江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題七 應用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應用題學案.doc
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第1講 函數(shù)、不等式中的應用題 [考情考向分析] 應用題考查是江蘇高考特色，每年均有考查，試題難度中等或中等偏上．命題主要考查學生運用所學知識建立數(shù)學相關模型解決實際問題的能力. 與函數(shù)、不等式有關的應用題，可以通過建立函數(shù)、不等式模型，解決實際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實際問題． 熱點一 和函數(shù)有關的應用題 例1 某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元．為了提高工人的收入，工廠將進行技術改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其他服務行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高2x%. (1)設技術改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數(shù)關系式； (2)當x為多少時，能使這200人的人均年收入達到最大，并求出最大值． 解 (1)y＝ ＝ ＝－[x－25(a＋3)]2＋(a＋3)2＋4. 其中100≤x≤150，x∈N*. (2)①當100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*時， 當x＝25(a＋3)時，y取最大值，即ymax＝(a＋3)2＋4； ②當25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時， 函數(shù)y在[100,150]上單調遞增， ∴當x＝150時，y取最大值，即ymax＝3a＋4. 答 當1≤a≤3，a∈N*，x＝25(a＋3)時，y取最大值(a＋3)2＋4； 當a＞3，a∈N*，x＝150時，y取最大值3a＋4. 思維升華 二次函數(shù)是高考數(shù)學應用題命題的一個重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結論和性質． 跟蹤演練1 某企業(yè)參加A項目生產的工人為1 000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據現(xiàn)實的需要，從A項目中調出x人參與B項目的售后服務工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤10萬元(a＞0)，A項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%. (1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調出多少人參加B項目從事售后服務工作？ (2)在(1)的條件下，當從A項目調出的人數(shù)不能超過總人數(shù)的40%時，能使得A項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)a的取值范圍． 解 (1)根據題意可得(1 000－x)(10＋100.2x%)≥1 00010， 整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500， 最多調出的人數(shù)為500. (2)由解得0≤x≤400. 10x≤(1 000－x)(10＋100.2x%) 對x∈[0,400]恒成立， 即10ax－≤1 00010＋20x－10x－2x2%恒成立， 即ax≤＋x＋1 000對于任意的x∈[0,400]恒成立． 當x＝0時，不等式顯然成立； 當0＜x≤400時， a≤＋＋1＝＋1. 令函數(shù)f(x)＝x＋， 可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù)， 故f(x)min＝f(400)＝1 025， 故＋＋1≥. 故0＜a≤，所以實數(shù)a的取值范圍是. 熱點二 和不等式有關的應用題 例2 秸稈還田是當今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產作用．某農機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137 600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農機戶付費維修保養(yǎng)，所付費用y(元)與使用年數(shù)n的關系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費1 800元，第五年付費6 000元． (1)試求出該農機戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關系式； (2)這臺收割機使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費用－購買機械費用) 解 (1)依題意知，當n＝2時，y＝1 800； 當n＝5時，y＝6 000， 即解得 所以f(n)＝ (2)記使用n年，年均收益為W(元)， 則依題意知，當n≥2時，W＝60 000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)] ＝60 000－ ＝60 000－(137 200＋700n2－300n) ＝60 300－≤60 300－2＝40 700， 當且僅當700n＝，即n＝14時取等號． 所以這臺收割機使用14年，可使年均收益最大． 思維升華 運用基本不等式求解應用題時，要注意構造符合基本不等式使用的形式，同時要注意等號成立的條件． 跟蹤演練2 小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小張在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售收入為(25－x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)． (1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計收入超過總支出？ (2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？ (利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出) 解 (1)設大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元， 則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*， 即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*， 由－x2＋20x－50＞0， 解得10－5＜x＜10＋5，而2＜10－5＜3， 故從第三年開始運輸累計收入超過總支出． (2)因為利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年平均利潤為 ＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25) ＝19－， 又19－≤19－2＝9， 當且僅當x＝5時等號成立． 答 第5年年底出售貨車，獲得的年平均利潤最大． 熱點三 和三角函數(shù)有關的應用題 例3 (2018鎮(zhèn)江期末)如圖，準備在墻上釘一個支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點A，B間距離為1米， AB與桿AC的夾角為60，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設∠ADB＝α，則制作整個支架的總成本記為S元． (1)求S關于α的函數(shù)表達式，并求出α的取值范圍； (2)問AD段多長時，S最?。? 解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝＝， ∴BD＝， AD＝＋， 則S＝a＋ 2a ＋ 4a＝a， 由題意得α∈. (2)令S′＝a＝0，設cos α0＝. α α0 cos α S′ － 0 ＋ S 極小值 ∴當cos α＝時， S最小，此時sin α＝， AD＝＋＝. 思維升華 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，用三角函數(shù)知識來求解． 跟蹤演練3 某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設計要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))．彩門的下底BC固定在廣場底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構成，設腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l. (1)請將l表示成關于α的函數(shù)l＝f(α)； (2)問當α為何值時l最小，并求最小值． 解 (1)過D作DH⊥BC于點H，如圖所示． 則∠DCB＝α，DH＝h， 則DC＝，CH＝. 設AD＝x，BC＝x＋. 因為S＝h，則x＝－， 則l＝f(α)＝2DC＋AD ＝＋h. (2)由(1)可知，l＝f(α)＝＋h， 則f′(α)＝h＝h， 令f′(α)＝h＝0，得α＝. α f′(α) － 0 ＋ f(α) 極小值 所以lmin＝f＝h＋. 1．某學校有長度為14 m 的舊墻一面，現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動室，工程條件是：①建1 m新墻的費用為a元；②修1 m舊墻的費用是元；③ 拆去1 m舊墻所得的材料，建1 m新墻的費用為元，經過討論有兩種方案： (1)利用舊墻的一段x m(0
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