即DQ=1. ∵2S△ADG=S矩形ABCD,∴||||=||||=2,∴||=2,又AG=, 則x=<2, 故存在點G,當BG=時,點D到平面PAG的距離為1. 13.(xx延邊質檢)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F為CD的中點. (1)求證:AF∥平面BCE; (2)求證:平面BCE⊥平面CDE; (3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值. 解法一: (1)證明:取CE的中點G,連結FG、BG. ∵F為CD的中點,∴GF∥DE且GF=DE. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又AB=DE,∴GF=AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形,則AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE, ∴AF∥平面BCE. (2)證明:∵△ACD等邊三角形,F為CD的中點, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)在平面CDE內,過F作FH⊥CE于H,連BH. ∵平面BCE⊥平面CDE,∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角. 設AD=DE=2AB=2a, 則FH=CFsin45=a, BF===2a, Rt△FHB中,sin∠FBH==. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為. 解法二:設AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的坐標系A—xyz, 則A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a). ∵F為CD的中點,∴F(a,a,0). (1)證明:=(a,a,0),=(a,a,a),=(2a,0,-a). ∵=(+),AF?平面, ∴AF∥平面BCE. (2)證明:∵=(a,a,0),=(-a,a,0),=(0,0,2a), ∴=0,=0, ∴⊥,⊥. ∴AF⊥平面CDE,又AF∥平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)設平面BCE的法向量為n=(x,y,z), 由n=0,n=0, 可得x+y+z=0,2x-z=0,取n=(1,-,2). 又=(a,a,-a), 設BF和平面BCE所成的角為θ, 則sinθ===. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.- 配套講稿:
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