2019-2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第32講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題練習(xí) 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第32講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值(或取值范圍).2.考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍.3.利用線(xiàn)性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)解決實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)方案． 一、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及其判斷方法 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0分成三類(lèi)： (1)滿(mǎn)足Ax＋By＋C＝0的點(diǎn)； (2)滿(mǎn)足Ax＋By＋C>0的點(diǎn)； (3)滿(mǎn)足Ax＋By＋C<0的點(diǎn)． 2．二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法 直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線(xiàn)l上的點(diǎn)分為兩部分，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)l的同一側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符號(hào)，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)l的兩側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)使Ax＋By＋C的值具有相反的符號(hào)． 二、線(xiàn)性規(guī)劃中的基本概念 名稱(chēng) 意義 線(xiàn)性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題 二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值同直線(xiàn)z－ax－by＝0在y軸上截距的關(guān)系 求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其幾何意義，通過(guò)求y＝－x＋的截距的最值間接求出z的最值． (1)當(dāng)b＞0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值． (2)當(dāng)b＜0時(shí)，結(jié)論與b＞0的情形恰好相反． 1．不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 【解析】　x－3y＋6≥0表示直線(xiàn)x－3y＋6＝0及左下方部分，x－y＋2<0表示直線(xiàn)x－y＋2＝0右上方部分． 故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B所示部分． 【答案】　B 2．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝3x＋y的最大值為(　　) A．12　　　B．11　　　C．3　　　D．－1 【解析】　可行域如圖中陰影部分所示．先畫(huà)出直線(xiàn)l0：y＝－3x，平移直線(xiàn)l0，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)A點(diǎn)時(shí)z＝3x＋y的值最大， 由得 ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)．∴z最大＝33＋2＝11. 【答案】　B 3．某加工廠用某原料由甲車(chē)間加工出A產(chǎn)品，由乙車(chē)間加工出B產(chǎn)品．甲車(chē)間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元．乙車(chē)間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車(chē)間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車(chē)間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò)480小時(shí)，甲、乙兩車(chē)間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為(　　) A．甲車(chē)間加工原料10箱，乙車(chē)間加工原料60箱 B．甲車(chē)間加工原料15箱，乙車(chē)間加工原料55箱 C．甲車(chē)間加工原料18箱，乙車(chē)間加工原料50箱 D．甲車(chē)間加工原料40箱，乙車(chē)間加工原料30箱 【解析】　設(shè)甲車(chē)間加工原料x(chóng)箱，乙車(chē)間加工原料y箱，則，甲、乙兩車(chē)間每天能夠獲得的利潤(rùn)為280x＋200y，畫(huà)出可行域，由線(xiàn)性規(guī)劃可知當(dāng)直線(xiàn)z＝280x＋200y經(jīng)過(guò)x＋y＝70與10x＋6y＝480的交點(diǎn)(15,55)時(shí)，z＝280x＋200y取到最大值，因此，甲車(chē)間加工原料15箱，乙車(chē)間加工原料55箱時(shí)，每天能夠獲得的利潤(rùn)最大． 【答案】　B 4．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是________． 【解析】　不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 由得A(1，－1)， 由得B(1，－3)， 由得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝21＝1. 【答案】　1 5．(xx福建高考)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝2x＋y的最大值和最小值分別為(　　) A．4和3　　　　　　 B．4和2 C．3和2 D．2和0 【解析】　作出可行域如圖陰影部分． 作直線(xiàn)2x＋y＝0，并向右上平移，過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取最小值，過(guò)點(diǎn)B時(shí)z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)， ∴zmin＝2，zmax＝4. 【答案】　B 6．(xx山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)OM斜率的最小值為(　　) A．2 B．1 C．－ D．－ 【解析】　如圖所示，所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分． 由 得A(3，－1)． 當(dāng)M點(diǎn)與A重合時(shí)，OM的斜率最小，kOM＝－. 【答案】　C 考向一 [109]　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 　(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A．4　　　　B．1　　　　C．5　　　　D．6 (2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(　　) A. B. C. D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，確定平面區(qū)域的形狀，從而求出面積． (2)畫(huà)出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖形尋找直線(xiàn)平分平面區(qū)域面積的條件即可． 【嘗試解答】　(1)不等式組表示的 平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝(2－1)2＝1. (2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示． 由于直線(xiàn)y＝kx＋過(guò)定點(diǎn).因此只有直線(xiàn)過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)y＝kx＋能平分平面區(qū)域． 因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D. 當(dāng)y＝kx＋過(guò)點(diǎn)時(shí)，＝＋， 所以k＝. 【答案】　(1)B　(2)A 規(guī)律方法1　1.解答本例(2)的關(guān)鍵是根據(jù)直線(xiàn)y＝kx＋過(guò)定點(diǎn)，利用面積相等確定直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的邊界上的點(diǎn). 2.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判定方法： (1)同號(hào)上，異號(hào)下.當(dāng)B(Ax＋By＋C)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)Ax＋By＋C＝0的上方，當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)Ax＋By＋C＝0的下方. (2)直線(xiàn)定界、特殊點(diǎn)定域.應(yīng)注意是否包括邊界，若不包括邊界，則應(yīng)將邊界畫(huà)成虛線(xiàn)；若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為(　　) A．1　　　B．－3　　　C．1或－3　　　D．0 【解析】　其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面，直線(xiàn)kx－y＋2＝0又過(guò)定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個(gè)封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解． 平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線(xiàn)方程，得k＝1. 【答案】　A 考向二 [110]　求目標(biāo)函數(shù)的最值 　(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ改編)設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件 (1)求z＝2x－y的最大值． (2)若z＝，求z的取值范圍． 【思路點(diǎn)撥】　明確目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找最優(yōu)解，代入求值． 【嘗試解答】　(1)作出可行域，進(jìn)一步探索最大值． 作出可行域如圖陰影部分． 作直線(xiàn)2x－y＝0，并向右平移，當(dāng)平移至直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z＝2x－y取最大值． 而由得B(3,3)． ∴zmax＝23－3＝3. (2)z＝表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，觀察可行域知，可行域內(nèi)的點(diǎn)A和點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離分別為最大和最?。? 又由得A(1,1)． 由得C(3,4)． 故|OA|＝＝， |OC|＝＝5. ∴z的取值范圍為[，5]． 　 　 　 規(guī)律方法2　1.本例求解的關(guān)鍵在于：(1)準(zhǔn)確作出可行域；(2)明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義. 2.(1)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by的幾何意義與直線(xiàn)ax＋by－z＝0在y軸上的截距有關(guān)，當(dāng)b＞0時(shí)，直線(xiàn)ax＋by－z＝0在y軸上的截距越大，z值越大；當(dāng)b＜0時(shí)，情況相反. (2)常見(jiàn)的非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線(xiàn)的斜率；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是______． 【解析】　作不等式組表示的可行域，如圖所示， 作直線(xiàn)l0：3x－y＝0，并上下平移． 當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)，z分別取得最大值、最小值．由得A(2,0)． 由得點(diǎn)B， ∴zmax＝32－0＝6，zmin＝3－3＝－. 故z的取值范圍是. 【答案】　 考向三 [111]　線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力、煤和電耗如下表： 產(chǎn)品品種 勞動(dòng)力(個(gè)) 煤(噸) 電(千瓦) A產(chǎn)品 3 9 4 B產(chǎn)品 10 4 5 已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤(rùn)是7萬(wàn)元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬(wàn)元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問(wèn)該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤(rùn)？ 【思路點(diǎn)撥】　題目的設(shè)問(wèn)是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤(rùn)”，這個(gè)利潤(rùn)是由兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)所決定的，因此A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤(rùn)，故可以設(shè)出A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標(biāo)函數(shù)． 【嘗試解答】　設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤(rùn)為z萬(wàn)元，依題意，得 目標(biāo)函數(shù)為z＝7x＋12y. 作出可行域，如圖陰影所示． 當(dāng)直線(xiàn)7x＋12y＝0向右上方平行移動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)M時(shí)z取最大值． 解方程組得 因此，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)． ∴該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)． 規(guī)律方法3　1.求解本例的關(guān)鍵是找出線(xiàn)性約束條件，寫(xiě)出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.為尋找各量之間的關(guān)系，最好是列出表格. 2.解線(xiàn)性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線(xiàn)性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價(jià) 黃瓜 4噸 1.2萬(wàn)元 0.55萬(wàn)元 韭菜 6噸 0.9萬(wàn)元 0.3萬(wàn)元 為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷(xiāo)售收入－總種植成本)最大，求黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別是多少畝？ 【解】 　設(shè)種植黃瓜x(chóng)畝，韭菜y畝，由題意得 即 設(shè)總利潤(rùn)為z，則z＝x＋0.9y. 作可行域如圖所示， 由得A(30,20)． 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線(xiàn)l向右平移，移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時(shí)，種植總利潤(rùn)最大． ∴黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時(shí)，一年種植的總利潤(rùn)最大． 思想方法之十五　數(shù)形結(jié)合破解線(xiàn)性規(guī)劃中參變量問(wèn)題 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，從圖形上找思路恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 含參變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，其參變量的設(shè)置形式通常有以下兩種： (1)條件中的參變量：條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時(shí)畫(huà)圖分析的難度．求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要有全局觀念，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向． (2)目標(biāo)函數(shù)中的參變量：目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參變量，旨在增加探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性．從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)進(jìn)行分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量準(zhǔn)確定位，這是求解這類(lèi)問(wèn)題的主要思維方法． ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　———— 　　　(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知a＞0，x，y滿(mǎn)足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 【解析】　作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)． 易知直線(xiàn)z＝2x＋y過(guò)交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值， 由 得 ∴zmin＝2－2a＝1， 解得a＝，故選B. (xx大綱全國(guó)卷)記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線(xiàn)y＝a(x＋1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 【解析】　直線(xiàn)y＝a(x＋1)恒過(guò)定點(diǎn)P(－1,0)且斜率為a，作出可行域后數(shù)形結(jié)合可解． 不等式組所表示的平面區(qū)域D為如圖所示陰影部分(含邊界)，且A(1,1)，B(0,4)，C. 直線(xiàn)y＝a(x＋1)恒過(guò)定點(diǎn)P(－1,0)且斜率為a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直線(xiàn)y＝a(x＋1)與區(qū)域D有公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得≤a≤4. 【答案】