2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(第1課時(shí))等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx
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第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路.2.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1,d,n,an,Sn的關(guān)系,能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè).3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)an.知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1定義:對(duì)于數(shù)列an,一般地,稱a1a2a3an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和2表示:常用符號(hào)Sn表示,即Sna1a2a3an.知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng),末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng),公差與項(xiàng)數(shù)求和公式SnSnna1d知識(shí)點(diǎn)三a1,d,n,an,Sn知三求二1在等差數(shù)列an中,ana1(n1)d,Sn或Snna1d.兩個(gè)公式共涉及a1,d,n,an及Sn五個(gè)基本量,它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,項(xiàng)數(shù),項(xiàng)和前n項(xiàng)和2依據(jù)方程的思想,在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量,即“知三求二”知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對(duì)于一般數(shù)列an,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則有an特別提醒:(1)這一關(guān)系對(duì)任何數(shù)列都適用(2)若在由anSnSn1(n2)求得的通項(xiàng)公式中,令n1求得a1與利用a1S1求得的a1相同,則說明anSnSn1(n2)所得通項(xiàng)公式也適合n1的情況,數(shù)列的通項(xiàng)公式用anSnSn1表示若在由anSnSn1(n2)求得的通項(xiàng)公式中,令n1求得的a1與利用a1S1求得的a1不相同,則說明anSnSn1(n2)所得通項(xiàng)公式不適合n1的情況,數(shù)列的通項(xiàng)公式采用分段形式1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S1a1.()2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則anSnSn1,nN.()3等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法()4123100.()題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算例1在等差數(shù)列an中:(1)已知a5a1058,a4a950,求S10;(2)已知S742,Sn510,an345,求n.解(1)方法一由已知條件得解得S1010a1d1034210.方法二由已知條件得a1a1042,S10542210.(2)S77a442,a46.Sn510.n20.反思感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí),要注意方程思想和整體思想的運(yùn)用(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中,已知d2,an11,Sn35,求a1和n.解由得解方程組得或題型二由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn求an例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是什么?解根據(jù)Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n2,nN),當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n2n2n,當(dāng)n1時(shí),a1S1121,也滿足式數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n,nN.an1an2(n1)2,故數(shù)列an是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列引申探究若將本例中前n項(xiàng)和改為Snn2n1,求通項(xiàng)公式解當(dāng)n2時(shí),anSnSn12n.當(dāng)n1時(shí),a1S1121不符合式an反思感悟已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an,先由n1時(shí),a1S1求得a1,再由n2時(shí),anSnSn1求得an,最后驗(yàn)證a1是否符合an,若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示,不符合則分段表示跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n,求an.解當(dāng)n1時(shí),a1S13;當(dāng)n2時(shí),anSnSn-13n3n-123n-1.當(dāng)n1時(shí),代入an23n-1得a123.an題型三等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用例3某人用分期付款的方式購買一件家電,價(jià)格為1150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月,則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢?解設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1,a2,a20,則a15010001%60,a250(100050)1%59.5,a1050(1000950)1%55.5,即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元由于an是以60為首項(xiàng),以0.5為公差的等差數(shù)列,所以有S20201105,即全部付清后實(shí)際付款11051501255(元)反思感悟建立等差數(shù)列的模型時(shí),要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng),甲第1分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇?(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇?解(1)設(shè)n分鐘后兩人第1次相遇,由題意,得2n5n70,整理得n213n1400.解得n7,n20(舍去)所以第1次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇,由題意,得2n5n370,整理得n213n4200.解得n15,n28(舍去)所以第2次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.1已知等差數(shù)列an滿足a11,am99,d2,則其前m項(xiàng)和Sm等于()A2300B2400C2600D2500答案D解析由ama1(m1)d,得991(m1)2,解得m50,所以S5050122500.2記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若S24,S420,則該數(shù)列的公差d等于()A2B3C6D7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d,所以20444d,解得d3.3在一個(gè)等差數(shù)列中,已知a1010,則S19_.答案190解析S1919a101910190.4已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和若S420,a48,則S8_.答案72解析設(shè)an的公差為d,則由解得a1d2,S882272.5已知數(shù)列an滿足a12a2nann(n1)(n2),則an_.答案3(n1)(nN)解析由a12a2nann(n1)(n2),當(dāng)n2,nN時(shí),得a12a2(n1)an1(n1)n(n1),得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1),an3(n1)(n2,nN)又當(dāng)n1時(shí),a11236也適合上式,an3(n1),nN.1求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法,在某些數(shù)列求和中也可能用到2等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量若已知其中三個(gè)量,通過方程思想可求另外兩個(gè)量在利用求和公式時(shí),要注意整體思想的應(yīng)用,注意下面結(jié)論的運(yùn)用:若mnpq,則amanapaq(n,m,p,qN);若mn2p,則aman2ap(m,n,pN)3由Sn與an的關(guān)系求an主要使用an一、選擇題1在等差數(shù)列an中,若a2a88,則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9等于()A18B27C36D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2在20與40之間插入8個(gè)數(shù),使這10個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則這10個(gè)數(shù)的和為()A200B100C90D70答案B解析S10100.3已知數(shù)列an中,a11,anan-1(n2,nN),則數(shù)列an的前9項(xiàng)和等于()A27B.C45D9答案A解析由已知數(shù)列an是以1為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,S99191827.4在等差數(shù)列an和bn中,a125,b175,a100b100100,則數(shù)列anbn的前100項(xiàng)的和為()A10000B8000C9000D11000答案A解析由已知得anbn為等差數(shù)列,故其前100項(xiàng)的和為S10050(2575100)10000.5在等差數(shù)列an中,若S104S5,則等于()A.B2C.D4答案A解析由題意得10a1109d4,10a145d20a140d,10a15d,.6在小于100的自然數(shù)中,所有被7除余2的數(shù)之和為()A765B665C763D663答案B解析a12,d7,2(n1)7100,n15,n14,S1414214137665.7在等差數(shù)列an中,aa2a3a89,且an0,則S10等于()A9B11C13D15答案D解析由aa2a3a89,得(a3a8)29,an0,所以anan-12(n2)所以數(shù)列an是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知an32(n1)2n1,nN.14現(xiàn)有200根相同的鋼管,把它們堆成正三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能少,那么剩余鋼管的根數(shù)為_答案10解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列,最上面一層鋼管數(shù)為1,逐層增加1個(gè)鋼管總數(shù)為123n.當(dāng)n19時(shí),S19190.當(dāng)n20時(shí),S20210200.當(dāng)n19時(shí),剩余鋼管根數(shù)最少,為10根15已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a3a4117,a2a522.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,且bn,求非零常數(shù)c.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,且d0.a3a4a2a522,又a3a4117,a3,a4是方程x222x1170的兩個(gè)根又公差d0,a3a4,a39,a413.an4n3,nN.(2)由(1)知,Snn142n2n,bn.b1,b2,b3.bn是等差數(shù)列,2b2b1b3,2c2c0,c (c0舍去)經(jīng)檢驗(yàn),c符合題意,c.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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