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第3講 解析幾何的綜合問題
[考情考向分析] 江蘇高考解析幾何的綜合問題包括:探索性問題、定點(diǎn)與定值問題、范圍與最值問題等,一般試題難度較大.這類問題以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式等諸多知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解,對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、計(jì)算能力等有較高的要求.
熱點(diǎn)一 最值、范圍問題
例1 (2018南通模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A,F(xiàn),右準(zhǔn)線為m,
(1)若直線m上不存在點(diǎn)Q,使△AFQ為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)e取最大值時(shí),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),設(shè)B,M,N是橢圓上的三點(diǎn),且=+,求以線段MN的中點(diǎn)為圓心,過A,F(xiàn)兩點(diǎn)的圓的方程.
解 (1)設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)是R,
依題意FR≥FA,
即-c≥a+c,≥a+2c,≥1+2,≥1+2e,
2e2+e-1≤0,0
b>0)的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,點(diǎn)A,B,C分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),過點(diǎn)C的直線l交橢圓于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)M(x1,0),直線AC與直線BD交于點(diǎn)N(x2,y2).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若=2,求直線l的方程;
(3)求證:x1x2為定值.
(1)解 由橢圓的離心率為,焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
得解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)解 由(1)知C(0,1),設(shè)D(x0,y0),
由=2,得2y0=-1,所以y0=-,
代入橢圓方程得x0=或-,
所以D或D,
所以kl==-或kl==.
所以直線l的方程為x-2y+2=0或x+2y-2=0.
(3)證明 設(shè)D(x3,y3),由C(0,1),M(x1,0)可得直線CM的方程為y=-x+1,
聯(lián)立橢圓方程得
解得x3=,y3=.
由B(,0) ,得直線BD的方程為
y=(x-),
因?yàn)辄c(diǎn)N(x2,y2)在直線BD上,
所以y2=(x2-),①
直線AC的方程為y=x+1,
因?yàn)辄c(diǎn)N(x2,y2)在直線AC上,所以y2=x2+1,②
聯(lián)立①②得x2=,
從而x1x2=2為定值.
1.(2017江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上,且位于第一象限,過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c.
因?yàn)闄E圓E的離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,
所以=,=8,解得a=2,c=1,
于是b==,
因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.
(2)由(1)知,F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).設(shè)P(x0,y0),
因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn),故x0>0,y0>0.
當(dāng)x0=1時(shí),l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符.
當(dāng)x0≠1時(shí),直線PF1的斜率為,
直線PF2的斜率為.
因?yàn)閘1⊥PF1,l2⊥PF2,
所以直線l1的斜率為-,
直線l2的斜率為-,
從而直線l1的方程為y=-(x+1),①
直線l2的方程為y=-(x-1).②
由①②,解得x=-x0,y=,
所以Q.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,由對(duì)稱性,得=y(tǒng)0,
即x-y=1或x+y=1.
又點(diǎn)P在橢圓上,故+=1.
由解得x0=,y0=,
由無解.
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
2.(2018蘇州調(diào)研)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為 2,一條準(zhǔn)線方程為x=2,P為橢圓C上一點(diǎn),直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為,求過P,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的方程;
(3)若=λ,且λ∈,求的最大值.
解 (1)由題意得解得c=1,a2=2,
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)因?yàn)镻(0,1),F(xiàn)1(-1,0),
所以PF1的方程為x-y+1=0.
由解得或
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
設(shè)過P,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則
解得D=,E=,F(xiàn)=-.
所以圓的方程為x2+y2+x+y-=0.
(3)設(shè)P,Q,則=(x1+1,y1),=(-1-x2,-y2).
因?yàn)椋溅耍?
所以即
所以+λ2y=1,+y=1,
解得x2=.
所以=x1x2+y1y2=x2-λy =-x-(1+λ)x2-λ
=-2--λ
=-,
因?yàn)棣恕?,所以λ+?,當(dāng)且僅當(dāng)λ=,
即λ=1時(shí)取等號(hào).
所以≤,即的最大值為.
A組 專題通關(guān)
1.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F是橢圓+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),若P,Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn),且直線PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F,則該橢圓的離心率為______.
答案 -1
解析 方法一 由拋物線方程,得焦點(diǎn)為F.
由橢圓方程,可得上焦點(diǎn)為(0,c),
故=c,
將y=c代入橢圓方程可得x=.
又拋物線通徑為2p,
所以2p==4c,
所以b2=a2-c2=2ac,
即e2+2e-1=0,解得e=-1.
方法二 如圖所示,由拋物線方程以及直線y=,
可得Q.
又=c,即Q(2c,c),
代入橢圓方程可得+=1,
化簡(jiǎn)可得e4-6e2+1=0,
解得e2=3-2,e2=3+2>1(舍去),
即e==-1(負(fù)值舍去).
2.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為________.
答案 6
解析 由題意得F(-1,0),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),
則y=3(-2≤x0≤2).
=x0(x0+1)+y=x+x0+y
=x+x0+3=(x0+2)2+2.
又因?yàn)椋?≤x0≤2,
所以當(dāng)x0=2時(shí),取得最大值6.
3.已知兩定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:y=x+2上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P,則橢圓C的離心率的最大值為________.
答案
解析 A(-1,0)關(guān)于直線l:y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)為
A′(-2,1),連結(jié)A′B交直線l于點(diǎn)P,
則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為
A′B==,
所以橢圓C的離心率的最大值為==.
4.如圖,已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的________倍.
答案
解析 連結(jié)PF1,OQ,則PF1=2OQ=2b,PF1⊥PF2,
由PF+PF=F1F,得(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,
解得=,故=.
5.(2018江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A為橢圓C的上頂點(diǎn),點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AM的垂線AN與橢圓C交于另一點(diǎn)N,若∠AMN=60,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
解 (1)因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)為2,離心率為,
所以解得
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)因?yàn)锳為橢圓C的上頂點(diǎn),所以A(0,).
設(shè)M(m,0)(m>0),則kAM=-.
又AM⊥AN,所以kAN=,
所以直線AN的方程為y= x+.
由消去y,整理得
(2+3m2)x2+12mx=0,
所以xN=,yN=+,
所以AN==,
在Rt△AMN中,由∠AMN=60,得AN=AM,
所以=,解得m=.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
6.已知橢圓C:+y2=1(常數(shù)m>1),點(diǎn)P是C上的動(dòng)點(diǎn),M是右頂點(diǎn),定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)若M與A重合,求C的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若m=3,求PA的最大值與最小值;
(3)若PA的最小值為MA,求m的取值范圍.
解 (1)m=2,橢圓方程為+y2=1,c==,
∴左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0).
(2)m=3,橢圓方程為+y2=1,設(shè)P(x,y),則
PA2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-
=2+(-3≤x≤3),
∴當(dāng)x=時(shí),(PA)min=,
當(dāng)x=-3時(shí),(PA)max=5.
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則
PA2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-
=2-+5(-m≤x≤m),
∵當(dāng)x=m時(shí),PA取最小值,且>0,
∴≥m且m>1,
解得1<m≤1+.
7.(2018江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過點(diǎn),焦點(diǎn)為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),圓O的直徑為F1F2.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若△OAB的面積為,求直線l的方程.
解 (1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),
可設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0).
又點(diǎn)在橢圓C上,
所以解得
因此,橢圓C的方程為+y2=1.
因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于點(diǎn)P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
則x+y=3,
所以直線l的方程為y=-(x-x0)+y0,
即y=-x+.
由消去y,得
(4x+y)x2-24x0x+36-4y=0.(*)
因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以Δ=(-24x0)2-4(4x+y)(36-4y)
=48y(x-2)=0.
因?yàn)閤0>0,y0>0,
所以x0=,y0=1.
因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).
②因?yàn)椤鱋AB的面積為,
所以ABOP=,從而AB=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得x1,2=,
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=.
因?yàn)閤+y=3,
所以AB2==,即2x-45x+100=0,
解得x=(x=20舍去),則y=,
代入Δ=48y(x-2)>0,滿足題意,
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
所以直線l的方程為y=-x+3,即x+y-3=0.
B組 能力提高
8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:+=1經(jīng)過點(diǎn)(b,2e),其中e為橢圓C的離心率.過點(diǎn)T(1,0)作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)(A在x軸下方).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M,N,求 的值;
(3)記直線l與y軸的交點(diǎn)為P.若=,求直線l的斜率k.
解 (1)因?yàn)闄E圓+=1經(jīng)過點(diǎn)(b,2e),
所以+=1.
因?yàn)閑2==,所以+=1.
因?yàn)閍2=b2+c2,所以+=1.
整理得 b4-12b2+32=0,
解得b2=4或b2=8(舍) .
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
因?yàn)門(1,0),所以直線l的方程為y=k(x-1).
聯(lián)立直線l與橢圓方程得
消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,
所以x1,2=,
所以
因?yàn)镸N∥l,所以直線MN的方程為y=kx,
聯(lián)立直線MN與橢圓方程得
消去y,得 (2k2+1)x2=8,解得x2=.
因?yàn)镸N∥l,所以 =.
因?yàn)?1-x1)(x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1]
= ,
(xM-xN)2=4x2=,
所以=
==.
(3)在y=k(x-1)中,令x=0,
則y=-k,所以P(0,-k),
從而=(-x1,-k-y1),=(x2-1,y2).
因?yàn)椋剑?
所以-x1=(x2-1),即x1+x2=.
由(2)知由
解得 x1=,x2=.
因?yàn)閤1x2=,
所以=,
整理得50k4-83k2-34=0,
解得k2=2或k2=- (舍) .
又因?yàn)閗>0,所以k=.
9.如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)的頂點(diǎn)分別為A1,A2,B1,B2,=4,直線y=x+與圓O:x2+y2=b2相切.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線A1P交y軸于點(diǎn)F,直線A1B1交直線B2P于點(diǎn)E,問直線EF是否過定點(diǎn).若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
解 (1)因?yàn)橹本€y=x+與圓O相切,由點(diǎn)到直線的距離公式得,==b,即b=1.
又=4,所以2a2b=4,所以a=2,
所以橢圓C的方程為+y2=1,
離心率e==.
(2)由題意知直線B2P的斜率存在,設(shè)直線B2P的斜率為k,由(1)可知,A1(-2,0),B1(0,-1),B2(0,1),
則直線B2P的方程為y=kx+1.
由得(1+4k2)x2+8kx=0,
其中xB2=0,所以xP=-.
所以P,易知k≠0,且k≠.
則直線A1P的斜率==-,
直線A1P的方程為y=-(x+2),
令x=0,則y=-,即F.
易知直線A1B1的方程為x+2y+2=0,
由解得
所以E,
所以直線EF的斜率k0==-,
所以直線EF的方程為y=-x-,
即2k(x+y+1)-(y-1)=0,
由得
所以直線EF過定點(diǎn)(-2,1).
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