黑龍江省齊齊哈爾市2017-2018學年高一數學下學期期末考試試題（含解析）.doc

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齊齊哈爾市2017—2018學年度高一下學期期末考試 數學試卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1. 已知集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：化簡集合A，然后求交集即可. 詳解：由題意可知：，又 ∴ 故選：D 點睛：本題考查交集及其運算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎題． 2. 《張丘建算經》中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織尺布，一個月（按天計）共織尺布，則從第天起每天比前一天多織布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】依題意可知這是首項為，公差為的等差數列，所以，解得. 3. 若三點、、共線，則有（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】因為三點, ,共線，所以 ， 因此選C. 4. 已知角為第二象限角，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由同角三角函數的基本關系可得tana，代入二倍角的正切公式可得． 詳解：∵a是第二象限角，且sina=， ∴cosa=﹣=， ∴tana==， ∴tan2a==2= 故選：A． 點睛：本題考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函數的基本關系，考查計算能力，屬于基礎題． 5. 在中，若，則與的關系為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：利用正弦定理及大邊對大角即可得到結果. 詳解：由正弦定理知， ∵sinA＞sinB， ∴a＞b， ∴A＞B． 故選：B． 點睛：本題考查了正弦定理的簡單應用，屬于基礎題. 6. 在等比數列中，已知，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用等比數列的性質計算即可. 詳解：設公比為q， ∵，， ∴a3+a3q2+a3q4=21， ∴3+3q2+3q4=21， 解得q2=2 ∴a5=a3q2=32=6， 故選：A ． 點睛：比數列的基本量運算問題的常見類型及解題策略： ①化基本量求通項．求等比數列的兩個基本元素和，通項便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定項．利用通項公式或者等比數列的性質求解． ③化基本量求公比．利用等比數列的定義和性質，建立方程組求解． ④化基本量求和．直接將基本量代入前項和公式求解或利用等比數列的性質求解 7. 已知，，若，則實數的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由向量垂直的條件：即數量積為0，結合向量的平方即為模的平方，計算即可得到t． 詳解：由（+）⊥（+t）， 可得（+）?（+t）=0， 即有+t+（1+t）=0， 又，， 即4+4t﹣（1+t）=0， 解得t=﹣1． 故選：C． 點睛：本題考查向量的數量積的定義和性質，考查向量垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎題． 8. 函數的部分圖象如圖所示，若，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由圖象可得A=1，由周期公式可得=2，代入點（，0）可得值，進而可得f（x）=sin（2x+），再由題意可得x1+x2=，代入計算可得． 詳解：由圖象可得A=1，=，解得=2， ∴f（x）=sin（2x+）， 代入點（，0）可得sin（+）=0 ∴+ =kπ，∴ =kπ﹣，k∈Z 又| |＜，∴ =， ∴f（x）=sin（2x+）， ∴sin（2+）=1，即圖中點的坐標為（，1）， 又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2）， ∴x1+x2=2=， ∴f（x1+x2）=sin（2+）=， 故選：B． 點睛：已知函數的圖象求解析式 (1). (2)由函數的周期求 (3)利用“五點法”中相對應的特殊點求. 9. 若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：函數有兩個零點，構造函數h（x）=x+（x＞0）和g（x）=﹣t，相當于函數在x＞0時，圖象有兩個交點. 詳解：函數有兩個零點， ∴h（x）=x+（x＞0）和g（x）=﹣t有兩個交點， ∵h（x）=x+≥2=， ∴﹣t＞， ∴t＜﹣． 故選：D． 點睛：已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決； (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解． 10. 已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 詳解：如圖所示，設M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點， 則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角 （因異面直線所成角為（0，]）， 可知MN=AB1=，NP=BC1=； 作BC中點Q，則△PQM為直角三角形； ∵PQ=1，MQ=AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+1﹣221（﹣）=7， ∴AC=，∴MQ=； 在△MQP中，MP==； 在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣； 又異面直線所成角的范圍是（0，]， ∴AB1與BC1所成角的余弦值為． 點睛：求異面直線所成角的步驟:1平移,將兩條異面直線平移成相交直線．2定角,根據異面直線所成角的定義找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數求角．4結論． 11. 若等邊的邊長為，為的中點，且上一點滿足：，則當取得最小值時，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 詳解：如圖，可知，x＞0，y＞0； ∵M，A，B三點共線，且； ∴x+y=1； ∴= ≥10+，當，即3y=x時取“=”，即取最小值； 此時x=，； ∵N是AB的中點； ∴ = ==． 故選：C． 點睛：考查向量加法的平行四邊形法則，三點A，B，C共線的充要條件：，且x+y=1，基本不等式的運用，注意基本不等式等號成立的條件，向量數量積的運算及計算公式． 12. 已知函數若對任意的，都有，則實數的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：對任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min，分別求出最值即可得出． 詳解：對任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min， 注意到，又g（x）=|a﹣2|sinx≥﹣|a﹣2|， 故． 故選：D． 點睛：本題考查了函數的單調性、等價轉化方法、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 函數的最大值是__________． 【答案】 【解析】分析：利用兩角和正弦公式簡化為y=，從而得到函數的最大值. 詳解：y=sinx+cosx==． ∴函數的最大值是 故答案為： 點睛：本題考查了兩角和正弦公式，考查了正弦函數的圖象與性質，屬于基礎題. 14. 設是定義在上的周期為的周期函數，如圖表示該函數在區(qū)間上的圖象，則__________． 【答案】2 【解析】分析：由題意結合函數的周期性和函數的圖象整理計算即可求得結果． 詳解：由題意可得： f（2018）=f（2018﹣6733）=f（﹣1）=2， f（2019）=f（2019﹣6733）=f（0）=0， 則． 故選：D． 點睛：本題考查了函數的周期性，函數的圖象表示法等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題． 15. 設，滿足約束條件若目標函數的最大值為，則實數__________． 【答案】1 【解析】分析：先作出不等式組的圖象，利用目標函數的最大值為2，求出交點坐標，代入 =0即可． 詳解：先作出不等式組的圖象如圖， ∵目標函數的最大值為2， ∴z= =2，作出直線 =2， 由圖象知 =2如平面區(qū)域相交A， 由得，即A（，）， 同時A（，）也在直線 =0上， ∴2﹣3 =0， 則b=1， 故答案為：1． 點睛：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數形結合以及目標函數的意義是解決本題的關鍵． 16. 已知三棱錐中，頂點在底面的射影為.給出下列命題： ①若、、兩兩互相垂直，則為的垂心； ②若、、兩兩互相垂直，則有可能為鈍角三角形； ③若，且與重合，則三棱錐的各個面都是直角三角形； ④若，且為邊的中點，則. 其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確的序號都填上） 【答案】①③④ 【解析】分析：利用線面垂直的判定與性質定理逐一判斷即可. 詳解： 若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正確； 若、、兩兩互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的內部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是鈍角三角形，②不正確； 若與重合則PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC， 又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC， 故四個面都是直角三角形，③正確； 當PH⊥平面ABC時，PA2=PH2+HA2， PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2， 因為H是Rt△ABC斜邊AB的中點，所以BH=AH=CH， 故PA=PB=PC，故④正確； 點睛：垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知直線及點. （1）求經過點，且與直線平行的直線方程； （2）求經過點，且傾斜角為直線的傾斜角的倍的直線方程. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）根據平行關系求出直線的斜率，利用點斜式求出方程即可； （2）利用二倍角正切公式求出直線的斜率，利用點斜式求出方程即可. 詳解：（答案一）解：（1）設直線的斜率為，則． 因為所求直線與平行，所以所求直線的斜率， 又所求直線經過點，所以所求直線方程為． （2）依題意，所求直線的斜率． 又所求直線經過點，所以所求直線方程為． （答案二）解：（1）設直線的斜率為，則． 因為所求直線與平行，所以所求直線的斜率， 又所求直線經過點，所以所求直線方程為，即． （2）依題意，所求直線的斜率． 又所求直線經過點，所以所求直線方程為， 即． 點睛：本題考查了求直線方程問題，考查直線的傾斜角問題，屬于基礎題． 18. 已知是公比為正數的等比數列，，. （1）求數列的通項公式； （2）設，求數列的前項和. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）依題意，可求得等比數列{an}的公比q=2，又a1=2，于是可求數列{an}的通項公式； （2），利用裂項相消法求和即可. 詳解：（1）設數列的公比為， 依題意，有整理得，解得（舍去），． 所以數列的通項公式為． （2）由（1）知 所以． 所以． 點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤. 19. 如圖，三棱柱中，點為的中點. （1）求證：平面； （2）若底面為正三角形，，，側面底面，，求四棱錐的體積. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】分析：(1) 連結，設，連結．要證平面，轉證∥即可； （2）因為側面底面，所以正的高就是點到平面的距離, 故，帶入體積公式即可得到結果. 詳解：證明：（1）連結，設，連結． 因為為平行四邊形，所以為中點，從而為的中位線，所以∥． 因為平面，平面，所以∥平面． （2）因為側面底面，所以正的高就是點到平面的距離, 也就是四棱錐的高，由條件得． 因為，所以，所以四棱錐的底面積． 所以四棱錐的體積． 點睛：求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法. ①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值 20. 在中，角、、的對邊分別是、、，若、、成等差數列. （1）求角的大??； （2）若，，求的面積. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）由等差數列和正弦定理以及和差角的三角函數公式可得cosB，由三角形的內角的范圍可得B=； （2）把已知數代入余弦定理整體可得ac=6，代入三角形的面積公式可得． 詳解：（1）因為，，成等差數列，所以， 由正弦定理得，即， 因為，所以，又，所以． （2）由余弦定理：， 得，即． 因為，所以． 所以． 點睛：本題考查正余弦定理解三角形，涉及整體思想和三角形的面積公式，屬于中檔題． 21. 如圖，四棱錐中，底面，，，. （1）若，求證：平面平面； （2）若，且，，求直線和平面所成角的正切值. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】分析：（1）設，由條件推斷出AC⊥BD，根據線面垂直的性質推斷出PA⊥BD，進而利用線面垂直的判定定理推斷出BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，推斷出平面PBD⊥平面PAC． （2）取點，使，連，則∥，連．因為底面，所以底面，所以就是直線與平面所成的角． 詳解：證明：（1）設，若，則，從而∽， 所以，即． 因為底面，所以． 又，所以平面，因為平面，所以平面平面． （2）取點，使，連，則∥，連． 因為底面，所以底面，所以就是直線與平面所成的角． 因為，所以，所以，，，，在中，根據余弦定理，， 得，解得． 所以．所以當時，直線與平面所成角的正切值為． 點睛：求直線和平面所成角的關鍵是作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值，當空間關系較為復雜時也可以建立空間直角坐標系，利用向量求解. 22. 平面內動點到兩定點，距離之比為常數，則動點的軌跡叫做阿波羅尼斯圓.現已知定點、，圓心為， （1）求滿足上述定義的圓的方程，并指出圓心的坐標和半徑； （2）若，且經過點的直線交圓于，兩點，當的面積最大時，求直線的方程. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】分析：（1）根據定義建立等量關系，化簡即可得到圓的方程，進而指出圓心的坐標和半徑； （2）設，則的面積，根據正弦函數的最值得到結果. 詳解：（1）設動點，則， 整理得，圓心，半徑． （2）解法一：在（1）的結果中，令，則得圓的方程為，即. 設，則的面積． 當時，的面積取得最大值8． 此時，直線的斜率存在，設其方程為，圓心到直線的距離，整理得，解得． 所以直線的方程為． （2）解法二：在（1）的結果中，令，則得圓的方程為，即． （?。┊斨本€的斜率不存在時，直線的方程為，可得弦長，所以． （ⅱ）當直線的斜率存在時，設的方程為，圓心到直線的距離，從而弦長． 所以，當且僅當，即時，的面積取得最大值8． 因為，所以面積的最大值為8，此時，由，解得．所以直線的方程為． 點睛：錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；③利用基本不等式求出參數的取值范圍；④利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍．