2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 1.1 簡單形式的柯西不等式學(xué)案 北師大版選修4-5.docx

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1.1　簡單形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.認(rèn)識簡單形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式，會求某些特定形式的函數(shù)的最值． 知識點　簡單形式的柯西不等式 思考1　(a2＋b2)(c2＋d2)與4abcd的大小關(guān)系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)與(ac＋bd)2的大小關(guān)系又如何？ 答案　(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 思考2　當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且c＝d時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么條件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2? 答案　當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2. 思考3　若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？ 答案　≥|ac＋bd|. 梳理　(1)簡單形式的柯西不等式 ①定理1：對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立． ②簡單形式的柯西不等式的推論 (a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d為非負(fù)實數(shù))； ≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． 以上不等式，當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立． (2)柯西不等式的向量形式 設(shè)α，β是任意兩個向量，則|α||β|≥|αβ|，當(dāng)向量α，β共線時，等號成立． 類型一　利用柯西不等式證明不等式 例1　(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：|ax＋by|≤1； (2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥(a＋b＋c)． 證明　(1)|ax＋by|＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)ay＝bx時，等號成立． (2)由柯西不等式，得≥a＋b， 即≥a＋b. 同理，≥b＋c，≥a＋c. 將上面三個同向不等式相加，得 (＋＋)≥2(a＋b＋c)． ∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． ＋＋≥(a＋b＋c)． 反思與感悟　利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d∈R＋.找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù)，當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時，需分析，增補(特別是對數(shù)字的增補：如a＝1a)，變形等． 跟蹤訓(xùn)練1　已知a1，a2，b1，b2∈R＋，求證：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 證明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋， ∴(a1b1＋a2b2)＝ ≥2＝(a1＋a2)2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b1＝b2時，等號成立． ∴(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 例2　若實數(shù)x，y，z滿足x2＋4y2＋z2＝3，求證：|x＋2y＋z|≤3. 證明　因為x2＋4y2＋z2＝3， 所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2 . 整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3. 反思與感悟　(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”，構(gòu)造使用柯西不等式的條件． (2)此類題也可以用三角不等式，把△ABO的三個頂點分別設(shè)為O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可． 跟蹤訓(xùn)練2　若a>b>c，求證：＋≥. 證明　∵a－c＝(a－b)＋(b－c)， 又a>b>c， ∴a－c>0，a－b>0，b－c>0. ∴(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)] ≥(1＋1)2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時，等號成立． ∴＋≥. 類型二　利用柯西不等式求最值 例3　若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點． 解　由柯西不等式，得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 即25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立，點(x，y)為所求最小值點． 解方程組得 因此，當(dāng)x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為. 反思與感悟　利用柯西不等式求最值 (1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件． (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧． (3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤．多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 跟蹤訓(xùn)練3　已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值． 解　由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2， ∵9a2＋4b2＝18， ∴36≥(3a＋2b)2. ∴|3a＋2b|≤6. 由 即或時等號成立． ∴當(dāng)a＝1，b＝時，3a＋2b有最大值6； 當(dāng)a＝－1，b＝－時，3a＋2b有最小值－6. 1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的最大值為(　　) A．4 B．2 C．8 D．9 答案　B 解析　(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)3b＝2a時取等號，所以(3a＋2b)2≤413.所以3a＋2b的最大值為2. 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A．a(chǎn)b≤ B．a(chǎn)b≥ C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3 答案　C 解析　∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立，∴a2＋b2≥2. 3．設(shè)xy＞0，則的最小值為________． 答案　9 解析　∵＝≥(1＋2)2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)xy＝，即xy＝時取等號． ∴最小值為9. 4．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________． 答案　 解析　∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25， ∴m2＋n2≥5. ∴≥， 當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時取等號． 5．已知a2＋b2＝1，求證：|acosθ＋bsinθ|≤1. 證明　∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)≥(acosθ＋bsinθ)2， ∴|acosθ＋bsinθ|≤1. 1．利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù)，應(yīng)用時要對照柯西不等式的原形，進(jìn)行多角度的嘗試． 2．柯西不等式取等號的條件的記憶方法 如(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等號成立的條件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，則ad＝bc來聯(lián)想記憶． 一、選擇題 1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關(guān)系是(　　) A．P≤Q B．P＜Q C．P≥Q D．P＞Q 答案　A 解析　設(shè)m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|mn|≤|m||n|＝ ＝＝， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q. 2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．(－，) 答案　A 解析　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－b 時，等號成立． ∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20. ∴－2≤a－b≤2. 3．函數(shù)y＝＋2的最大值是(　　) A. B. C．3 D．5 答案　B 解析　根據(jù)柯西不等式知， y＝1＋2≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號)． 4．若3x2＋2y2≤1，則3x＋2y的取值范圍是(　　) A．[0，] B．[－，0] C．[－，] D．[－5,5] 答案　C 解析　(3x＋2y)2≤[()2＋()2][(x)2＋(y)2]＝5(3x2＋2y2)≤5， ∴－≤3x＋2y≤. 5．已知a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝，則P與Q的大小關(guān)系為(　　) A．P≤Q B．P＜Q C．P≥Q D．P＝Q 答案　A 解析　∵P＝＋≤ ＝＝Q， ∴P≤Q. 6．已知a，b＞0，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D．12 答案　D 解析　(＋)2＝(1＋1)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1) ＝2[4(a＋b)＋2]＝2(41＋2)＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時等號成立． 二、填空題 7．設(shè)實數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值為________． 答案　 解析　由柯西不等式，得 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2] ＝(3x2＋2y2)≤6＝11 ， 所以2x＋y≤. 8．設(shè)x，y∈R＋，則(x＋y)的最小值是________． 答案　5＋2 解析　(x＋y)≥2＝(＋)2＝5＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立． 9．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則2x＋y的最小值為________． 答案　3＋2 解析　2x＋y＝(2x＋y)＝[()2＋()2] ≥2＝3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立， 又＋＝1， 則此時 10．已知函數(shù)f(x)＝3＋4，則函數(shù)f(x)的最大值為________． 答案　5 解析　由柯西不等式知， (3＋4)2≤(32＋42)[()2＋()2]＝25. 當(dāng)且僅當(dāng)3＝4時，等號成立， 因此f(x)≤5. 三、解答題 11．設(shè)a，b∈R＋，且a＋b＝2.求證：＋≥2. 證明　根據(jù)柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2] ≥2＝(a＋b)2＝4， ∴＋≥＝2. ∴原不等式成立． 12．試求函數(shù)f(x)＝3cosx＋4的最大值，并求出相應(yīng)的sinx和cosx的值． 解　設(shè)m＝(3,4)，n＝(cosx，)， 則f(x)＝3cosx＋4＝mn≤|m||n| ＝＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時，上式取“＝”． 此時3－4cosx＝0， 解得sinx＝，cosx＝. 故當(dāng)sinx＝，cosx＝時， f(x)＝3cosx＋4取得最大值5. 13．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. 證明　由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)， 及柯西不等式，可得 (ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(＋)2＝(a＋b)2＝x1x2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x1＝x2時取得等號． 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. 四、探究與拓展 14．若a＋b＝1，則2＋2的最小值為(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　2＋2＝a2＋2＋＋b2＋2＋. ∵a＋b＝1， ∴a2＋b2＝(a2＋b2)(1＋1)≥(a＋b)2＝. 又∵＋≥≥＝8， 以上兩個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立． ∴2＋2≥＋2＋2＋8＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立． 15．已知關(guān)于x的不等式|x＋a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}． (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求＋的最大值． 解　(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a， 則解得a＝－3，b＝1. (2)＋＝＋≤＝2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝1時等號成立， 故(＋)max＝4.