2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 保分專題三 立體幾何 第2講 空間幾何體中的計(jì)算問題練習(xí) 文.doc

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第2講 空間幾何體中的計(jì)算問題 A組　小題提速練 一、選擇題 1．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π　　　　　　　 B．18π C．20π D．28π 解析：由三視圖知該幾何體為球去掉了所剩的幾何體(如圖)，設(shè)球的半徑為R，則πR3＝，故R＝2，從而它的表面積S＝4πR2＋πR2＝17π.故選A. 答案：A 2．將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 解析：由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示． 該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)B.故選B. 答案：B 3．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．8－ B．8－ C．8－π D．8－2π 解析：由三視圖可知，該幾何體的體積是一個(gè)四棱柱的體積減去半個(gè)圓柱的體積，即V＝222－π122＝8－π.故選C. 答案：C 4．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：由題意知，該三棱柱可以看作是長方體的一部分，且長方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為3、4、12，又∵三棱柱的外接球即為長方體的外接球，(2R)2＝32＋42＋122，∴R＝.故選C. 答案：C 5．(2018貴陽模擬)三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則＝，解得R＝5, 由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為＝3，因此三棱錐PABC的高的最大值為5＋3＝8，選C. 答案：C 6．(2017高考全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. 解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－2＝，所以，圓柱的體積V＝π1＝，故選B. 答案：B 7．在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝π3＝.故選B. 答案：B 8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 答案：B 9．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 (　　) A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 答案：C 10．(2018西安質(zhì)量檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 解析：根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示，則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝211＋211＝.故選A. 答案：A 11．(2018唐山統(tǒng)考)三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為(　　) A. B．4π C．8π D．20π 解析：由題意得，此三棱錐外接球即以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑r＝＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝＝，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π，故選C. 答案：C 12．如圖，直三棱柱ABC A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90，△ABC的外接圓圓心N位于BC的中點(diǎn)，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn)．設(shè)正方形BCC1B1邊長為x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R為球的半徑)， ∴2＋2＝1， 即x＝，則AB＝AC＝1， ∴S矩形ABB1A1＝1＝.故選C. 答案：C 二、填空題 13．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：由題意知，該幾何體的三視圖是一個(gè)三棱柱，其體積V＝234＝12. 答案：12 14．(2018洛陽統(tǒng)考)已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝2.若三棱錐DABC體積的最大值為3，則球O的表面積為________． 解析：由題意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圓半徑r＝，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，VDABC＝S△ABCh(h為D到底面ABC的距離)，即3＝h?h＝3，即R＋＝3(R為外接球半徑)，解得R＝2，∴球O的表面積為4π22＝16π. 答案：16π 15．正四面體ABCD的外接球半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為________． 解析：由題意，面積最小的截面是以AB為直徑的圓，在正四面體ABCD中，如圖，設(shè)E為△BCD的中心，連接AE，BE，則球心O在AE上，延長AE交球面于F，則AF是球的直徑，∠ABF＝90，又AE⊥BE，所以在△ABF中，由射影定理得AB2＝AEAF＝4AE，又AE＝＝AB，所以AB＝，故截面面積的最小值為π2＝. 答案： 16．(2018貴州適應(yīng)性考試)已知正三棱柱(底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直)的體積為3 cm3，其所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為________cm2. 解析：球O的表面積最小?球O的半徑R最?。O(shè)正三棱柱的底面邊長為a，高為b，則正三棱柱的體積V＝a2b＝3， 所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圓的半徑r＝a，則R2＝r2＋2＝＋＝＋＝＋，令f(b)＝＋，0＜b＜2R，則f′(b)＝，令f′(b)＝0，解得b＝2 ，當(dāng)0＜b＜2時(shí)，f′(b)＜0，函數(shù)f(b)單調(diào)遞減，當(dāng)b＞2時(shí)，f′(b)＞0，函數(shù)f(b)單調(diào)遞增，所以當(dāng)b＝2時(shí)，f(b)取得最小值3, 即(R2)min＝3，故球O的表面積的最小值為12π. 答案：12π B組　大題規(guī)范練 1．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1的中點(diǎn)． (1)求證：B1D1⊥AE； (2)求證：AC∥平面B1DE. 證明：(1)連接BD， 則BD∥B1D1. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面ABCD， ∴CE⊥BD. 又AC∩CE＝C， ∴BD⊥平面ACE. ∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE. (2)取BB1的中點(diǎn)F，連接AF，CF，EF， 則FC∥B1E， ∴CF∥平面B1DE. ∵E，F(xiàn)是CC1，BB1的中點(diǎn)，∴EF綊BC. 又BC綊AD，∴EF綊AD， ∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED. ∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE， ∴AF∥平面B1DE. ∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE. 又∵AC?平面ACF，∴AC∥平面B1DE. 2．如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)． (1)求證：VB∥平面MOC； (2)求證：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱錐VABC的體積． 解析：(1)證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥VB. 又因?yàn)閂B?平面MOC，所以VB∥平面MOC. (2)證明：因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)C⊥AB. 又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC?平面ABC， 所以O(shè)C⊥平面VAB. 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝， 所以AB＝2，OC＝1. 所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝. 又因?yàn)镺C⊥平面VAB， 所以三棱錐CVAB的體積等于OCS△VAB＝. 又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為. 3．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)． (1)求證：直線AF∥平面PEC； (2)求三棱錐PBEF的表面積． 解析：(1)證明：作FM∥CD交PC于M，連接ME. ∵點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，∴FM綊CD， 又AE綊CD，∴AE綊FM， ∴四邊形AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM， ∵AF?平面PEC，EM?平面PEC， ∴直線AF∥平面PEC. (2)連接ED，BD，可知ED⊥AB， ???AB⊥PE，AB⊥FE， 故S△PEF＝PFED＝＝； S△PBF＝PFBD＝1＝； S△PBE＝PEBE＝＝； S△BEF＝EFEB＝1＝. 因此三棱錐PBEF的表面積SPBEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝. 4．如圖，在單位正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面C1CDD1； (2)在線段A1B上是否存在點(diǎn)G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求點(diǎn)G到平面C1DF的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解析：(1)證明：取BC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M， ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點(diǎn)，∴EM∥DC，F(xiàn)M∥C1C， EM?平面EFM，F(xiàn)M?平面EFM，EM∩FM＝M， DC?平面C1CDD1，C1C?平面C1CDD1，DC∩C1C＝C， ∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF?平面EFM， ∴EF∥平面C1CDD1. (2)取A1B的中點(diǎn)G，連接EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G為中點(diǎn)，∴EG⊥A1B. 連接FG，則FG∥A1C1， ∵正方體棱長為1， 在△A1BC1中，F(xiàn)G＝A1C1＝. 在Rt△FME中，EF＝，在Rt△EAG中，EG＝， ∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1， 又A1B，A1C1?平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1， ∴EG⊥平面A1BC1. 點(diǎn)G到平面C1DF的距離就是點(diǎn)G到平面C1DB的距離． ∵GA∥C1D，∴GA∥平面C1DB， ∴點(diǎn)G到平面C1DB的距離就是點(diǎn)A到平面C1DB的距離．易知S△BDC1＝，S△ABD＝， 點(diǎn)C1到平面ABD的距離為1， 設(shè)點(diǎn)G到平面C1DF的距離為d， 由VC1ABD＝VABDC1得1S△ABD＝dS△BDC1， 即＝d，∴d＝， 即點(diǎn)G到平面C1DF的距離為.