線性代數(shù)之第5章.特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化.ppt

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第5章特征值和特征向量、矩陣的對(duì)角化,第5章特征值和特征向量、矩陣的對(duì)角化,矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣矩陣可對(duì)角化的條件實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量定義：設(shè)A為復(fù)數(shù)C上的n階矩陣，如果存在數(shù)λ∈C和非零的n維向量x，使得Ax=λx，就稱λ是矩陣A的特征值，x是A的屬于（或?qū)?yīng)于）特征值λ的特征向量。注意：1)特征向量x≠0；2)特征值問(wèn)題是對(duì)方陣而言的，本章的矩陣如不加說(shuō)明，都是方陣。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量根據(jù)定義，n階矩陣A的特征值，就是使齊次線性方程組(λI－A)x=0有非零解的λ值，即滿足方程det(λI－A)=0的λ都是矩陣A的特征值。因此，特征值是λ的多項(xiàng)式det(λI－A)的根。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量定義：設(shè)n階矩陣A=(aij)，則：稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，λI－A稱為A的特征矩陣，det(λI－A)=0稱為A的特征方程。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量顯然，n階矩陣A的特征多項(xiàng)式是λ的n次多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式的k重根也稱為k重特征值。當(dāng)n≥5時(shí)，特征多項(xiàng)式?jīng)]有一般的求根公式，即使是三階矩陣的特征多項(xiàng)式，一般也難以求根，所以求矩陣的特征值一般要采用近似計(jì)算的方法，它是計(jì)算方法課中的一個(gè)專題。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例例1：求矩陣的特征值和特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例解：矩陣A的特征方程為該特征矩陣的行列式的每行之和均為λ-3，將各列加到第1列，并將第1行乘-1加到第2、3行得：,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例故A的特征值為λ1＝3，λ2＝2（二重特征值）。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例當(dāng)λ1＝3時(shí)，由(λ1I－A)x=0，即：得其基礎(chǔ)解系為x1=(1,1,1)T，因此，k1x1（k1為非零任意常數(shù)）是A的對(duì)應(yīng)于λ1＝3的全部特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例當(dāng)λ2＝2時(shí)，由(λ2I－A)x=0，即：得其基礎(chǔ)解系為x2=(1,1,2)T，因此，k2x2（k2為非零任意常數(shù)）是A的對(duì)應(yīng)于λ2＝2的全部特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,矩陣的特征值和特征向量舉例例2：主對(duì)角元為a11,a22,…,ann的對(duì)角矩陣A或上（下）三角矩陣B的特征多項(xiàng)式是：|λI－A|=|λI－B|=(λ－a11)(λ－a22)…(λ－ann)故A，B的n個(gè)特征值就是n個(gè)主對(duì)角元。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)定理：若x1和x2都是A的屬于特征值λ0的特征向量，則k1x1+k2x2也是A的屬于λ0的特征向量（其中k1，k2是任意常數(shù)，但k1x1+k2x2≠0）。證：由于x1，x2是齊次線性方程組(λ0I－A)x=0的解，因此k1x1+k2x2也是上式的解，故當(dāng)k1x1+k2x2≠0時(shí)，是A的屬于λ0的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)在(λ0I－A)x=0的解空間中，除零向量以外的全體解向量就是A的屬于特征值λ的全體特征向量，因此(λI－A)x=0的解空間也稱為矩陣A關(guān)于特征值λ的特征子空間，記作Vλ。n階矩陣A的特征子空間是n維向量空間的子空間，它的維數(shù)為：dimVλ=n－r(λI－A),5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)需要注意的是，n階矩陣的特征值可能是復(fù)數(shù)，所以特征子空間一般是n維復(fù)向量空間Cn（見(jiàn)附錄）的子空間。例1中矩陣A的兩個(gè)特征子空間為：,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)定理：設(shè)n階矩陣A=(aij)的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λn，則：證明過(guò)程見(jiàn)課本用*標(biāo)注的部分。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)由前面定理的第2項(xiàng)可知：當(dāng)detA≠0（即A為可逆矩陣）時(shí)，其特征值全為非零數(shù)；反之，奇異矩陣A至少有一個(gè)零特征值。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的。一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值，這是因?yàn)?，如果x同時(shí)是A的屬于特征值λ1,λ2(λ1≠λ2)的特征向量，即有：Ax=λ1x且Ax=λ2x則：λ1x=λ2x即(λ1-λ2)x=0。由于λ1-λ2≠0，則x=0，這與x≠0矛盾。矩陣的特征值和特征向量還有以下性質(zhì)：,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：若λ是矩陣A的特征值，x是A的屬于λ的特征向量，則：1)kλ是kA的特征值（k是任意常數(shù)）2)λm是Am的特征值（m是正整數(shù)）3)當(dāng)A可逆時(shí)，λ-1是A-1的特征值且x仍是矩陣kA,Am,A-1的分別對(duì)應(yīng)于特征值kλ,λm,1/λ的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)證：1）省略。2）由已知條件Ax=λx，可得：A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)即A2x=λ2x再繼續(xù)施行上述步驟m-2次，就得：Amx=λmx故λm是矩陣Am的特征值，且x也是Am對(duì)應(yīng)于λm的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)3)當(dāng)A可逆時(shí)，λ≠0，由Ax=λx可得：A-1(Ax)=A-1(λx)=λA-1x因此A-1x=λ-1x故λ-1是A-1的特征值，且x也是A-1對(duì)應(yīng)于λ-1的特征向量。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)2：矩陣A和AT的特征值相同。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)證：因?yàn)?λI-A)T=(λI)T-AT=λI-AT，所以det(λI-A)=det(λI-AT)因此，A和AT有完全相同的特征值。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)例3：設(shè)1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角陣。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)解：1）A的特征值為λ1=λ2=0（二重特征值）和λ3=-2。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)當(dāng)λ1=0時(shí)，由(λ1I-A)x=0，即Ax=0得基礎(chǔ)解系x1=(1,1,0)T和x2=(-1,0,1)T故A對(duì)應(yīng)于λ1=0的全體特征向量為k1x1+k2x2=k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T其中k1,k2為不全為零的任意常數(shù)。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)當(dāng)λ3=-2時(shí)，由(λ3I-A)x=0，即：得基礎(chǔ)解系為x3=(-1,-2,1)T，A對(duì)應(yīng)于λ3=-2的全體特征向量為k3x3=k3(-1,-2,1)Tk3為非零任意常數(shù)。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,特征值和特征向量的性質(zhì)2）將Axi=λixi(i=1,2,3)排成矩陣等式取AP=PΛ，且|P|=2≠0，因此就得P-1AP=Λ為對(duì)角陣。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)定義：對(duì)于矩陣A和B，若存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，就稱A相似于B，記作A～B。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)矩陣的相似關(guān)系也是一種等價(jià)關(guān)系，即也有以下三條性質(zhì)。1）反身性：A～A2）對(duì)稱性：若A～B，則B～A3）傳遞性：若A～B，B～C，則A～C證明略。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣有以下性質(zhì)：1）P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P（其中k1,k2是任意常數(shù)）2）P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P)3）若A～B，則Am～Bm（m為正整數(shù)）,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)證：因?yàn)锳～B，所以存在可逆矩陣P，使P-1AP=B于是Bm=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1AmP故Am～Bm,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)定理：相似矩陣的特征值相同。,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)證：只需證明相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式。設(shè)A～B，則存在可逆矩陣P，使得：P-1AP=B于是|λI-B|=|λI-P-1AP|=|P-1(λI-A)P|=|P-1||λI-A||P|=|λI-A|,5.1矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣,相似矩陣及其性質(zhì)必須注意，該定理的逆命題不成立，例如：都以1為二重特征值，但對(duì)于任何可逆矩陣P，都有P-1IP=I≠A，故A和I不相似。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件所謂矩陣可對(duì)角化指的是，矩陣與對(duì)角陣相似。本節(jié)討論矩陣可對(duì)角化的條件。其主要結(jié)論是：矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，或矩陣的每個(gè)特征值的（代數(shù)）重?cái)?shù)等于對(duì)應(yīng)特征子空間的（幾何）維數(shù)。今后我們常將主對(duì)角元為a1,a2,…,an的對(duì)角陣記作diag(a1,a2,…,an)，或記作Λ。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件從5.1節(jié)例3可見(jiàn)，當(dāng)三階矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量x1,x2,x3時(shí)，取P=(x1,x2,x3)就有：P-1AP=diag(λ1,λ2,λ3)其中λ1,λ2,λ3分別是特征向量x1,x2,x3所對(duì)應(yīng)的特征值，這表明，三階矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是A與對(duì)角陣相似的充分條件。事實(shí)上它也是必要條件。下面給出一般結(jié)論。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件定理：n階矩陣A與對(duì)角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件證：必要性：設(shè)即：AP=PΛ將P矩陣按列分塊，表示成P=(x1,x2,…,xn)則：,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件即：(Ax1,Ax2,…,Axn)=(λ1x1,λ2x2,…,λnxn)于是：Axi=λixi(i=1,2,…,n)故x1,x2,…,xn是A分別對(duì)應(yīng)于特征值λ1,λ2,…,λn的特征向量。由于P可逆，所以它們是線性無(wú)關(guān)的，必要性得證。上述步驟顯然可逆，所以充分性也成立。5.1節(jié)例1中的A只存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以不可對(duì)角化。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件由相似矩陣的特征值相同的定理可知：若A與對(duì)角陣Λ相似，則Λ的主對(duì)角元都是A的特征值。若不計(jì)λk的排列方式，則Λ是唯一的，稱Λ為A的相似標(biāo)準(zhǔn)型。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件定理：矩陣A的屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件證：設(shè)A的m個(gè)互不相同的特征值為λ1,λ2,…,λm，其相應(yīng)的特征向量分別為x1,x2,…,xm，對(duì)m作歸納法，證明x1,x2,…,xm線性無(wú)關(guān)。當(dāng)m=1時(shí)，結(jié)論顯然成立（因?yàn)樘卣飨蛄縳1≠0）。設(shè)k個(gè)不同特征值λ1,λ2,…,λk的特征向量x1,x2,…,xk線性無(wú)關(guān)，下面考慮k+1個(gè)不同特征值的特征向量的情況。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件設(shè)：a1x1+a2x2+…+akxk+ak+1xk+1=0則：A(a1x1+a2x2+…+akxk+ak+1xk+1)=0即：a1λ1x1+a2λ2x2+…+akλkxk+ak+1λk+1xk+1=0將第1式乘λk+1，再減去第3式得：a1(λk+1-λ1)x1+a2(λk+1-λ2)x2+…+ak(λk+1-λk)xk=0,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件根據(jù)歸納假設(shè)x1,x2,…,xk線性無(wú)關(guān)，所以：ai(λk+1-λi)x1=0,i=1,2,…,k由于：λk+1≠λi，i=1,2,…,k所以：ai=0，i=1,2,…,k將上式代入第1式，得：ak+1xk+1=0由于特征向量xk+1≠0，故ak+1＝0，故x1,x2,…,xk+1線性無(wú)關(guān)。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件推論：若n階矩陣A有n個(gè)互不相同的特征值，則A與對(duì)角陣相似。但必須注意，推論的逆不成立，如5.1節(jié)例3，A與對(duì)角陣相似，但特征值中0是二重特征根。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件*定理：設(shè)λ1,λ2,…,λm是n階矩陣A的m個(gè)互異特征值，對(duì)應(yīng)于λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量為x1,x2,…,xiri(i=1,2,…,m)，則由所有這些特征向量（共r1+r2+…+rm個(gè)）構(gòu)成的向量組{xi1,xiri|i=1,2,…,m}是線性無(wú)關(guān)的。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件*定理：設(shè)λ0是n階矩陣A的一個(gè)k重特征值，對(duì)應(yīng)于λ0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為l，則k≥l。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件例1：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣問(wèn)：A是否與對(duì)角陣相似？若與對(duì)角陣相似，求對(duì)角陣Λ及可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ。再求Ak（k為正整數(shù)）。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件解：A的特征多項(xiàng)式,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件所以A的特征值λ1=-2（單根），λ2=2（三重根）。由(λI-A)x=0，即：得λ1對(duì)應(yīng)的特征向量為{k1x1|x1=(1,1,1,1)T,k1≠0}。由(λ2I-A)x=0，即：x1+x2+x3+x4=0,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件得基礎(chǔ)解系為x21=(1,-1,0,0)Tx22=(1,0,-1,0)Tx23=(1,0,0,-1)TA有4個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A與對(duì)角陣相似。?。?5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件則：Λ的4個(gè)對(duì)角元依次是4個(gè)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值。由于特征向量（或(λI-A)x=0的基礎(chǔ)解系）不唯一，所以P也不唯一。,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件由A=PΛP-1，可得：,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件例2：設(shè)A=(aij)nn是主對(duì)角元全為2的上三角矩陣，且存在aij≠0(i＜j)，問(wèn)A是否與對(duì)角陣相似？,5.2矩陣可對(duì)角化的條件,矩陣可對(duì)角化的條件解：設(shè)其中*為不全為零的任意常數(shù)。則：|λI-A|=(λ-2)n即λ=2是A的n重特征值，而r(2I-A)≥1，所以(2I-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)≤n-1個(gè)，即A的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)≤n-1個(gè)，因此，A不與對(duì)角陣相似。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化上一節(jié)已指出，不是任何矩陣都與對(duì)角陣相似，然而實(shí)用中很重要的實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，其特征值全為實(shí)數(shù)。而且對(duì)于任一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在正交矩陣T，使得T-1AT為對(duì)角陣，為了證明這些重要結(jié)論，先介紹復(fù)矩陣和復(fù)向量的有關(guān)概念和性質(zhì)。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定義：元素為復(fù)數(shù)的矩陣和向量，稱為復(fù)矩陣和復(fù)向量。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定義：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化由此定義可知：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化根據(jù)定義及共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，容易證明共軛矩陣有以下性質(zhì)：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化n維復(fù)向量（以列的形式表示）x滿足性質(zhì)：這是因?yàn)?，若x=(x1,x2,…,xn)T,xi∈C(i=1,2,…,n)，則,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量雖然一般實(shí)矩陣的特征多項(xiàng)式是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，但其特征根可能是復(fù)數(shù)，相應(yīng)的特征向量也可能是復(fù)向量，然而實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全是實(shí)數(shù)，（在實(shí)數(shù)域上）相應(yīng)的特征向量是實(shí)向量，且不同特征值的特征向量是正交的。下面給以證明。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量定理：實(shí)對(duì)稱矩陣A的任一特征值都是實(shí)數(shù)。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量證：設(shè)λ是A的任一特征值。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量定理：實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量證：設(shè)Axi=λixi,(xi≠0,i=1,2),λ1≠λ2,AT=A，則：由于λ1≠λ2，所以：故當(dāng)x1,x2為實(shí)的特征向量時(shí)，x1與x2正交(x1,x2為復(fù)向量的情形，利用附錄A的知識(shí)，也可證明二者正交)。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理：對(duì)于任一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在n階正交矩陣T，使得：T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn),5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證：用數(shù)學(xué)歸納法。n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)定理對(duì)任一個(gè)n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣B成立，即存在n-1階正交矩陣Q，使得Q-1BQ=Λ1。下面證明，對(duì)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A也成立。設(shè)：Ax1=λ1x1，其中x1是長(zhǎng)度為1的特征向量?，F(xiàn)將x1擴(kuò)充為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基x1,x2,…,xn其中x2,…,xn不一定是A的特征向量，于是就有：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化記：P=(x1,x2,…,xn)（P為正交矩陣）并將上式右端矩陣用分塊矩陣表示，上式可寫(xiě)為：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化由于P-1=PT,(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=P-1AP，所以：因此，b=0,BT=B（即B為n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣），代入得：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化根據(jù)歸納假設(shè)，構(gòu)造一個(gè)正交矩陣：（不難驗(yàn)證STS=In），便有：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化取T=PS（兩個(gè)正交矩陣之積仍是正交矩陣），T-1=S-1P-1，則：T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn)其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值。得證。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化給定一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，如何求正交矩陣T，使T-1AT=Λ呢？首先由特征多項(xiàng)式：得到全部互異特征值λ1,…,λm。由于A可對(duì)角化，根據(jù)前面定理，ri重特征值λi對(duì)應(yīng)ri個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化利用施密特正交化方法得到個(gè)ri相互正交的單位向量由前面定理，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，得到為n個(gè)相互正交的單位特征向量，將其按列排成n階矩陣，就是所求的正交矩陣T。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化例1：設(shè)求正交陣T，使T-1AT為對(duì)角陣。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化解：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化得λ1=2，由(λ1I-A)x=0，即：得線性無(wú)關(guān)的特征向量x1=(2,-1,0)T,x2=(2,0,1)T。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化用施密特正交化方法，先正交化，得：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化再將β1,β2單位化得：對(duì)于λ2=-7，由(λ2I-A)x=0，即：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化得特征向量x3=(1,2,-2)T，單位化得y3=(1/3,2/3,-2/3)T，取正交矩陣則T-1AT=diag(λ1,λ2,λ3)=diag(2,2,-7)。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化例2：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A和B是相似矩陣，證明：存在正交矩陣T，使得T-1AT=B。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證：由于A～B，所以A和B有相同的特征值λ1,λ2,…,λn，根據(jù)前面定理，對(duì)A和B分別存在正交矩陣T1和T2，使得：所以：T-1AT=B,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化例3：設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A,B有完全相同的n個(gè)特征值，證明：存在正交矩陣T和n階矩陣Q使得A=QT和B=TQ同時(shí)成立。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證：由于實(shí)對(duì)稱矩陣與對(duì)角陣Λ相似，Λ的對(duì)角元為n個(gè)特征值，所以，A~Λ~B，即A~B。由例2知存在正交矩陣T1，使得：,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化例4：設(shè)A,B都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在正交矩陣T使T-1AT，T-1BT都是對(duì)角陣，則AB是實(shí)對(duì)稱矩陣。,5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證：由(AB)T=BTAT=BA可知，此時(shí)AB對(duì)稱的充要條件是AB可交換。因此只需證明AB=BA。根據(jù)已知條件，有：T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn)T-1BT=diag(μ1,μ2,…,μn)于是(T-1AT)(T-1BT)=(T-1BT)(T-1AT)=diag(λ1μ1,…,λnμn)，因此，AB=BA,(AB)T=BA=AB。,