（浙江專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 專題9 平面解析幾何 第78練 高考大題突破練—圓錐曲線中的定點、定值問題練習（含解析）.docx
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第78練 高考大題突破練—圓錐曲線中的定點、定值問題 [基礎保分練] 1.(2019嘉興模擬)點P(1,1)為拋物線y2＝x上一定點，斜率為－的直線與拋物線交于A，B兩點. (1)求弦AB中點M的縱坐標； (2)點Q是線段PB上任意一點(異于端點)，過Q作PA的平行線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，求證：|QE||QF|－|QP||QB|為定值. 2.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且點P為橢圓E上一點.點A，B為橢圓E的上、下頂點，動點M在第一象限內且坐標為(m,2)，過點M作直線MA，MB分別交橢圓E于C，D兩點. (1)求橢圓E的標準方程； (2)直線CD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由. 3.設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，右焦點到直線＋＝1的距離d＝，O為坐標原點. (1)求橢圓C的方程； (2)過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明：點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值. [能力提升練] 4.平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率是，拋物線E：x2＝2y的焦點F是C的一個頂點. (1)求橢圓C的方程； (2)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M. ①求證：點M在定直線上； ②直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時點P的坐標. 答案精析 基礎保分練 1．(1)解 (1)kAB＝＝＝－，(*) ∴yA＋yB＝－2，∴M點縱坐標為－1. (2)證明 設Q(x0，y0)，直線EF：x－x0＝t1(y－y0)，直線PB：x－x0＝t2(y－y0)， 聯(lián)立方程組 得y2－t1y＋t1y0－x0＝0， 所以yE＋yF＝t1，yEyF＝t1y0－x0， |QE||QF|＝|yE－y0||yF－y0|＝(1＋t)|y－x0|. 同理|QP||QB|＝(1＋t)|y－x0|. 由(*)可知，t1＝＝＝y(tǒng)A＋yP，t2＝＝y(tǒng)B＋yP， 所以t1＋t2＝(yA＋yB)＋2yP＝－2＋2＝0， 即t1＝－t2，即t＝t， 所以|QE||QF|＝|QP||QB|， 即|QE||QF|－|QP||QB|＝0為定值． 2．解 (1)由e＝＝，可得a＝2b，將代入橢圓E的方程， 得＋＝1，解得b＝1，a＝2， ∴橢圓E的標準方程為＋y2＝1. (2)由題意，得A(0,1)，B(0，－1)， 則直線MA的方程為y＝＋1，直線MB的方程為y＝－1， 聯(lián)立 ∴xC＝，xD＝. ∴C，D， ∴kCD＝＝， 則直線CD的方程為y＝x＋， ∴直線CD過定點. 3．解 (1)由e＝，得＝，即a＝2c，∴b＝c. 由右焦點到直線＋＝1的距離d＝，得＝，解得a＝2，b＝. ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 當直線AB的斜率不存在時，x2＝x1，y1＝－y2，∴y＝x. 又＋＝1， 解得|x1|＝＝， 即點O到直線AB的距離d＝； 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋m， 與橢圓的方程＋＝1聯(lián)立并消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， ∴(k2＋1)－＋m2＝0， 整理得7m2＝12(k2＋1)， ∴點O到直線AB的距離d＝＝＝. ∴點O到直線AB的距離為定值. ∵OA⊥OB， ∴OA2＋OB2＝AB2≥2OAOB， 當且僅當OA＝OB時取“＝”． 由dAB＝OAOB，得 dAB＝OAOB≤， ∴AB≥2d＝， 即弦AB長度的最小值是. 能力提升練 4．(1)解 由題意知＝， 可得a2＝4b2，因為拋物線E的焦點為 F，所以b＝，a＝1， 所以橢圓C的方程為x2＋4y2＝1. (2)①證明 設P(m>0)， 由x2＝2y，可得y′＝x，所以直線l的斜率為m， 因此直線l的方程為y－＝m(x－m)，即y＝mx－. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 聯(lián)立方程 得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0. 由Δ>0，得0
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