2018-2019學年高二數(shù)學 寒假訓練09 拋物線 文.docx
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寒假訓練09拋物線 典題溫故 [2018哈爾濱聯(lián)考]如圖所示,直線經過拋物線的焦點,且與拋物線相交于,兩點. (1)若,求點的坐標; (2)求線段的長的最小值. 【答案】(1)或;(2)4. 【解析】由,得,其準線方程為,焦點. 設點,. 如圖,分別過點,作準線的垂線,垂足分別為點,. (1)由拋物線的定義可知,. ∵,∴,∴,∴. ∴點的坐標為或. (2)①當直線的斜率存在時,設直線的方程為, 由消去,整理得, ∵直線與拋物線相交于,兩點,∴. 設方程的兩根為,,則, 由拋物線的定義可知,. ②當直線的斜率不存在時,則直線的方程為,與拋物線相交于點,,此時.綜上可得, ∴線段的長的最小值為4. 一、選擇題 1.[2018華師附中]拋物線的焦點坐標為() A. B. C. D. 2.[2018牡丹江一中]如果拋物線的頂點在原點,對稱軸為軸,焦點為,那么拋物線的方程是() A. B. C. D. 3.[2018牡丹江一中]已知是拋物線的焦點,,是該拋物線上的兩點,,則線段的中點到軸的距離為() A. B.1 C. D. 4.[2018棗莊八中]設拋物線的焦點為,過點作直線交拋物線于,兩點,若線段的中點到軸的距離為5,則弦的長為() A.10 B.12 C.14 D.16 5.[2018赤峰二中]如圖,過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、,交其準線于點,若點是的中點,且,則線段的長為() A.5 B.6 C. D. 6.[2018贛州模擬]已知點為拋物線的焦點,為原點,點是拋物線準線上一動點,點在拋物線上,且,則的最小值為() A.6 B. C. D. 7.[2018林芝二中]頂點在原點,且過點的拋物線的標準方程是() A. B. C.或 D.或 8.[2018遂寧期末]設拋物線,過點的直線與拋物線相交于,兩點,為坐標原點,設直線,的斜率分別為,,則() A. B.2 C. D.不確定 9.[2018遂寧期末]已知拋物線上一動點到其準線與到點的距離之和的最小值為,是拋物線的焦點,是坐標原點,則的內切圓半徑為() A. B. C. D. 10.[2018荊州期末]已知拋物線的焦點為,準線為,拋物線上有一點,過點作,垂足為,且,若的面積為,則等于() A. B. C. D. 11.[2018保定期末]已知點是拋物線上一點,,是拋物線上異于的兩點,,在軸上的射影分別為,,若直線與直線的斜率之差為,,,則的面積的最大值為() A.6 B.8 C.10 D.16 12.[2018金山中學]已知拋物線的焦點為,過的直線交拋物線于,兩點(在軸上方),延長交拋物線的準線于點,若,, 則拋物線的方程為() A. B. C. D. 二、填空題 13.[2018烏魯木齊七十中]若點到點的距離比它到直線的距離少1,則動點的軌跡方程是____ 14.[2018銀川一中]已知拋物線的焦點恰好為雙曲線的上焦點,則___. 15.[2018如皋中學]若拋物線上的點到焦點的距離為6,則____. 16.[2018湖南十校期末]已知雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線的準線交于,兩點.為坐標原點.若的面積為2,則的值為_______. 三、解答題 17.[2018成都外國語](1)求與雙曲線有相同的焦點且過點的雙曲線標準方程; (2)求焦點在直線上的拋物線的標準方程. 18.[2018銀川一中]已知點在拋物線上,直線和拋物線交于,兩點,焦點是三角形的重心,是的中點(不在軸上). (1)求點的坐標; (2)求直線的方程. 寒假訓練09拋物線 一、選擇題 1.【答案】D 【解析】將拋物線方程化為標準方程為,可知,∴焦點坐標為,∴選D. 2.【答案】C 【解析】∵拋物線的頂點在原點,對稱軸為軸,焦點為, ∴可設拋物線的方程為, ∵,∴,,選C. 3.【答案】C 【解析】設,,則由拋物線定義得, ∵,∴,∴,即線段的中點橫坐標為, 從而線段的中點到軸的距離為,選C. 4.【答案】D 【解析】由拋物線方程可知,, 由線段的中點到軸的距離為得,∴,故選D. 5.【答案】C 【解析】設、在準線上的射影分別為為、,準線與橫軸交于點,則, 由于點是的中點,,∴,∴, 設,則,即,解得, ∴,故選C. 6.【答案】C 【解析】∵,∴,準線方程為, 設,則,即,代入,得, 不妨取,即, 設關于準線的對稱點為,可得, 故,故選C. 7.【答案】C 【解析】∵拋物線的頂點在原點,且過點, ∴設拋物線的標準方程為或, 將點的坐標代入拋物線的標準方程得, ∴,∴此時拋物線的標準方程為; 將點的坐標代入拋物線的標準方程,同理可得, ∴此時拋物線的標準方程為, 綜上可知,頂點在原點,且過點的拋物線的標準方程是或. 故選C. 8.【答案】C 【解析】設的方程為,,, 由,得,, 又,, ∴,故選C. 9.【答案】D 【解析】通過圖像將到準線的距離轉化為到焦點的距離, 到其準線與到點的距離之和的最小值,也即為最小, 當、、三點共線時取最小值,∴,解得, 由內切圓的面積公式,解得.故選D. 10.【答案】B 【解析】如圖所示,根據(jù)可知為等邊三角形, 設等邊三角形的邊長為,且的面積為, ∴,解得,∴, ∵,∴.故選B. 11.【答案】B 【解析】∵點是拋物線上一點,∴, ∵直線與直線的斜率之差為,設,, ∴,∴,∴, 因此的面積的最大值為,故選B. 12.【答案】C 【解析】設,設直線的傾斜角為, ∴直線的斜率為,∴, ∴直線的方程為, 聯(lián)立,∴,∴,, ∴,,∴,∴直線方程為, 令,∴,∴,∴,∴, ∴,∴.故選C. 二、填空題 13.【答案】 【解析】點到點的距離比它到直線的距離少1, ∴點到點的距離與到直線的距離相等, ∴其軌跡為拋物線,焦點為,準線為, ∴方程為,故答案為. 14.【答案】8 【解析】拋物線的焦點為,雙曲線的焦點為, ∵,∴,∴,故答案為8. 15.【答案】8 【解析】根據(jù)拋物線方程可知準線方程為, ∵拋物線上的點到焦點的距離為6, ∴根據(jù)拋物線的定義可知其到準線的距離為6, ∴,∴.故答案為8. 16.【答案】 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程, 又拋物線的準線方程是, 故,兩點的橫坐標坐標分別是, 又的面積為1,∴, ∵,∴得,故答案為. 三、解答題 17.【答案】(1);(2)或. 【解析】(1)由題得,∴, 設雙曲線的標準方程為,代點的坐標得, 解方程組得,∴. (2)∵焦點在直線上,且拋物線的頂點在原點,對稱軸是坐標軸, 焦點的坐標為或, 若拋物線以軸對稱式,設方程為,,求得,∴此拋物線方程為; 若拋物線以軸對稱式,設方程為,,求得, ∴此拋物線方程為; 故所求的拋物線的方程為或. 18.【答案】(1);(2). 【解析】(1)由點在拋物線上,有,解得. ∴拋物線方程為,焦點的坐標為. 是的重心,是的中點, 設點的坐標為,則,∴點的坐標為. (2)由于線段的中點不在軸上,∴所在的直線不垂直于軸. 設所在直線的方程為, 由消得, ∴,由(2)的結論得,解得, 因此BC所在直線的方程為.- 配套講稿:
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