廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢九 解析幾何 文.docx
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單元質(zhì)檢九解析幾何(時(shí)間:100分鐘滿(mǎn)分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.(2018全國(guó),文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()A.13B.12C.22D.223答案C解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.2.到直線(xiàn)3x-4y+1=0的距離為3,且與此直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0答案D解析設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x-4y+m=0,由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直線(xiàn)方程為3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)共有()A.2條B.3條C.4條D.6條答案C解析過(guò)原點(diǎn)與圓x2+(y-2)2=1相切的直線(xiàn)有2條;斜率為-1且與圓x2+(y-2)2=1相切的直線(xiàn)也有2條,且此兩條切線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn),由此可得與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)共有4條.4.若雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則該雙曲線(xiàn)的方程為()A.x2-y2=1B.x22-y2=1C.x2-y22=1D.x23-y22=1答案A解析橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)位于x軸,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,據(jù)此可知,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),結(jié)合題意可知,雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位于x軸,且c=2,a=1,b=1,則該雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=1.5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)與雙曲線(xiàn)x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是()A.33B.22C.14D.12答案D解析由題意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=c2.因?yàn)閏是a,m的等比中項(xiàng),所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.6.過(guò)點(diǎn)A(0,3),被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為23的直線(xiàn)方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=0答案B解析當(dāng)弦所在的直線(xiàn)斜率不存在時(shí),即弦所在直線(xiàn)方程為x=0;此時(shí)被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為23.當(dāng)弦所在的直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)弦所在直線(xiàn)l的方程為y=kx+3,即kx-y+3=0.因?yàn)橄议L(zhǎng)為23,圓的半徑為2,所以弦心距為22-(3)2=1.由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.綜上所述,所求直線(xiàn)方程為x=0或y=-43x+3.7.(2018吉林長(zhǎng)春第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn),則ABF1內(nèi)切圓的半徑為()A.43B.1C.45D.34答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知ABF1的周長(zhǎng)為4a=8,ABF1的面積為12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故選D.8.(2018山東德州期末)若雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn),F(0,-2)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),過(guò)F的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)相交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1),則雙曲線(xiàn)的方程為()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1D.x2-y23=1答案B解析由題意設(shè)該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),則y12a2-x12b2=1,且y22a2-x22b2=1,則(y1+y2)(y1-y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,則y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,即b2=3a2,則c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即該雙曲線(xiàn)的方程為y2-x23=1.故選B.9.設(shè)雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1的兩條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x=a2c分別交于A,B兩點(diǎn),F為該雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn).若60AFB90,則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是()A.(1,2)B.(2,2)C.(1,2)D.(2,+)答案B解析雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1的兩條漸近線(xiàn)方程為y=bax,當(dāng)x=a2c時(shí),y=abc,所以不妨令A(yù)a2c,abc,Ba2c,-abc.因?yàn)?0AFB90,所以33kFB1,即33abcc-a2c1,即33ab1.所以13a2c2-a21,即1e2-13,故2e0)與雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)A,B(A,B異于原點(diǎn)),拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線(xiàn)的離心率為2,|AF|=7,則p=()A.3B.6C.12D.42答案B解析因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為2,所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,所以雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的兩條漸近線(xiàn)方程為y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0,故xA=xB=23p.又因?yàn)閨AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.12.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線(xiàn)l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1答案A解析如圖,取橢圓的左焦點(diǎn)F1,連接AF1,BF1.由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知四邊形AF1BF是平行四邊形,則|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨設(shè)M(0,b),則|30-4b|32+(-4)245,即b1.所以e=ca=1-ba21-122=32.因?yàn)?e1,所以00).又直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4,所以4a=4,即a=1.所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)x2=2py(p0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.答案y=22x解析拋物線(xiàn)x2=2py的焦點(diǎn)F0,p2,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-p2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.聯(lián)立雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=22x.15.設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,已知點(diǎn)C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A,若FAC=120,則圓的方程為.答案(x+1)2+(y-3)2=1解析拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-1,由題意可設(shè)圓C的方程為(x+1)2+(y-b)2=1(b0),則C(-1,b),A(0,b).FAC=120,kAF=tan120=-3,直線(xiàn)AF的方程為y=-3x+3.點(diǎn)A在直線(xiàn)AF上,b=3.則圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1.16.若關(guān)于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲線(xiàn)C,給出下列四個(gè)命題:若C為橢圓,則1t4或t1;曲線(xiàn)C不可能是圓;若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則1t0,t-10,且4-tt-1,解得1t4,且t52,所以不正確;若C為雙曲線(xiàn),則有(4-t)(t-1)4或tt-10,解得1t0).設(shè)拋物線(xiàn)W的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB的下方.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)C為W上一點(diǎn),且ABAC,過(guò)B,C兩點(diǎn)分別作W的切線(xiàn),記兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為D,判斷四邊形ABDC是否為梯形,并說(shuō)明理由.解(1)拋物線(xiàn)y=x2的焦點(diǎn)為0,14.由題意,得直線(xiàn)AB的方程為y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直線(xiàn)AB與y軸相交于點(diǎn)(0,1-k).因?yàn)閽佄锞€(xiàn)W的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB的下方,所以1-k14,解得k0,所以0kb0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),以原點(diǎn)O為圓心,OF為半徑的圓與橢圓在y軸右側(cè)交于A,B兩點(diǎn),且AOB為正三角形.(1)求橢圓方程;(2)過(guò)圓外一點(diǎn)M(m,0)(ma),作傾斜角為56的直線(xiàn)l交橢圓于C,D兩點(diǎn),若點(diǎn)F在以線(xiàn)段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍.解(1)AOB為正三角形,且A,B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),OF=2,OA=OF=2.yA=1,xA=3,即點(diǎn)A(3,1),3a2+1b2=1,又c=2,解得a2=6,b2=2,故橢圓方程為x26+y22=1.(2)易知直線(xiàn)l:y=-33(x-m)(m6),聯(lián)立x26+y22=1,y=-33(x-m)消去y得2x2-2mx+m2-6=0,由0,得4m2-8(m2-6)0,即-23m23.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=m,x1x2=m2-62,y1y2=-33(x1-m)-33(x2-m)=13x1x2-m3(x1+x2)+m23.又FC=(x1-2,y1),FD=(x2-2,y2),則FCFD=(x1-2)(x2-2)+y1y2=43x1x2-m+63(x1+x2)+m23+4=43m2-62-m+63m+m23+4=2m(m-3)3,F在圓E的內(nèi)部,FCFD0,2m(m-3)30,解得0m3,又6m23,6m0),p2=2,解得p=4.拋物線(xiàn)E的方程為y2=8x.(2)2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng),|BC|=2r,|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.討論:若l垂直于x軸,則l的方程為x=2,代入y2=8x,解得y=4.此時(shí)|AD|=8,不滿(mǎn)足題意;若l不垂直于x軸,則設(shè)l的斜率為k(k0),此時(shí)l的方程為y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2.拋物線(xiàn)E的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4,4k2+8k2+4=10,解得k=2.當(dāng)k=2時(shí),k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化為x2-6x+4=0.(-6)2-4140,x2-6x+4=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.k=2滿(mǎn)足題意.存在滿(mǎn)足要求的直線(xiàn)l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.22.(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),EFA的面積為b22.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AE上,|FQ|=32c,延長(zhǎng)線(xiàn)段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PMQN,且直線(xiàn)PM與直線(xiàn)QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.求直線(xiàn)FP的斜率;求橢圓的方程.解(1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因?yàn)?e0),則直線(xiàn)FP的斜率為1m.由(1)知a=2c,可得直線(xiàn)AE的方程為x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,與直線(xiàn)FP的方程聯(lián)立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線(xiàn)FP的斜率為34.由a=2c,可得b=3c,故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1.由得直線(xiàn)FP的方程為3x-4y+3c=0,與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得點(diǎn)Pc,3c2,進(jìn)而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)即為PM與QN這兩條平行直線(xiàn)間的距離,故直線(xiàn)PM和QN都垂直于直線(xiàn)FP.因?yàn)镼NFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面積為12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面積等于75c232,由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,橢圓的方程為x216+y212=1.- 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