（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學大一輪復習 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理、排列與組合精練.docx

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10.1　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理、排列與組合 【真題典例】 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯(lián)考點 計數(shù)原理、排列與組合 1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 2.理解排列、組合的概念,能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式,能解決簡單的實際問題 2017天津,14 排列與組合 分類加法計數(shù)原理 ★☆☆ 分析解讀　　1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的共同點是把一個原始事件分解成若干個事件來完成,兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關,一個與分步有關,這兩個原理是最基本也是最重要的原理.2.理解排列、組合及排列數(shù)與組合數(shù)公式,排列與組合的綜合是高頻考點.本節(jié)在高考中單獨考查時,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值約為5分,屬中檔題;本節(jié)內(nèi)容還經(jīng)常與概率、分布列問題相結(jié)合,出現(xiàn)在解答題的第(1)問中,難度中等或中等偏上. 破考點 【考點集訓】 考點　計數(shù)原理、排列與組合 1.(2017課標Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有(　　) A.12種　　　　B.18種　　　　C.24種　　　　D.36種 答案　D　 2.將7個座位連成一排,安排4個人就座,恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有(　　) A.240種　　　　B.480種　　　　C.720種　　　　D.960種 答案　B　 3.無償獻血是踐行社會主義核心價值觀的具體行動,現(xiàn)需要在報名的2名男教師和6名女教師中選擇5人參加無償獻血,要求男、女教師都有,則不同的選擇方法的種數(shù)為　　　　.(結(jié)果用數(shù)字表示) 答案　50 4.在一次數(shù)學會議中,有五位老師來自A,B,C三所學校,其中A學校有2位,B學校有2位,C學校有1位.現(xiàn)在五位老師站成一排照相,若要求來自同一學校的老師不相鄰,則共有　　　　種不同的站隊方法. 答案　48 煉技法 【方法集訓】 方法1　排列問題的常見解法 1.(2014遼寧,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A.144　　　　B.120　　　　C.72　　　　D.24 答案　D　 2.(2014重慶,9,5分)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　) A.72　　　　B.120　　　　C.144　　　　D.168 答案　B　 3.在一項太空實驗中,要先后實施6個程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序B和C在實施時必須相鄰,則實驗順序的編排方法共有(　　) A.34種　　　　B.48種　　　　C.96種　　　　D.144種 答案　C　 方法2　組合問題的常見解法 4.(2014大綱全國,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.則不同的選法共有　(　　) A.60種　　　　B.70種　　　　C.75種　　　　D.150種 答案　C　 5.(2014安徽,8,5分)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60的共有(　　) A.24對　　　　B.30對　　　　C.48對　　　　D.60對 答案　C　 6.大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,其中2人恰好乘坐同一部電梯,則不同的乘坐方式有　　　　種.(用數(shù)字作答) 答案　36 方法3　分組與分配問題的解題技巧 7.按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析　(1)無序不均勻分組問題. 先選1本,有C61種選法;再從余下的5本中選2本,有C52種選法;最后余下3本全選,有C33種選法.故共有分配方式C61C52C33=60種. (2)有序不均勻分組問題. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基礎上,還應考慮再分配,共有分配方式C61C52C33A33=360種. (3)無序均勻分組問題. 先分三步選,每步選2本,則有C62C42C22種方法,但是這里出現(xiàn)了重復.不妨記六本書為A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則C62C42C22種分法中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有A33種情況,而這A33種情況僅是AB,CD,EF的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有C62C42C22A33=15種. (4)有序均勻分組問題. 在(3)的基礎上再分配給3個人,共有分配方式C62C42C22A33A33=C62C42C22=90種. (5)無序部分均勻分組問題. 共有分配方式C64C21C11A22=15種. (6)有序部分均勻分組問題. 在(5)的基礎上再分配給3個人,共有分配方式C64C21C11A22A33=90種. (7)直接分配問題. 甲選1本,有C61種方法;乙從余下的5本中選1本,有C51種方法;余下4本留給丙,有C44種方法.共有分配方式C61C51C44=30種. 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 　(2017天津,14,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有　　　　個.(用數(shù)字作答) 答案　1080 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 1.(2016四川,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A.24　　　　B.48　　　　C.60　　　　D.72 答案　D　 2.(2016課標Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A.24　　　　B.18　　　　C.12　　　　D.9 答案　B　 3.(2016課標Ⅲ,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　) A.18個　　　　B.16個　　　　C.14個　　　　D.12個 答案　C　 4.(2015四川,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有(　　) A.144個　　　　B.120個　　　　C.96個　　　　D.72個 答案　B　 5.(2018課標Ⅰ,15,5分)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有　　　　種.(用數(shù)字填寫答案) 答案　16 6.(2017浙江,16,4分)從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有　　　　種不同的選法.(用數(shù)字作答) 答案　660 C組　教師專用題組 1.(2014福建,10,5分)用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是(　　) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5　　　　C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 答案　A　 2.(2013四川,8,5分)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中,每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數(shù)是(　　) A.9　　　　B.10　　　　C.18　　　　D.20 答案　C　 3.(2013山東,10,5分)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(　　) A.243　　　　B.252　　　　C.261　　　　D.279 答案　B　 4.(2013福建,5,5分)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為(　　) A.14　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.10 答案　B　 5.(2015廣東,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了　　　　條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 答案　1560 6.(2013浙江,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B在C的同側(cè),則不同的排法共有　　　　種.(用數(shù)字作答) 答案　480 7.(2013重慶,13,5分)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是　　　　.(用數(shù)字作答) 答案　590 8.(2018江蘇,23,10分)設n∈N*,對1,2,…,n的一個排列i1i2…in,如果當sit,則稱(is,it)是排列i1i2…in的一個逆序,排列i1i2…in的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù),例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2,…,n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù). (1)求f3(2),f4(2)的值; (2)求fn(2)(n≥5)的表達式(用n表示). 解析　本小題主要考查計數(shù)原理、排列等基礎知識,考查運算求解能力和推理論證能力. (1)記τ(abc)為排列abc的逆序數(shù),對1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2. 對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數(shù)字4添加進去,4在新排列中的位置只能是最后三個位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數(shù)為0的排列只有一個:12…n,所以fn(0)=1.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列,所以fn(1)=n-1. 為計算fn+1(2),當1,2,…,n的排列及其逆序數(shù)確定后,將n+1添加進原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置. 因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 當n≥5時,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22. 因此,當n≥5時,fn(2)=n2-n-22. 疑難突破　要做好本題,關鍵是理解“逆序”“逆序數(shù)”“fn(k)”的含義,不妨從比較小的1,2,3入手去理解這幾個概念,這樣就能得到f3(2).f4(2)是指1,2,3,4這4個數(shù)中逆序數(shù)為2的全部排列的個數(shù),可以通過與f3(2),f3(1),f3(0)聯(lián)系得到,4分別添加在f3(2)的排列中最后一個位置、f3(1)的排列中的倒數(shù)第2個位置、f3(0)的排列中的倒數(shù)第3個位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)與fn(2),fn(1),fn(0)的關系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,從而得到fn(2)(n≥5)的表達式. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2017天津耀華中學一模,6)將標號為1,2,…,10的10個球放入標號為1,2,…,10的10個盒子里,每個盒內(nèi)放一個球,恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法種數(shù)為(　　) A.120　　　　B.240　　　　C.360　　　　D.720 答案　B　 2.(2018天津一中5月月考,8)將數(shù)“124470”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A.180　　　　B.192　　　　C.204　　　　D.264 答案　C　 3.(2018天津蘆臺一中三模,6)學校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔任辯論賽中的一、二、三、四辯手,其中男生甲不適合擔任一辯手,女生乙不適合擔任四辯手.現(xiàn)要求:如果男生甲入選,則女生乙必須入選,那么不同的組隊形式有(　　) A.360種　　　　B.570種　　　　C.720種　　　　D.930種 答案　D　 4.(2018天津南開一模,7)如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現(xiàn)用3種不同的顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有(　　) A.6種　　　　B.9種　　　　C.12種　　　　D.36種 答案　C　 二、填空題(每小題5分,共50分) 5.(2018天津河東一模,14)從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字,從1,3,5,7中任取2個數(shù)字,組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的四位數(shù)共有　　　　個.(用數(shù)字作答) 答案　300 6.(2018天津河北一模,13)六張卡片上分別寫有數(shù)字0,1,2,3,4,5,從中任取四張排成一排,則可以組成不同的四位奇數(shù)的個數(shù)是　　　　.(用數(shù)字作答) 答案　144 7.(2018天津紅橋一模,12)某班的小型聯(lián)歡會共有5個節(jié)目,其中甲同學的節(jié)目不能安排在第三個,乙同學不能第一個上場,則這5個節(jié)目的出場順序有　　　　種(用數(shù)字作答). 答案　78 8.(2018天津河東三模,12)一共有5名同學參加《我的中國夢》演講比賽,3名女生和2名男生,如果男生不排第一個演講,同時兩名男生不能相鄰演講,則排序方式有　　　　種.(用數(shù)字作答) 答案　36 9.(2018天津部分區(qū)縣二模,12)天津大學某學院欲安排4名畢業(yè)生到某外資企業(yè)的三個部門A、B、C實習,要求每個部門至少安排1人,其中甲大學生不被安排到A部門工作的方法有　　　　種(用數(shù)字作答). 答案　24 10.(2018天津九校聯(lián)考,14)由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù),要求奇數(shù)不相鄰,且4不在百位,則這樣的六位數(shù)共有　　　　個. 答案　120 11.(2018天津耀華中學二模,14)6名教師分配到3所師資薄弱學校去支教,每個學校至少分配一名教師,甲、乙兩人不能去同一所學校,丙、丁兩人必須去同一所學校,共有　　　　種分配方法(用數(shù)字作答). 答案　114 12.(2018天津濱海新區(qū)七校聯(lián)考,14)3個男生和3個女生排成一列,若男生甲與另外兩個男同學都不相鄰,則不同的排法共有　　　　種(用數(shù)字作答). 答案　288 13.(2018天津和平二模,14)從0,1,2,3,4,5,6,7這八個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),則組成的四位數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)為　　　　(用數(shù)字作答). 答案　360 14.(2018天津河西一模,14)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字,且至多有兩個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有　　　　個.(用數(shù)字作答) 答案　246