中考數(shù)學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題)類型2 針對訓練.doc
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第二部分 專題六 類型二 1.(xx創(chuàng)新同盟聯(lián)考)已知拋物線y=a(x-m)2+2m(m≠0)經(jīng)過原點,其頂點為P,與x軸的另一交點為A. (1)P點坐標為m, 2m);A點坐標為(2m, 0);(用含m的代數(shù)式表示) (2)求出a,m之間的關系式; (3)當m>0時,若拋物線y=a(x-m)2+2m向下平移m個單位后經(jīng)過(1,1),求此拋物線的表達式; (4)若拋物線y=a(x-m)2+2m向下平移|m|個單位后與x軸所截的線段長,與平移前相比有什么變化?請直接寫出結果. 解:(1)P(m,2m),A(2m,0). (2)將x=0,y=0代入y=a(x-m)2+2m得 am2+2m=0,∵m≠0, ∴am+2=0, am=-2,a=-. (3)當m>0時, 拋物線y=a(x-m)2+2m向下平移m個單位后:y=a(x-m)2+m, 由于經(jīng)過(1,1),∴a(1-m)2+m=1,am2-2am+a+m=1,又am=-2, 所以a=m-3代入am=-2, 解得a1=-1, m1=2;a2=-2, m2=1. 此時拋物線的關系式為y=-(x-2)2+4或y=-2(x-1)2+1. (4)與x軸所截的線段長,與平移前相比是原來的或倍. 說明:①當m>0時,則a<0,原拋物線y=a(x-m)2+2m經(jīng)過原點, 故可化為y=ax2-2amx,向下平移m個單位后為y=ax2-2amx-m,(am=-2,a=-) 平移前:d=2m,平移后:d′=|x1-x2|=m, ②當m<0時,則a>0,原拋物線y=a(x-m)2+2m經(jīng)過原點, 故可化為y=ax2-2amx,向下平移-m個單位后為y=ax2-2amx+m,(am=-2,a=-) 平移前:d=-2m,平移后:d′=|x1-x2|=-m, ∴與x軸所截的線段長,與平移前相比是原來的或倍. 2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A(0,4),B(2,0), C(-2,0)三點. (1)求二次函數(shù)的解析式; (2)在x軸上另有一點D(-4,0),將二次函數(shù)圖象沿著DA方向平移,使圖象再次經(jīng)過點B; ①求平移后圖象的頂點E的坐標; ②求圖象A,B之間的曲線部分在平移過程中所掃過的面積. 解:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過三點的坐標特征, 可設其解析式為y=a(x+2)(x-2)(a≠0), 再代入點A(0,4),解得a=-1, 故二次函數(shù)的解析式為y=-(x+2)(x-2)=-x2+4(a≠0). (2)經(jīng)過點A(0,4),D(-4,0)兩點的直線DA, 其解析式為y=x+4. ①拋物線沿著DA方向平移后, 設向右平移了m個單位,則頂點E為(m,m+4), 此時拋物線的解析式可設為y=-(x-m)2+(m+4), 將點B(2,0)代入,得0=-(2-m)2+m+4, 解得m1=0(舍去),m2=5; 頂點E為(5,9), ②如答圖1,根據(jù)拋物線的軸對稱性與平移的性質,A,B之間的曲線部分所掃過的面積顯然等于平行四邊形ABFE的面積,也等于2個△ABE的面積. 解法一:如答圖2,過點E作EK⊥y軸于點K, S△ABE=S梯形OBEK-S△AOB-S△AKE=(2+5)9-42-55=15, 圖象A,B之間的曲線部分在平移過程中所掃過的面積為2S△ABE=30. 解法二:如答圖2,過點E作EK⊥y軸于點K,過點B作BM⊥x軸交KM于點M,過點A作AN⊥y軸交BM于點N(將△ABE的面積水平與鉛直分割——一種面積的常規(guī)分割法則). 直線BM的解析式是x=2,與DA直線y=x+4相交得到點G為(2,6), 所以線段BG=6,S△ABE=S△AGB-S△EGB=62+63=15, 所以圖象A,B之間的曲線部分在平移過程中所掃過的面積為2S△ABE=30. 3.如圖,拋物線C1:y1=ax2+2ax(a>0)與x軸交于點A,頂點為點P. (1)直接寫出拋物線C1的對稱軸是直線x=-1,用含a的代數(shù)式表示頂點P的坐標 (-1,-a); (2)把拋物線C1繞點M(m,0)旋轉180得到拋物線C2(其中m>0),拋物線C2與x軸右側的交點為點B,頂點為點Q. ①當m=1時,求線段AB的長; ②在①的條件下,是否存在△ABP為等腰三角形,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由; ③當四邊形APBQ為矩形時,請求出m與a之間的數(shù)量關系,并直接寫出當a=3時矩形APBQ的面積. 解:(1)∵拋物線C1:y1=ax2+2ax=a(x+1)2-a,∴對稱軸是直線x=-1,頂點P坐標為(-1,-a). (2)①由旋轉知,MA=MB, 當y1=0時,x1=-2,x2=0,∴A(-2,0), ∴AO=2. ∵M(1,0),∴AM=3,∴AB=2MA=23=6; ②存在.∵A(-2,0),AB=6,∴B(4,0). ∵A(-2,0),P(-1,-a), ∴AP==,BP=. 當AB=AP時,1+a2=62,解得a=(負值已舍去); 當AB=BP時,25+a2=62,解得a=(負值已舍去); 當AP=BP時,1+a2=25+a2,不成立, 即當a取或時,△ABP為等腰三角形. ③如答圖,過點P作PH⊥x軸于H, ∵點A與點B,點P與點Q均關于M點成中心對稱,故四邊形APBQ為平行四邊形, 當∠APB=90時,四邊形APBQ為矩形,此時△APH∽△PBH,∴=,即=, ∴a2=2m+3,∴m=a2-. 當a=3時,m=32-=3, ∴S=(2m+4)a=(23+4)3=30. 4.(xx贛南模擬)如圖,拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過原點,與x軸的另一個交點為(2,0),將拋物線C1向右平移m(m>0)個單位得到拋物線C2,C2交x軸于A,B兩點(點A在點B的左邊),交y軸于點C. (1)求拋物線C1的解析式以及頂點坐標; (2)以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD,當頂點D落在拋物線C2的對稱軸上時,求拋物線C2的解析式; (3)若拋物線C2的對稱軸上存在點P,使得△PAC為等邊三角形,求m的值. 解:(1) ∵拋物線C1經(jīng)過原點(0,0)及(2,0), ∴解得 拋物線C1的解析式為y=x2-2x=(x-1)2-1. 其頂點坐標為(1,-1). (2)設拋物線C2的解析式為y=(x-1-m)2-1, 則其對稱軸DE為x=m+1(m>0), 化簡y=(x-1-m)2-1=x2-2(m+1)x+(m+1)2-1, 設拋物線C2與y軸交于點C(0,c), 則c=(1+m)2-1=m2+2m. 過點C作CH⊥DE于點H,如答圖1, ∵△ACD為等腰直角三角形, ∴CD=AD,∠ADC=90, ∴∠CDH+∠ADE=90,∴∠HCD=∠ADE. ∵∠DEA=90,∴△CHD≌△DEA, ∴AE=HD=1,CH=DE=m+1, ∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2. 由 OC=EH得 m2+2m=m+2, 解得 m1=1,m2=-2(不合題意,舍去), ∴拋物線C2的解析式為y=(x-2)2-1. 圖1 圖2 (3)如答圖2,連接BC,BP,由拋物線對稱性可知 AP=BP, 則點A(m,0),對稱軸DE為直線x=m+1(m>0), ∴點B的坐標為(m+2,0). ∵△ACP為等邊三角形, ∴AP=CP=BP,∠APC=60. ∴C,A,B三點在以P為圓心PA為半徑的圓上, ∴∠CBO=∠CPA=60=30,∴BC=2OC, ∴根據(jù)勾股定理得OB==OC, ∴(m2+2m)=m+2, 解得m1=,m2=-2(不合題意,舍去), ∴m=.- 配套講稿:
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