九年級數(shù)學(xué)下冊 第6章 圖形的相似 6.4 探索三角形相似的條件 6.4.5 三角形的重心同步練習(xí) （新版）蘇科版.doc

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[6.4　第5課時　三角形的重心] 一、選擇題 1．下列命題中，錯誤的是(　　) A．三角形的重心是三條中線的交點 B．三角形中各條邊的中垂線的交點是三角形的重心 C．三角形的重心一定在三角形內(nèi) D．一個三角形只有一個重心 2．如圖K－19－1，△ABC中，D是△ABC的重心，連接AD并延長，交BC于點E，若BC＝6，則EC的長度為(　　) 圖K－19－1 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．圖K－19－3中的四個三角形，與圖K－19－2中的三角形相似的是(　　) 圖K－19－2 　 圖K－19－3 圖K－19－4 4．如圖K－19－4，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的平分線分別交AB，BD于M，N兩點．若AM＝2，則線段ON的長為(　　) A. B. C．1 D. 二、填空題 5．已知正三角形的邊長為2，則它的重心到三個頂點的距離之和為________． 6．等腰直角三角形ABC中，斜邊AB＝6，則該三角形重心與外心之間的距離是________． 7．如圖K－19－5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD是邊AB上的高，BC＝5，BD＝4，則CD的長為________，AD的長為________． 圖K－19－5 8．如圖K－19－6，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝__________． 圖K－19－6 三、解答題 9．求證：三角形的重心將中線分成2∶1的兩部分． 圖K－19－7 10．如圖K－19－8，已知AD是△ABC的邊BC上的中線，G是三角形的重心，EF過點G且平行于BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn). 求AF∶FC和EF∶BC的值． 圖K－19－8 11.如圖K－19－9，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E. (1)求證：BE＝CE； (2)若BD＝2，BE＝3，求AC的長． 圖K－19－9 12．如圖K－19－10所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF與BD相交于點M. (1)試說明：△EDM∽△FBM； (2)若BD＝9，求BM的長． 圖K－19－10 探究題我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比、面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題： (1)若O是△ABC的重心(如圖K－19－11)，連接AO并延長交BC于點D，證明：＝； (2)若AD是△ABC的一條中線(如圖②)，O是AD上一點，且滿足＝，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由； (3)若O是△ABC的重心，過點O的一條直線分別與AB，AC相交于點G，H(均不與△ABC的頂點重合)(如圖③)，S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值． 圖K－19－11  詳解詳析 [課堂達標] 1．B 2．[解析] C　∵D是△ABC的重心， ∴AE是BC邊上的中線，E是BC的中點． 又∵BC＝6， ∴EC＝3. 故選C. 3．[解析] B　本題方法較多，可以從三邊對應(yīng)成比例入手；還可以通過觀察，發(fā)現(xiàn)原三角形是直角三角形，再根據(jù)其直角邊對應(yīng)成比例入手等． 4．[解析] C　如圖，作MH⊥AC于點H. ∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠MAH＝45， ∴△AMH為等腰直角三角形， ∴AH＝MH＝AM＝2＝. ∵CM平分∠ACB，∠ABC＝90， ∴BM＝MH＝，∴AB＝2＋， ∴AC＝AB＝(2＋)＝2 ＋2， ∴OC＝AC＝＋1，CH＝AC－AH＝2 ＋2－＝2＋. ∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM， ∴＝，即＝，∴ON＝1.故選C. 5．2 6．[答案] 1 [解析] 如圖，∵等腰直角三角形的外心是斜邊的中點D， ∴CD＝AB＝3. ∵I是△ABC的重心， ∴DI＝CD＝1.故答案為1. 7．3　 8．[答案] 4 [解析] 證明△ABC∽△CDE即可． 9．證明：連接EF. ∵BF，CE是△ABC的中線， ∴E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點， ∴EF是△ABC的中位線， 從而BC∥EF，BC＝2EF， ∴△EFG∽△CBG， ∴BG＝2GF，CG＝2EG. 同理，AG＝2DG. ∴三角形的重心將中線分成2∶1的兩部分． 10．[解析] G是三角形的重心，所以可知AG∶GD＝2∶1，AG∶AD＝2∶3，EF∥BC，所以AF∶FC＝AG∶GD＝2∶1，EF∶BC＝AF∶AC＝AG∶AD＝2∶3. 解：∵G是三角形的重心，且AD是BC邊上的中線， ∴AG∶GD＝2∶1，AG∶AD＝2∶3. ∵EF∥BC， ∴AF∶FC＝AG∶GD＝2∶1，EF∶BC＝AF∶AC＝AG∶AD＝2∶3. 11．解：(1)證明：如圖，連接AE. ∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90， ∴AE⊥BC，而AB＝AC，∴BE＝CE. (2)如圖，連接DE. ∵BE＝CE＝3，∴BC＝6. ∵∠BED＋∠DEC＝180，∠BAC＋∠DEC＝180， ∴∠BED＝∠BAC. 又∵∠DBE＝∠CBA， ∴△BED∽△BAC，∴＝，即＝， ∴AB＝9，∴AC＝AB＝9. 12．解：(1)∵E是AB的中點，AB＝2CD， ∴BE＝CD. ∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠EBD. 又∵BD＝DB，∴△CDB≌△EBD， ∴∠CBD＝∠EDB. 又∵∠DME＝∠BMF，∴△EDM∽△FBM. (2)由(1)中△CDB≌△EBD，知BC＝DE. 又∵F是BC的中點，∴＝. 由(1)中△EDM∽△FBM，得＝＝，∴＝，∴BM＝BD＝3. [素養(yǎng)提升] [解析] (1)如圖①，作出中位線DE，證明△AOC∽△DOE，可以證明結(jié)論； (2)如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．由(1)可知，＝，而已知＝，故點O與點Q重合，即點O為△ABC的重心； (3)如答圖3，利用圖形的面積關(guān)系，以及相似線段間的比例關(guān)系，求出的表達式，這是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值． 解：(1)證明：如圖①所示，連接CO并延長，交AB于點E. ∵O是△ABC的重心， ∴CE是中線，E是AB的中點，∴DE是中位線， ∴DE∥AC，且DE＝AC. ∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE， ∴＝＝2. ∵AD＝AO＋OD，∴＝. (2)O是△ABC的重心． 證明：如圖②，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則Q為△ABC的重心． 由(1)可知，＝， 而＝， ∴點Q與點O重合(是同一個點)， ∴O是△ABC的重心． (3)如圖③所示，連接DG. 設(shè)S△GOD＝S，由(1)知＝，即AO＝2OD， ∴S△AGO＝2S，S△AGD＝S△GOD＋S△AGO＝3S. 為簡便起見，不妨設(shè)AG＝1，BG＝x， 則S△BGD＝3xS， ∴S△ABD＝S△AGD＋S△BGD＝3S＋3xS＝(3x＋3)S， ∴S△ABC＝2S△ABD＝(6x＋6)S. 設(shè)OH＝kOG，由S△AGO＝2S，得S△AOH＝2kS， ∴S△AGH＝S△AGO＋S△AOH＝(2k＋2)S. ∴S四邊形BCHG＝S△ABC－S△AGH＝(6x＋6)S－(2k＋2)S＝(6x－2k＋4)S. ∴＝＝①. 如圖③，過點O作OF∥BC交AC于點F，過點G作GE∥BC交AC于點E，則OF∥GE. ∵OF∥BC，∴＝＝， ∴OF＝CD＝BC. ∵GE∥BC，∴＝＝， 從而GE＝，∴＝＝， ∴＝＝. ∵OF∥GE，∴＝， ∴＝＝， ∴k＝，代入①式得 ＝＝＝－x2＋x＋1＝－(x－)2＋， ∴當x＝時，有最大值，最大值為.