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2019-2020年高考數學 2.9 函數模型及其應用練習
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(xx中山模擬)物價上漲是當前的主要話題,特別是菜價,我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價,提出四種綠色運輸方案.據預測,這四種方案均能在規(guī)定的時間T內完成預測的運輸任務Q0,各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示,在這四種方案中,運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是( )
【解析】選B.由題知運輸效率即,即相當于圖象上的點(t,Q)與原點連線的斜率,即連線斜率逐步提高.由題知選項A,效率不變,選項C逐步減小,選項D先減小,再增大,選項B為逐步提高,故選B.
2.(xx嘉興模擬)某汽車運輸公司,購買了一批豪華大客車投入客運,據市場分析,每輛客車營運總利潤y(萬元)與營運年數x的關系如圖所示(近似拋物線的一段),則每輛客車營運多少年使其營運年平均利潤最大( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】選C.求得:y=-(x-6)2+11,
所以有最大值2,此時x=5.
3.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同,假定保鮮時間與儲藏溫度的關系為指數型函數y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鮮時間約為100 h,在5℃的冰箱中,保鮮時間約為80 h,那么在10℃時保鮮時間約為( )
A.49 h B.56 h C.64 h D.72 h
【解析】選C.由得k=100,a5=,所以當10℃時,保鮮時間為100a10=100()2=64(h),故選C.
4.(xx天津模擬)國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下:年收入在280萬元及以下的稅率為p%,超過280萬元的部分按(p+2)%征稅,有一公司的實際繳稅比例為(p+0.25)%,則該公司的年收入是( )
A.560萬元 B.420萬元
C.350萬元 D.320萬元
【思路點撥】設年收入為x,構建分段函數模型求解.
【解析】選D.設該公司的年收入為x,納稅額為y,
則由題意,得
y=
依題意有,
=(p+0.25)%,解之得x=320(萬元).
【加固訓練】(xx張家界模擬)由于電子技術的飛速發(fā)展,計算機的成本不斷降低,若每隔5年計算機的價格降低,現(xiàn)在價格為8 100元的計算機經過15年價格應降為( )
A. 2 000元 B. 2 400元
C. 2 800元 D. 3 000元
【解析】選B.設經過3個5年,產品價格為y元,則y=8 100(1-)3=2 400.
5.圖形M(如圖所示)是由底為1,高為1的等腰三角形及高為2和3的兩個矩形所構成,函數S=S(a)(a≥0)是圖形M介于平行線y=0及y=a之間的那一部分面積,則函數S(a)的圖象大致是( )
【解析】選C.依題意,當0≤a≤1時,
當1
3時,S(a)= +2+3=,于是
S(a)=
由解析式可知選C.
【一題多解】本題還可以采用如下方法
選C.直線y=a在[0,1]上平移時S(a)的變化量越來越小,故可排除選項A,B.而直線y=a在[1,2]上平移時S(a)的變化量比在[2,3]上的變化量大,故可排除選項D.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.(xx漳州模擬)有一批材料可以建成200 m長的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣材料隔成三個面積相等的小矩形(如圖所示),則圍成場地的最大面積為 (圍墻厚度不計).
【解題提示】根據題目中條件,建立二次函數模型,采用配方法求最高值即可.
【解析】設矩形場地的寬度為x m,則矩形場地的長為(200-4x)m,面積S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故當x=25時,S取得最大值2 500,即圍成場地的最大面積為2 500 m2.
答案:2 500 m2
7.某單位“五一”期間組團包機去上海旅游,其中旅行社的包機費為30 000元,旅游團中的每人的飛機票按以下方式與旅行社結算:若旅游團中的人數在30或30以下,飛機票每張收費1 800元.若旅游團的人數多于30人,則給以優(yōu)惠,每多1人,機票費每張減少20元,但旅游團的人數最多有75人,那么旅游團的人數為 人時,旅行社獲得的利潤最大.
【解析】設旅游團的人數為x人,飛機票為y元,利潤為Q元,依題意,
①當1≤x≤30時,y =1 800元,此時利潤Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此時最大值是當x=30時,Qmax=1 80030-30 000=24 000(元);
②當300且a≠1)圖象的一部分.根據專家研究,當注意力指數p大于等于80時聽課效果最佳.
(1)試求p=f(t)的函數關系式.
(2)老師在什么時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳?請說明理由.
【解析】(1)t∈(0,14]時,
設p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將(14,81)代入得c=-,t∈(0,14]時,p=f(t)=
-(t-12)2+82;t∈[14,40]時,將(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=,
所以p=f(t)=
(2)t∈(0,14]時,由-(t-12)2+82≥80,
解得12-2≤t≤12+2,
所以t∈[12-2,14],
t∈(14,40]時,由log(t-5)+83≥80,解得52).
(2)因為x>2,所以225x+=10 800,
所以y=225x+ -360≥10 440.當且僅當225x=時,等號成立.
即當x=24 m時,修建圍墻的總費用最小,最小總費用是10 440元.
(20分鐘 40分)
1.(5分)已知一容器中有A,B兩種菌,且在任何時刻A,B兩種菌的個數乘積為定值1010,為了簡單起見,科學家用PA=lg(nA)來記錄A菌個數的資料,其中nA為A菌的個數,則下列判斷中正確的個數為( )
①PA≥1;
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個數比昨天的A菌個數多了10個;
③假設科學家將B菌個數控制為5萬個,則此時52)米,
由得|AM|=,
所以S矩形AMPN=|AN||AM|=.
(1)由S矩形AMPN>32,得>32,
又x>2,于是3x2-32x+64>0,
解得28,
即AN長的取值范圍為(2, )∪(8,+∞).
(2)S矩形AMPN=
==24,當且僅當3(x-2)=,
即x=4時,y=取得最小值24.
所以當AN=4米時,矩形AMPN的面積最小,最小為24平方米.
5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數f(x)與時刻x(時)的關系為f(x)=,x∈[0,24],其中a是與氣象有關的參數,且a∈[0,1],若用每天f(x)的最大值作為當天的綜合放射性污染指數,并記作M(a).
(1)令t=,x∈[0,24],求t的取值范圍.
(2)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數不得超過2,試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標?
【解析】(1)當x=0時,t=0;
當00,即-2n2+40n-72>0,解得2
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2019-2020年高考數學
2.9
函數模型及其應用練習
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