線性方程組與矩陣的定義.ppt

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第一節(jié)矩陣,線性代數(shù),1.線性方程組,其中a11,a22,…,ann是系數(shù)，b1,b2,…,bn是常數(shù)項。當b1＝0,b2＝0,…,bn＝0時，稱之為齊次線性方程組。,一、線性方程組,對于上頁線性方程組，如果存在n個數(shù)c1,c2,…,cn，當用x1=c1,x2=c2,…,xn=cn代入方程組后，每個方程都成為恒等式，則稱x1=c1,x2=c2,…,xn=cn為方程組的一個解。一個線性方程組的所有解的集合稱為該方程組的解集；如果兩個方程組的解集相同，則稱這兩個方程組為同解方程組。,對于一般的n元線性方程組，需要解決以下三個問題：1)如何判定方程組是否有解？2)如果方程組有解，它有多少個解？3)如何求出線性方程組的全部解？,例1求解線性方程組,,解：,用消元法逐步將方程化簡：,,由上面的方程組可知，無論x1,x2,x3,x4取何值，都不能滿足第三個方程“0=3”，因此所給方程組無解。,見書中例1（P31）,從上述例子的求解過程可以看到，我們對線性方程組作了三種變換：（1）把一個方程的倍數(shù)加另一個方程上；（2）互換兩個方程的位置；（3）用一個非零數(shù)乘某一個方程。這三種變換稱為線性方程組的初等變換。,從上述例子的求解過程可以看到，在求解過程中只對線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項進行了運算。因此，為了書寫方便，對于一個線性方程組可以只寫出它的系數(shù)和常數(shù)項，并把它們按原來的次序排成一張表，這張表稱為線性方程組的增廣矩陣。只列出方程組中未知量系數(shù)的表稱為方程組的系數(shù)矩陣。例1中方程組的增廣矩陣和系數(shù)矩陣分別為,容易看出，給了一個線性方程組，它的增廣矩陣就被惟一地確定；反之，給定增廣矩陣，線性方程組也被惟一確定下來。求解線性方程組的過程，等價于對其增廣矩陣進行一系列相應的“運算”過程。為此，有必要對矩陣理論進行系統(tǒng)的討論和研究。,二、矩陣的概念,由個數(shù)排成的行列的數(shù)表,稱為矩陣.簡稱矩陣.,記作,簡記為,元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,,元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.,,主對角線,,副對角線,例如,是一個實矩陣,,是一個復矩陣,,是一個矩陣,,是一個矩陣,,是一個矩陣.,例如,是一個3階方陣.,幾種特殊矩陣,(2)只有一行的矩陣,稱為n維行矩陣(或n維行向量).,方陣主對角線上的元素稱為此,方陣的對角元。,只有一列的矩陣,稱為n維列矩陣(或n維列向量).,稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?,,,,（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.,注意,不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.,例如,記作,(5)方陣,,,當對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，稱它為數(shù)量矩陣。如下：,或,特別，當a=1時，稱它為n階單位矩陣（或n階單位陣），簡記為或。有時也省略下標n。,形如：,，,的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣。對角矩陣必須是方陣。一個方陣是對角矩陣當且僅當它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。,三、小結,(1)矩陣的概念,(2)特殊矩陣,方陣,行矩陣與列矩陣;,單位矩陣;,對角矩陣;,零矩陣.,思考題,矩陣與行列式的有何區(qū)別?,思考題解答,矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.,結束,