2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)14 空間幾何體的內(nèi)切球、外接球庖丁解題 新人教A版必修2.doc
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考點(diǎn)14 空間幾何體的內(nèi)切球、外接球 近年來在高考中經(jīng)常有多面體與球的切與接的問題,充分體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力,運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想的考查,題目難度為中等或偏難.為了便于學(xué)習(xí)和掌握此類問題的求解方法,下面結(jié)合高考題進(jìn)行了以下歸納: 類型一 求多面體與內(nèi)切球或外接球的表面積和體積 類型二 多面體的內(nèi)切球或外接球的最值問題 【例】一個正方體內(nèi)接于球,過球心作一截面,如圖所示,則截面可能的圖形是( ) A.(1) (3) B.(2)(4) C.(1) (2) (3) D.(2) (3) (4) 【答案】C 【思路歸納】解決此類問題,必須多觀察幾何體,提高空間想象力. 1.一個正方體的體積是8,則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是( ) A.8π B.6π C.4π D.π 【答案】C 【解析】設(shè)正方體的棱長為a,則a3=8,即a=2.故該正方體的內(nèi)切球的半徑r=1,所以該正方體的內(nèi)切球的表面積S=4πr2=4π. 【解題技巧】與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,可作出合適的截面圖. 2.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長都為,頂點(diǎn)都在一個球面上,則該球的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知,該三棱柱為正三棱柱,且側(cè)棱與底面邊長相等,均為 a. 【規(guī)律方法】已知幾何體的結(jié)構(gòu)特征求其內(nèi)切球或外接球的表面積與體積,關(guān)鍵是正確分析已知幾何體的各項(xiàng)數(shù)據(jù),從中推導(dǎo)出其內(nèi)切球或外接球的半徑再代入公式即可. 3.已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱的高為2,這個球的表面積為6π,則這個正四棱柱的體積為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】S表=4πR2=6π,所以R=.設(shè)正四棱柱底面邊長為x,則2+1=R2,所以x=1.所以V正四棱柱=2.故選B. 4.已知一個表面積為24的正方體,設(shè)有一個與每條棱都相切的球,則此球的體積為( ) A. B.4π C. D. 【答案】D 5.已知三棱錐S—ABC的各頂點(diǎn)都在一個半徑為r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=,則球的體積與三棱錐體積之比是( ) A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】D 【解析】由題意得SO=r為三棱錐的高,△ABC是等腰直角三角形,所以其面積是2rr=r2,所以三棱錐體積是,又球的體積為,則球的體積與三棱錐體積之比是4π. 6.如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為( ) A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3 【答案】A 【解析】設(shè)球的半徑為R,則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4,球心到截面圓的距離為R-2,則,解得R=5,∴球的體積為=,故選A. 【解題技巧】分清球被正方體上面所截得的圓的半徑為R,然后再求出這個圓的圓心到球的對應(yīng)頂點(diǎn)的距離,最后在球心、圓心、球的頂點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形中運(yùn)用勾股定理求球體的半徑. 7.已知正方體的棱長為a,分別求出它的內(nèi)切球、外接球及與各棱都相切的球半徑. (2R)2=(a)2+a2?R=a. (3)與正方體的各棱均相切的球與正方體相連結(jié)的點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn),應(yīng)作出經(jīng)過正方體一組平行棱中點(diǎn)的截面,則球的軸截面是其正方形截面的外接圓,如圖(3)所示,易求得球的半徑為a. 1.表面積為16π的球的內(nèi)接正方體的體積為( ) A.8 B.24 C. D.16 【答案】C 【解析】設(shè)表面積為16π的球的半徑為r,則4πr2=16π,解得r=2.設(shè)內(nèi)接正方體的棱長為a,則a=2r,所以a=.所以內(nèi)接正方體的體積V=a3=. 2.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( ) A.4π B. C.6π D. 【答案】B 【解析】由題意知,底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4.三棱柱的高為3,所以球的最大直徑為3,V的最大值為. 3.面積為的正六邊形的六個頂點(diǎn)都在球的球面上,球心到正六邊形所在平面的距離為 ,記球的體積為,球的表面積為,則的值是( ) A. B. C. D. 4.某四面體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形,則此四面體的外接球的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】A 黃海明珠 煙臺黃海游樂城中的海水中一個巨大的球形建筑,高30米,直徑21.8米,由不銹鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)筑成,叫做“黃海明珠”,球內(nèi)共分六層,主要以游客餐飲娛樂為主 .- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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