九年級數(shù)學下冊 第2章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應用 2.4.1 二次函數(shù)的應用教案 北師大版.doc

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2.4.1二次函數(shù)的應用 一、教學目標 1.掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數(shù)學的模型思想和數(shù)學應用價值． 2.學會分析和表示不同背景下實際問題中的變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識解決實際問題． 二、課時安排 1課時 三、教學重點 掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數(shù)學的模型思想和數(shù)學應用價值． 四、教學難點 運用二次函數(shù)的知識解決實際問題． 五、教學過程 （一）導入新課 引導學生把握二次函數(shù)的最值求法： (1)最大值： (2)最小值： （二）講授新課 活動1：小組合作 如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上. (1)設矩形的一邊AB=xm,那么AD邊的長度如何表示？ (2)設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的值最大？最大值是多少? 解： 活動2：探究歸納 先將實際問題轉化為數(shù)學問題，再將所求的問題用二次函數(shù)關系式表達出來，然后利用頂點坐標公式或者配方法求出最值，有時必須考慮其自變量的取值范圍，根據(jù)圖象求出最值. （三）重難點精講 例題:某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m.當x等于多少時,窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01m)?此時,窗戶的面積是多少? 解： 即當x≈1.07m時，窗戶通過的光線最多.此時窗戶的面積為4.02m2. （四）歸納小結 “最大面積” 問題解決的基本思路： 1.閱讀題目，理解問題. 2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系. 3.用數(shù)量的關系式表示出它們之間的關系. 4.根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出最大值、最小值. 5.檢驗結果的合理性. （五）隨堂檢測 1．（包頭中考）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是 cm2． 2．（蕪湖中考）用長度為20m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形，其斜邊長為2x m．當該金屬框圍成的圖形面積最大時，圖形中矩形的相鄰兩邊長各為多少？請求出金屬框圍成的圖形的最大面積． 3．（濰坊中考）學校計劃用地面磚鋪設教學樓前的矩形廣場的地面ABCD，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米，圖案設計如圖所示：廣場的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都是小正方形的邊長，陰影部分鋪設綠色地面磚，其余部分鋪設白色地面磚． （1）要使鋪設白色地面磚的面積為5 200平方米，那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米？ （2）如圖鋪設白色地面磚的費用為每平方米30元，鋪設綠色地面磚的費用為每平方米20元，當廣場四角小正方形的邊長為多少米時，鋪設廣場地面的總費用最少？最少費用是多少？ 4．（南通中考）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B，C重合）．連接DE，作EF⊥DE，EF與線段BA交于點F，設CE=x，BF=y． （1）求y關于x的函數(shù)關系式. （2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？ （3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？ 5.（河源中考）如圖，東梅中學要在教學樓后面的空地上用40米長的竹籬笆圍出一個矩形地塊作生物園，矩形的一邊用教學樓的外墻，其余三邊用竹籬笆．設矩形的寬為x，面積為y． （1）求y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍. （2）生物園的面積能否達到210平方米？說明理由． 【答案】 1.12.5 2. 根據(jù)題意可得：等腰三角形的直角邊為m矩形的一邊長是2xm,其鄰邊長為 3.解; （1）設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)題意 得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200， 整理得x2－45x＋350＝0， 解得x1＝35，x2＝10，經檢驗x1＝35，x2＝10均適合題意， 所以，要使鋪設白色地面磚的面積為5 200平方米， 則矩形廣場四角的小正方形的邊長為35米或者10米． （2）設鋪設矩形廣場地面的總費用為y元， 廣場四角的小正方形的邊長為x米，則 y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得 y＝80（x－22．5）2＋199 500， 當x＝22．5時，y的值最小，最小值為199 500， 所以當矩形廣場四角的小正方形的邊長為22．5米時， 鋪設矩形廣場地面的總費用最少，最少費用為199 500元． 4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90， 又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90， ∴∠2=∠BFE， ∴Rt△BFE∽Rt△CED， ∴, ∴ 即 ⑵當m=8時，化成頂點式: （3）由，及得關于x的方程: ，得 ∵△DEF中∠FED是直角， ∴要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF=ED， 此時， Rt△BFE≌Rt△CED， ∴當EC=2時，m=CD=BE=6；當EC=6時，m=CD=BE=2. 即△DEF為等腰三角形，m的值應為6或2. 5. 解：（1）依題意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x2+40x． x的取值范圍是0< x <20． （2）當y=210時，由（1）可得，-2x2+40x=210． 即x2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105， ∴ ∴此方程無實數(shù)根，即生物園的面積不能達到210平方米． 六．板書設計 2.4.1二次函數(shù)的應用 探究： 例題: “最大面積” 問題解決的基本思路： 1.閱讀題目，理解問題. 2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系. 3.用數(shù)量的關系式表示出它們之間的關系. 4.根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出最大值、最小值. 5.檢驗結果的合理性. 七、作業(yè)布置 課本P47練習 練習冊相關練習 八、教學反思