2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十講 直線與圓.doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十講 直線與圓 直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形，既可從直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定，也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來(lái)考察． 討論直線與圓的位置關(guān)系的重點(diǎn)是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長(zhǎng)定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識(shí)，這些豐富的知識(shí)對(duì)應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論： 注： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點(diǎn)． 【例題求解】 【例1】 如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長(zhǎng)為 ． 思路點(diǎn)撥 從C點(diǎn)看，可用切線長(zhǎng)定理，從E點(diǎn)看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑． 注：連結(jié)圓心與切點(diǎn)是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用． 【例2】 如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是( ) A．65 B．115 C．60和115 D．130和50 思路點(diǎn)撥 略 【例3】 如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線． 問(wèn)：(1)若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切? 思路點(diǎn)撥 (1)是結(jié)論探索題，(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫(huà)圖，方能求解． 【例4】 如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)． (1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)； (2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)P能作為直角頂點(diǎn)，建立一個(gè)研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點(diǎn)就是符合要求的點(diǎn)P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍． 注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見(jiàn)問(wèn)題，判定的基本方法有： (1)從直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)入手； (2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直； (3)運(yùn)用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑． 一個(gè)圓的問(wèn)題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進(jìn)而可得不同的證法，對(duì)于分層次設(shè)問(wèn)的問(wèn)題，需整體考慮； 【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)． （1）當(dāng)∠DEF=45時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； （2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域； （3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由． 思路點(diǎn)撥 圖中有多條⊙B的切線，由切線長(zhǎng)定理可得多對(duì)等長(zhǎng)線段，這是解(1)、(2)問(wèn)的基礎(chǔ)，對(duì)于(3)，由(2)求出的值，確定E點(diǎn)位置，這是解題的關(guān)鍵． 注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識(shí)，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互 助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=， FM=，那么△PMB的周長(zhǎng)為 ． 2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)，則 ∠ACB= ． 3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠F=46，∠DCF=32，則∠A的度數(shù)是 ． 4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是 ． 5．、表示直線，給出下列四個(gè)論斷：①∥；②切⊙O于點(diǎn)A；③切⊙O于點(diǎn)B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為( ) 1 B．2 C．3 D．4 6．如圖，圓心O在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線BD上，⊙O過(guò)B點(diǎn)且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是( ) A． B． C． D． 7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AD+BC下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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