中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第23課時(shí) 矩形、菱形、正方形測試.doc
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第五單元 四邊形 第二十三課時(shí) 矩形、菱形、正方形 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練 1. 下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是( ) A. 對角線互相平分 B. 對角線互相垂直 C. 對角線相等 D. 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 2. (xx上海)已知平行四邊形ABCD,AC、BD是它的兩條對角線,那么下列條件中,能判斷這個(gè)平行四邊形為矩形的是( ) A. ∠BAC=∠DCA B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. ∠BAC=∠ADB 3. (xx河南)如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的只有( ) 第3題圖 A. AC⊥BD B. AB=BC C. AC=BD D. ∠1=∠2 4. (xx廣安)下列說法: ①四邊相等的四邊形一定是菱形 ②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形 ③對角線相等的四邊形一定是矩形 ④經(jīng)過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分 其中正確的個(gè)數(shù)為( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. (xx蘭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ADB=30,AB=4,則OC=( ) A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3 第5題圖 第6題圖 6. 如圖,在△ABC中,點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四個(gè)判斷中,不正確的是( ) A. 四邊形AEDF是平行四邊形 B. 如果∠BAC=90,那么四邊形AEDF是矩形 C. 如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是菱形 D. 如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是正方形 7. (xx淮安)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=3,點(diǎn)E在邊BC上,將△ABE沿直線AE折疊,點(diǎn)B恰好落在對角線AC上的點(diǎn)F處,若∠EAC=ECA,則AC的長是( ) A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 第7題圖 第8題圖 8. (xx瀘州)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值是( ) A. B. C. D. 9. (xx麗水)我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖①所示,在圖②中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJ∥AB,則正方形EFGH的邊長為________. 第9題圖 10. (xx徐州)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,點(diǎn)Q在對角線AC上,且AQ=AD,連接DQ并延長,與邊BC交于點(diǎn)P,則線段AP=________. 第10題圖 第11題圖 11. (xx十堰)如圖,菱形ABCD中,AC,BD交于點(diǎn)O,DE⊥BC于點(diǎn)E,連接OE,若∠ABC=140,則∠OED=________. 第12題圖 12. (xx懷化)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120,AB=10 cm,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn),若以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則P,A(P,A兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為________cm. 第13題圖 13. (6分)(xx岳陽)求證:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. 小紅同學(xué)根據(jù)題意畫出了圖形,并寫出了已知和求證的一部分,請你補(bǔ)全已知和求證,并寫出證明過程. 已知:如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,___________.求證:________________________________________________________________. 14. (8分)(xx邵陽)如圖所示,已知平行四邊形ABCD,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠OBC=∠OCB. (1)求證:平行四邊形ABCD是矩形; (2)請?zhí)砑右粋€(gè)條件使矩形ABCD為正方形. 第14題圖 15. (8分)(xx鹽城)如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F. (1)求證:四邊形BEDF為平行四邊形; (2)當(dāng)∠ABE為多少度時(shí),四邊形BEDF是菱形?請說明理由. 第15題圖 16. (8分)(xx南雅中學(xué)第七次階段檢測)如圖,四邊形ABCD是邊長為6的正方形,點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn),連接AG,BE⊥AG于點(diǎn)E,DF⊥AG于點(diǎn)F. (1)證明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30,求EF的長. 第16題圖 17. (8分)(xx鄂州)如圖,將矩形ABCD沿對角線AC翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,F(xiàn)C交AD于E. (1)求證:△AFE≌△CDE; (2)若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積. 第17題圖 能力提升訓(xùn)練 1. (xx芙蓉區(qū)二十九中模擬)如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊(x>y),下列四個(gè)說法:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49;④x+y=9.其中說法正確的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第1題圖 2. (xx安徽)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=S矩形ABCD,則點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為( ) A. B. C. 5 D. 第2題圖 第3題圖 3. (xx青竹湖湘一二模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上,將△BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處,點(diǎn)G在AF上,將△ABG沿BG折疊,點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處,有下列結(jié)論:①∠EBG=45;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.其中正確的個(gè)數(shù)為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (xx江西)已知點(diǎn)A(0,4),B(7,0),C(7,4),連接AC,BC得到矩形AOBC,點(diǎn)D在邊AC上,將邊OA沿OD折疊,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′,若點(diǎn)A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3,則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________. 5. (xx紹興)如圖為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)G在對角線BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100 m,則小聰行走的路程為________m. 第5題圖 6. (9分)(xx廣州)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED. (1)求證:四邊形OCED是菱形; (2)連接AE,若AB=6 cm,BC= cm. ①求sin∠EAD的值; ②若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連接OP.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí),求AP的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間. 第6題圖 拓展培優(yōu)訓(xùn)練 1. (xx長郡教育集團(tuán)第二屆澄池杯)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接AE,將△ABE沿AE折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,則sin∠ECF=( ) A. B. C. D. 第1題圖 第2題圖 2. (xx長郡教育集團(tuán)第二屆澄池杯)如圖,邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0<θ<90),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的有( ) (1)EF=OE;(2) S四邊形OEBF∶S正方形ABCD=1∶4;(3)BE+BF=OA;(4)OGBD=AE2+CF2. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 特殊四邊形的相關(guān)證明與計(jì)算鞏固集訓(xùn) 1. (8分)(xx廣東省卷)如圖所示,已知四邊形ABCD、ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD為銳角. (1)求證:AD⊥BF; (2)若BF=BC,求∠ADC的度數(shù). 第1題圖 2. (8分)(xx麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模)如圖,四邊形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足為點(diǎn)F,E為四邊形ABCD外一點(diǎn),且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC. (1)求證:四邊形ABDE是平行四邊形; (2)若DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的長. 第2題圖 3. (8分)(xx南雅中學(xué)二模)在平行四邊形ABCD中,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF. (1)求證:四邊形BFDE是矩形; (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB. 第3題圖 4. (8分)(xx襄陽)如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點(diǎn)C,BD平分∠ABF,且交AE于點(diǎn)D,連接CD. (1)求證:四邊形ABCD是菱形; (2)若∠ADB=30,BD=6,求AD的長. 第4題圖 5. (8分)(xx青竹湖湘一三模)已知,正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長線上的點(diǎn),DF=BE,連接AE、AF,過點(diǎn)A作AH⊥ED于點(diǎn)H. (1)求證:△ADF≌△ABE; (2)若BC=3BE,BE=1,求tan∠AED的值. 第5題圖 6. (8分)(xx長沙中考模擬卷三)如圖,在正方形ABCD中,以對角線BD為邊作菱形BDFE,使B、C、E三點(diǎn)在同一直線上,連接BF,交CD于點(diǎn)G. (1)求證:CG=CE; (2)若正方形邊長為4,求菱形BDFE的面積. 第6題圖 7. (9分)(xx長沙中考模擬卷六)如圖,在?ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,BD與AE、AF分別相交于點(diǎn)G、H. (1)求證:△ABE∽△ADF; (2)若AG=AH,求證:四邊形ABCD是菱形; (3)在(2)的條件下,將△ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),若△ADF恰好與△ACE重合,求旋轉(zhuǎn)角n(0<n<360). 第7題圖 8. (9分)(xx蘭州)如圖①,將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊,頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F. (1)求證:△BDF是等腰三角形; (2)如圖②,過點(diǎn)D作DG∥BE,交BC于點(diǎn)G,連接FG交BD于點(diǎn)O. ①判斷四邊形BFDG的形狀,并說明理由; ②若AB=6,AD=8,求FG的長. 第8題圖 答案 1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 【解析】∵在矩形ABCD中,AB=4,∠ADB=30,∠BAD=90,∴BD=8,∵矩形對角線相等且互相平分,∴OC=AC=BD=4. 6. D 【解析】∵DE∥CA,DF∥BA,∴四邊形AEDF是平行四邊形,故A選項(xiàng)正確;∵∠BAC=90,四邊形AEDF是平行四邊形,∴四邊形AEDF是矩形,故B選項(xiàng)正確;∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAF,又∵DE∥AC,∴∠EDA=∠DAF=∠EAD,∴AE=DE,又∵四邊形AEDF是平行四邊形,∴四邊形AEDF是菱形,故C選項(xiàng)正確;如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四邊形AEDF是正方形,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 7. B 【解析】由折疊可知,∠BAE=∠EAC,∵∠EAC=∠ECA,∴∠BAC=2∠BCA,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90,∴3∠ACB=90,∴∠ACB=30,∵AB=3,∴AC=2AB=6. 8. A 【解析】∵AD∥BC,BE=CE,又∵四邊形ABCD是矩形,∴△BEF∽△DAF,∴BE∶AD=BF∶FD=EF∶AF=1∶2,設(shè)EF=x,則AF=2x,∵△BEF∽△AEB,∴BE∶AE=EF∶BE,∴BE2=EFAE=3x2,∴BE=x,∴AB2=AE2-BE2=6x2,∴AB=x,∵ABBE=AEBF,∴BF=x,在Rt△BDC中,BD==3x,∴DF=2x,在Rt△DFE中,tan∠BDE===. 9. 10 【解析】如題圖②,由趙爽弦圖可知,△GHI≌△HEJ≌△EFK≌△FGL,∴GL=HI=EJ=FK,F(xiàn)L=GI=HJ=EK,設(shè)HI=m,∵IJ∥AB,∴ HJ+FK=AB,即m+2+m=14,解得m=6,在Rt△GHI中,HI=6,GI=6+2=8,GH==10,即正方形EFGH的邊長為10. 10. 【解析】∵AC==5,AQ=AD=3,∴CQ=2,又∵AD=AQ,∴∠ADQ=∠AQD,∵∠CQP=∠AQD,∴∠ADQ=∠CQP,∵AD∥BC,∴∠ADQ=∠CPQ,∴∠CQP=∠CPQ,∴CP=CQ=2,∴BP=3-2=1,∴AP===. 11. 20 【解析】∵四邊形ABCD是菱形,∴OB=OD=BD,∠ABD=∠CBD,∵∠ABC=140,∴∠CBD =∠ABC =70,∵DE⊥BC,∴∠BDE=20,OE=BD=OD,∴∠OED=∠BDE=20. 12. 10-10 【解析】∵△PBC是等腰三角形,∴有以下三種情況:(1)當(dāng)以點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上,如解圖①所示,此時(shí)最小值是10;(2)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)P的軌跡是在以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑的圓周上,由解圖②易知,P,A兩點(diǎn)間最短距離是與點(diǎn)A重合,又∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合,故舍去;(3)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)P的軌跡是在以點(diǎn)C為圓心,BC長為半徑的圓周上,由解圖③易知,線段AF的長即為最短距離,在Rt△ABE中,AB=10,∠ABE=180-120=60,AE=ABsin60=5,在Rt△AEC中,AE=5,∠ACE=30,∴AC=2AE=10,∴AF=AC-CF=10-10,即P,A兩點(diǎn)間的最短距離為(10-10) cm. 第12題解圖 13. 已知:AC⊥BD; 求證:?ABCD是菱形. 證明:∵AC⊥BD, ∴∠AOB=∠AOD=90, 又∵在?ABCD中,AO=AO,BO=DO, ∴△AOB≌△AOD, ∴AB=AD, 同理BC=CD, ∵在?ABCD中,AD=BC, ∴AB=BC=CD=DA, ∴四邊形ABCD是菱形. 14. (1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC, ∴∠DAO=∠OCB, ∠ADO=∠OBC, 又∵∠OBC=∠OCB, ∴∠DAO=∠ADO, ∴OB=OC,OA=OD, ∴OB+OD=OA+OC,即AC=BD, ∴平行四邊形ABCD是矩形; (2)解:使矩形ABCD為正方形的條件為:AB=AD.(答案不唯一) 15. (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB∥DC,AD∥BC, ∴∠ABD=∠CDB, ∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB, ∴∠EBD=∠ABD,∠FDB=∠CDB, ∴∠EBD=∠FDB, ∴DF∥EB, 又∵AD∥BC, ∴ED∥BF, ∴四邊形BEDF是平形四邊形; (2)解:當(dāng)∠ABE=30 時(shí),四邊形BEDF是菱形.理由如下: ∵BE平分∠ABD, ∴∠ABD=2∠ABE=60,∠EBD=∠ABE=30, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠A=90, ∴∠EDB=∠EBD=30, ∴EB=ED, 又∵四邊形BEDF是平行四邊形, ∴四邊形BEDF是菱形. 16. (1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠DAF+∠BAE=90,AB=AD, ∵∠AFD=90, ∴∠DAF+∠ADF=90, ∴∠BAE=∠ADF, 在△ABE和△DAF中 , ∴△ABE≌△DAF(AAS); (2)解:在正方形ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAF=∠AGB=30, 在Rt△ADF中,∠AFD=90,AD=6, ∴AF=3,DF=3, 由(1)得△ABE≌△DAF, ∴AE=DF=3, ∴EF=AF-AE=3-3. 17. (1)證明:∵△AFC是由△ABC折疊得到的, ∴AF=AB,∠F=∠B, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90, ∴AF=CD,∠F=∠D, ∵∠FEA=∠DEC, ∴△AFE≌△CDE(AAS); (2)解:由(1)知△AFE≌△CDE, ∴AE=CE, ∴DE=AD-AE=8-CE, 在Rt△DCE中,由勾股定理得CE2=DE2+CD2, ∴CE2=(8-CE)2+42,解得CE=5, ∴S△ACE=AECD=54=10,即圖中陰影部分面積為10. 能力提升訓(xùn)練 1. B 【解析】由勾股定理得x2+y2=大正方形邊長的平方,即大正方形的面積49,故①正確;小正方形的面積為4,∴邊長為2,即x-y=2,故②正確;四個(gè)直角三角形的面積再加上中間正方形的面積4等于大正方形的面積49,即xy4+4=2xy+4=49,故③正確;(x+y)2=x2+y2+2xy,由③可知2xy=45,∴x2+y2+2xy=49+45=94,∴x+y≠9,故④錯(cuò)誤. 2. D 【解析】如解圖,設(shè)△PAB底邊AB上的高為h,∵S△PAB=S矩形ABCD,得ABh=ABAD,∴h=2為定值,在AD上截取AE=2,作EF∥AB,交CB于點(diǎn)F,故點(diǎn)P在直線EF上 ,作點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)A′,連接A′B,交直線EF于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最小,且PA+PB=PA′+PB=A′B==. 第2題解圖 3. C 【解析】∵△BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處,∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,∴AF==8,∴DF=AD-AF=10-8=2,設(shè)EF=x,則CE=x,DE=CD-CE=6-x,在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2,∴(6-x)2+22=x2,解得x=,∴ED=,∵△ABG沿BG折疊,恰落在線段BF上的點(diǎn)H處,∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,∴∠EBG=∠2+∠3=∠ABC=45,∴①正確;HF=BF-BH=10-6=4,設(shè)AG=y(tǒng),則GH=y(tǒng),GF=8-y,在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2,∴y2+42=(8-y)2,解得y=3,∴AG=GH=3,GF=5,∵∠A=∠D,=,=,∴≠,∴△ABG與△DEF不相似,∴②錯(cuò)誤;∵S△ABG=63=9,S△FGH=GHHF=34=6,∴S△ABG=S△FGH,∴③正確;∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,∴AG+DF=GF,∴④正確,∴①③④正確. 第3題解圖 4. (,3)或(,1)或(2,-2) 【解析】由折疊性質(zhì)可知,OA=OA′=4,假設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為(x,y)則有x2+y2=42=16,點(diǎn)A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3,可分為兩種情況:①A′至AC的距離為A′至OB距離的3倍,可得y1=1,y2=-2,代入x2+y2=16得,x1=,x2=2,又∵A′處于y軸右側(cè),∴A′為(,1)或(2,-2);②A′至OB的距離為A′至AC的距離的3倍,可得y3=3,代入x2+y2=16得x3=,又∵A′處于y軸右側(cè),∴A′為(,3),綜上所述,A′為(,3)或(,1)或(2,-2). 第5題解圖 5. 4600 【解析】由題意得,BA+AG+GE=3100 m,∵AB=1500 m,∴AG+GE=3100-1500=1600 m,∵BD為對角線,∠DBC=45,而GE⊥DC,∴∠DGE=45,△DEG為等腰直角三角形,∴DE=GE,如解圖,過點(diǎn)G作GH⊥AB,易證△AGH≌△EFC,∴AG=EF,∴AB+AD+DE+EF=AB+AD+(GE+AG)=3000+1600=4600 m. 6. (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AC=BD,且AC、BD互相平分, ∴DO=CO, ∵已知△COD與△CED關(guān)于CD對稱, ∴△COD≌△CED, ∴CO=CE,DO=DE, ∴CE =CO=DO=DE, ∴四邊形OCED是菱形; (2)解:①如解圖①,連接EO交CD于點(diǎn)F,延長EO交AB于點(diǎn)H, ∵四邊形OCED是菱形, ∴EO⊥CD,且EO、CD互相平分, ∴EF=FO,DF=FC=3, ∴FO∥BC,即EH∥BC,且EF=FO=BC=, 又∵FO∥BC,在矩形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90, ∴四邊形FHBC是矩形, ∴FH=BC=,HB=FC=3, ∴AH=AB-HB=3,EH=EF+FH=, ∵AB∥CD,EH⊥CD, ∴EH⊥AB, ∴AE2=AH2+EH2=32+()2=,解得AE=, ∴sin∠AEH===, ∴sin∠DAE=sin∠AEH=; 第6題解圖① 第6題解圖② ②如解圖②,在AE上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M, ∴t=+=OP+AP, ∵sin∠DAE==, ∴MP=AP, ∴t=OP+AP=OP+PM, 當(dāng)點(diǎn)O、P、M共線時(shí),t=OP+PM=OM取得最小值, ∴OM⊥AD, ∵在矩形ABCD中,AB⊥AD,BO=DO, ∴OM∥AB,且點(diǎn)O為BD的中點(diǎn), ∴OM為△ABD的中位線, ∴t=OM=AB=3, ∵OM∥AB, ∴Rt△EHA∽R(shí)t△EOP, ∴==, ∴PE=AE=3, ∴AP=AE-EP=, 故AP的長為 cm,點(diǎn)Q走完全程需要3 s. 拓展培優(yōu)訓(xùn)練 1. D 【解析】過E作EH⊥CF于點(diǎn)H,由折疊的性質(zhì)得:BE=EF,∠BEA=∠FEA,∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴CE=BE,∴EF=CE,∴∠FEH=∠CEH,∴∠AEB+∠CEH=90,∵在矩形ABCD中,∠BAE+∠BEA=90,∴∠BAE=∠CEH,∠B=∠EHC,∴△ABE∽△EHC,∴=,∵AE==10,∴EH=,∴sin∠ECF==. 第1題解圖 2. D 【解析】∵四邊形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45,∠BOC=90,∴∠BOF+∠COF=90,∵∠EOF=90,∴∠BOF+∠BOE=90,∴∠BOE=∠COF,在△BOE和△COF中,,∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∵∠EOF=90,∴EF=OE,故(1)正確;∵S四邊形OEBF=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,∴S四邊形OEBF∶S正方形ABCD=1∶4,故(2)正確;∵BE=CF,∴BE+BF=BF+CF=BC=OA,故(3)正確;∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45,∴△OEG∽△OBE,∴OE∶OB=OG∶OE,∴OGOB=OE2,∵OB=BD,OE=EF,∴OGBD=EF2,∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,∴EF2=AE2+CF2,∴OGBD=AE2+CF2,故(4)正確. 特殊四邊形的相關(guān)證明與計(jì)算鞏固集訓(xùn) 1. (1)證明:∵四邊形ABCD、四邊形ADEF都是菱形, ∴AB=AD=AF, ∴△ABF是等腰三角形, 又∵∠BAD=∠FAD, ∴AD⊥BF; (2)解:由(1)知AB=AD=AF, 又∵AB=BC,BF=BC, ∴AB=AF=BF, ∴△ABF是等邊三角形, ∴∠BAF=60, 又∵∠BAD=∠FAD, ∴∠BAD=30, 又∵四邊形ABCD是菱形, ∴∠ADC+∠BAD=180, ∴∠ADC=180-∠BAD=150. 2. (1)證明:∵∠ADE=∠BAD, ∴AB∥DE, ∵AE⊥AC,BD⊥AC, ∴AE∥BD, ∴四邊形ABDE是平行四邊形; (2)解:∵DA平分∠BDE, ∴∠ADE=∠BDA, ∵∠ADE=∠BAD, ∴∠BAD=∠BDA, ∴BD=AB=5, 設(shè)BF=x,則DF=5-x, ∴AD2-DF2=AB2-BF2, ∴62-(5-x)2=52-x2, 解得x=, ∴AF==, ∵BD平分AC, ∴AC=2AF=. 3. 證明:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴DC∥AB,即DF∥BE, 又∵DF=BE, ∴四邊形BFDE為平行四邊形, 又∵DE⊥AB,即∠DEB=90, ∴四邊形BFDE為矩形; (2)由(1)知平行四邊形BFDE為矩形, ∴∠BFC=90, ∵在△BFC中,CF=3,BF=4,根據(jù)勾股定理得, BC===5, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD=BC=5, ∴AD=DF=5, ∴∠DAF=∠DFA, ∵DC∥AB, ∴∠DFA=∠FAB, ∴∠DAF=∠FAB, 即AF平分∠DAB. 4. (1)證明:∵AE∥BF, ∴∠ADB=∠CBD, ∵BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD, 同理可證AB=BC, ∴AD=BC, ∴四邊形ABCD是平行四邊形, 又∵AB=AD, ∴四邊形ABCD是菱形; (2)解:∵四邊形ABCD是菱形,BD=6, ∴AC⊥BD,OD=BD=3, ∴在Rt△AOD中,cos∠ADB=cos30==, ∴AD=3=2. 5. (1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠ADF=∠ABE=90,AD=AB, 在△ADF和△ABE中, , ∴△ADF≌△ABE(SAS); (2)解:如解圖,過點(diǎn)E作EG⊥AD,交DA的延長線于點(diǎn)G, 第5題解圖 ∵∠AGE=∠GAB=∠ABE=90, ∴四邊形ABEG是矩形,GE=AB, ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=GE=BC=CD=AD=3BE, 又∵BE=1, ∴CE=BC+BE=4, 在Rt△ABE中,由勾股定理得,AE==, 在Rt△CDE中,由勾股定理得,DE==5, ∴S△ADE=ADGE=33=, 又∵S△ADE=AHDE, ∴AH==, 在Rt△AEH中,由勾股定理得EH==, ∴tan∠AED==. 6. (1)證明:連接DE交BF于點(diǎn)O,則DE⊥BF, 第6題解圖 ∵∠ODG+∠OGD=90, ∠CBG+∠CGB=90,∠CGB=∠OGD ∴∠CDE=∠CBG, 又∵BC=DC,∠BCG=∠DCE, ∴△BCG≌△DCE(ASA), ∴CG=CE; (2)解:∵正方形邊長BC=4, ∴BD=BC=4,DC=BC=4, 菱形BDFE的面積為S=44=16, ∴菱形BDFE的面積為16. 7. (1)證明:∵AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F, ∴∠AEB=∠AFD=90, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠ABE=∠ADF, ∴△ABE∽△ADF; (2)證明:∵AG=AH, ∴∠AGH=∠AHG, ∴∠AGB=∠AHD, ∵△ABE∽△ADF, ∴∠BAG=∠DAH, ∴△BAG≌△DAH(ASA), ∴AB=AD, ∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD, ∴平行四邊形ABCD是菱形; (3)解:∵△ADF恰好與△ACE重合, ∴AD=AC,∠FAE即為所求角, 又∵由(2)可得,AD=DC=BC=AB=AC, ∴△ADC和△ACB均為等邊三角形, ∴∠ABC=∠ADC=60,∠BAD=∠BCD=120, 又∵AE⊥BC,AF⊥DC, ∴∠BAE=∠DAF=30, ∴∠FAE=120-30-30=60,即n=60. 8. (1)證明:由折疊的性質(zhì)可得,∠DBC=∠DBF, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴∠DBF=∠ADB, ∴BF=DF, ∴△BDF是等腰三角形; (2)解:①四邊形BFDG是菱形. 理由如下:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,即DF∥BG, ∵DG∥BF, ∴四邊形BFDG是平行四邊形, 由(1)得BF=DF ∴平行四邊形BFDG是菱形; ②∵矩形ABCD中AB=6,AD=8,∠A=90, ∴BD==10, ∵四邊形BFDG是菱形, ∴BD⊥GF,GF=2OF,BD=2OD, ∴OD=5, ∴tan∠ADB===, ∴OF=, ∴FG=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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