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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第8節(jié) 曲線與方程 理(含解析)
1.(xx廣東,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為(,0),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.
解:(1)依題意得,c=,e==,因此a=3,b2=a2-c2=4,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.
(2)若兩切線的斜率均存在,設(shè)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程是y=k(x-x0)+y0,
則由得+=1,
即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(x-9)k2-2x0y0k+y-4=0.
又所引的兩條切線相互垂直,設(shè)兩切線的斜率分別為k1,k2,于是有k1k2=-1,即=-1,即x+y=13(x0≠3).
若兩切線中有一條斜率不存在,則易得或或或經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足x+y=13.
因此,動點(diǎn)P(x0,y0)的軌跡方程是x2+y2=13.
2.(xx湖北,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(-2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)、三個公共點(diǎn)時k的相應(yīng)取值范圍.
解:(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,
化簡整理得y2=2(|x|+x).
故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=
(2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).
依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2).
由方程組
可得ky2-4y+4(2k+1)=0. ①
(ⅰ)當(dāng)k=0時,此時y=1.
把y=1代入軌跡C的方程,得x=.
故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn).
(ⅱ)當(dāng)k≠0時,方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1).?、?
設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.?、?
a.若由②③解得k<-1或k>.
即當(dāng)k∈(-∞,-1)∪時,直線l與C1沒有公共點(diǎn),與C2有一個公共點(diǎn),故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn).
b.若或由②③解得k∈,或-≤k<0.
即當(dāng)k∈時,直線l與C1只有一個公共點(diǎn),與C2有一個公共點(diǎn).
當(dāng)k∈時,直線l與C1有兩個公共點(diǎn),與C2沒有公共點(diǎn).
故當(dāng)k∈∪時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點(diǎn).
c.若由②③解得-1
0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線,所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
將①②代入③,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此時Δ>0,
∴直線l的方程為y=k(x-1),
∴直線l過定點(diǎn)(1,0).
4.(xx四川,13分)已知橢圓C:+=1,(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且=+,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
解:本題考查橢圓的定義、離心率,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及軌跡方程等知識,意在考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,考查考生的運(yùn)算求解能力.
(1)由橢圓定義知,
2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=.
又由已知,c=1,
所以橢圓C的離心率e===.
(2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).
①當(dāng)直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),
此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2.
因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則|AM|2=(1+k2)x,|AN|2=(1+k2)x.
又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.
由=+,得
=+,即
=+=. ①
將y=kx+2代入+y2=1中,得
(2k2+1)x2+8kx+6=0.?、?
由Δ=(8k)2-4(2k2+1)6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=,
代入①中并化簡,得
x2=. ③
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上,所以k=,代入③中并化簡,得10(y-2)2-3x2=18.
由③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.
又滿足10(y-2)2-3x2=18,故x∈.
由題意,Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以-1≤y≤1,
又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)2∈[,),且-1≤y≤1,則y∈.
所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.
5.(2011北京,5分)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個結(jié)論:
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn);
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱;
③若點(diǎn)P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2.
其中,所有正確結(jié)論的序號是____.
解析:因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個定點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1,而a>1,所以曲線C不過原點(diǎn),即①錯誤;因?yàn)镕1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以|PF1||PF2|=a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱,即②正確;因?yàn)镾△F1PF2=|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|=a2,即面積不大于a2,所以③正確.
答案:②③
6.(xx湖南,13分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2:(x-5)2+y2=9外,且對C1上任意一點(diǎn)M,M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.
(1)求曲線C1的方程;
(2)設(shè)P(x0,y0)(y0≠3)為圓C2外一點(diǎn),過P作圓C2的兩條切線,分別與曲線C1相交于點(diǎn)A,B和C,D.證明:當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動時,四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值.
解:(1)法一:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知得|x+2|=-3.
易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x=-2的右側(cè),于是x+2>0,所以=x+5.
化簡得曲線C1的方程為y2=20x.
法二:由題設(shè)知,曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線x=-5的距離.因此,曲線C1是以(5,0)為焦點(diǎn),直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線.故其方程為y2=20x.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動時,P的坐標(biāo)為(-4,y0),又y0≠3,則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點(diǎn),切線方程為y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0.于是=3.
整理得72k2+18y0k+y-9=0.①
設(shè)過P所作的兩條切線PA,PC的斜率分別為k1,k2,則k1,k2是方程①的兩個實(shí)根,故
k1+k2=-=-. ②
由得
k1y2-20y+20(y0+4k1)=0. ③
設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3,y4,則y1,y2是方程③的兩個實(shí)根,所以
y1y2=. ④
同理可得y3y4=. ⑤
于是由②,④,⑤三式得
y1y2y3y4=
=
==6 400.
所以,當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動時,四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6 400.
7.(xx遼寧,12分)如圖,橢圓C0:+=1(a>b>0,a,b為常數(shù)),動圓C1:x2+y2=t12,b1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點(diǎn),且l1⊥l2,求h的值.
解:(1)由題設(shè)知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),則有直線A1P的方程為y=(x+),①
直線A2Q的方程為y=(x-).②
法一:聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x=,y=,即x1=,y1=,③
則x≠0,|x|<.
而點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線-y2=1上,
∴-y=1.
將③代入上式,整理得所求軌跡E的方程為
+y2=1,x≠0且x≠.
法二:設(shè)點(diǎn)M(x,y)是A1P與A2Q的交點(diǎn),①②得
y2=(x2-2).③
又點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線上,因此
-y=1,
即y=-1.代入③式整理得
+y2=1.
因?yàn)辄c(diǎn)P,Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn),所以它們與點(diǎn)A1,A2均不重合.
故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.
過點(diǎn)(0,1)及A2(,0)的直線l的方程為x+y-=0.
解方程組得x=,y=0.
所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A2.
故軌跡E不經(jīng)過點(diǎn)(0,1).
同理軌跡E也不經(jīng)過點(diǎn)(0,-1).
綜上分析,軌跡E的方程為
+y2=1,x≠0且x≠.
(2)設(shè)過點(diǎn)H(0,h)的直線為y=kx+h(h>1),
聯(lián)立+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.
令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0得h2-1-2k2=0,
解得k1= ,k2=-.
由于l1⊥l2,則k1k2=-=-1,故h=.
過點(diǎn)A1,A2分別引直線l1,l2通過y軸上的點(diǎn)H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,
由(-)=-1,得h=.此時,
l1,l2的方程分別為y=x+與y=-x+,
它們與軌跡E分別僅有一個交點(diǎn)(-,)與(,).
所以,符合條件的h的值為或.
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