2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 10.1 橢圓高效作業(yè) 理 新人教A版.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 10.1 橢圓高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分,在下列四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(xx北京朝陽期末)已知a為正常數(shù),F(xiàn)1,F(xiàn)2是兩個定點(diǎn),且|F1F2|=2a(a是正常數(shù)),動點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=a2+1,則動點(diǎn)P的軌跡是( ) A.橢圓 B.線段 C.橢圓或線段 D.直線 解析:因?yàn)閍2+1≥2a(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,等號成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.當(dāng)a≠1時,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此時動點(diǎn)P的軌跡是橢圓;當(dāng)a=1時,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此時動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2,因此應(yīng)選C. 答案:C 2.(xx深圳二模)已知點(diǎn)M(,0),橢圓+y2=1與直線y=k(x+)交于點(diǎn)A、B,則△ABM的周長為( ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析:直線y=k(x+)過定點(diǎn)N(-,0),而M、N恰為橢圓+y2=1的兩個焦點(diǎn),由橢圓定義知△ABM的周長為4a=42=8,故選B. 答案:B 3.(xx德州二模)方程+=10,化簡的結(jié)果是( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:方程+=10表示的是動點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(0,-3)與(0,3)距離之和為10,根據(jù)橢圓的定義,可得化簡的結(jié)果是+=1,故選C. 答案:C 4.(xx浙江)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是( ) A. B. C. D. 解析:設(shè)|AF1|=m,|AF2|=n,則有m+n=4,m2+n2=12,因此12+2mn=16,∴mn=2;而(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8,因此雙曲線的a=,c=,則有e==. 答案:D 5.(xx韶關(guān)調(diào)研)橢圓M:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點(diǎn),且最大值的取值范圍是[c2,3c2],其中c=,則橢圓M的離心率e的取值范圍是( ) A.[,] B.[,] C.[,1] D.[,1] 解析:設(shè)與的夾角為θ,由于=||||cosθ≤||||,與的夾角為0時取“=”. 所以的最大值為(a+c)(a-c), 因此c2≤a2-c2≤3c2,所以e2≤1-e2≤3e2.又e∈(0,1), 所以e∈[,].故選B. 答案:B 6.(xx漢中一模)若橢圓的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上的一個動點(diǎn),如果延長F1P到Q點(diǎn),使得|PQ|=|F2P|,那么動點(diǎn)Q的軌跡是( ) A.圓 B.橢圓 C.直線 D.點(diǎn) 解析:因|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以Q點(diǎn)的軌跡是以F1為圓心,2a為半徑的圓,故選A. 答案:A 二、填空題(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上) 7.(xx遼寧)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,則C的離心率e=________. 解析:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,三角形ABF中由余弦定理可得|BF|=8,所以△ABF為直角三角形,又因?yàn)樾边匒B的中點(diǎn)為O,所以|OF|=c=5,連接AF1,因?yàn)锳,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以離心率e=. 答案: 8.(xx德陽聯(lián)考)橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn).今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計)從點(diǎn)A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時,小球經(jīng)過的路程是________. 解析:設(shè)靠近A的長軸端點(diǎn)為M,另一長軸的端點(diǎn)為N.若小球沿AM方向運(yùn)動,則路程應(yīng)為2(a-c);若小球沿AN方向運(yùn)動,則路程為2(a+c);若小球不沿AM與AN方向運(yùn)動,則路程應(yīng)為4a. 答案:4a或2(a-c)或2(a+c) 9.(xx四川模擬)橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B.當(dāng)△FAB的周長最大時,△FAB的面積是________. 解析:依題意得知,點(diǎn)F(-1,0),不妨設(shè)點(diǎn)A(2cos θ,sin θ)(sin θ>0),則有B(2cos θ,-sin θ),|FA|=|FB|==2+cos θ,|AB|=2sin θ,|FA|+|FB|+|AB|=4+2cos θ+2sin θ=4+4sin(θ+),當(dāng)θ+=2kπ+,k∈Z,即θ=2kπ+,k∈Z,2cos θ=1,sin θ=時,△FAB的周長最大,此時△FAB的面積等于(1+1)3=3. 答案:3 10.(xx福建)橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________. 解析:∠MF1F2是直線的傾斜角,所以∠MF1F2=60,∠MF2F1=30,所以△MF2F1是直角三角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=c,所以e====-1. 答案:-1 三、解答題(本大題共3小題,共40分,11、12題各13分,13題14分,寫出證明過程或推演步驟) 11.(xx陜西模擬)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率. (1)求橢圓C2的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程. 解:(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為+=1(a>2),其離心率為,故=,則a=4, 故橢圓C2的方程為+=1. (2)解法一:A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB), 由=2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上, 因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx. 將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4, 所以x=, 將y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16, 所以x=, 又由=2,得x=4x,即=, 解得k=1,故直線AB的方程為y=x或y=-x. 解法二:A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx. 將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4, 所以x=, 由=2,得x=,y=, 將x,y代入+=1中,得=1, 即4+k2=1+4k2, 解得k=1,故直線AB的方程為y=x或y=-x. 12.(xx濱州質(zhì)檢)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P,交x軸正半軸于點(diǎn)Q,且=. (1)求橢圓C的離心率; (2)若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x+y-5=0相切,求橢圓C的方程. 解:(1)設(shè)Q(x0,0)(x0>0),由F(-c,0),A(0,b)知=(c,b),=(x0,-b). ∵⊥,∴cx0-b2=0,x0=, 設(shè)P(x1,y1),由=,得x1=,y1=b. 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以+=1. 整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,2e2+3e-2=0,又e∈(0,1), 故橢圓的離心率e=. (2)由(1)知2b2=3ac,得=a;又=,得c=a,于是F(-a,0),Q(a,0). △AQF的外接圓圓心為(a,0),半徑r=|FQ|=a, 所以=a,解得a=2, ∴c=1,b=,所求橢圓方程為+=1. 13.(xx綿陽診斷)設(shè)F1、F2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右兩個焦點(diǎn). (1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo); (2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程; (3)若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時. 求證:kPMkPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值. 解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4, 得2a=4,即a=2. 又點(diǎn)A(1,)在橢圓上, 因此+=1 得b2=3,于是c2=1. 所以橢圓C的方程為+=1, 焦點(diǎn)為:F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). (2)設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足:x=,y=,即x1=2x+1,y1=2y. 因此+=1. 即(x+)2+=1為所求的軌跡方程. (3)證明:設(shè)點(diǎn)M(m,n)是橢圓+=1① 上的任一點(diǎn),N(-m,-n)是M關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱點(diǎn),則+=1② 又設(shè)P(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),且kPMkPN存在. 則kPM=,kPN=, ∴kPMkPN==. ①-②得+=0,=-,∴kPMkPN=-. 故kPMkPN是與P的位置無關(guān)的定值.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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