2020高考數(shù)學刷題首選卷 第七章 平面解析幾何 考點測試50 兩條直線的位置關系與距離公式 理（含解析）.docx

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考點測試50　兩條直線的位置關系與距離公式 高考概覽 考綱研讀 1．能根據(jù)兩直線方程判斷這兩條直線平行或垂直 2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標 3．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離 一、基礎小題 1．過點(1，0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案　A 解析　設直線方程為x－2y＋c＝0(c≠－2)，又該直線經過點(1，0)，故c＝－1，所求直線方程為x－2y－1＝0．故選A． 2．若點P(a，b)與Q(b－1，a＋1)關于直線l對稱，則直線l的傾斜角α為(　　) A．135 B．45 C．30 D．60 答案　B 解析　由題意知，PQ⊥l，∵kPQ＝＝－1， ∴kl＝1，即tanα＝1，∴α＝45．故選B． 3．已知點A(1，－2)，B(m，2)，且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實數(shù)m的值是(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 答案　C 解析　因為線段AB的中點，0在直線x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3． 4．已知直線x＋y－1＝0與直線2x＋my＋3＝0平行，則它們之間的距離是(　　) A．1 B． C．3 D．4 答案　B 解析　∵＝≠，∴m＝2，兩平行線之間的距離d＝＝．故選B． 5．已知點M是直線x＋y＝2上的一個動點，若點P的坐標為(，－1)，則|PM|的最小值為(　　) A． B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　|PM|的最小值即點P(，－1)到直線x＋y＝2的距離，又＝1，故|PM|的最小值為1．選B． 6．若直線l1：ax＋2y－8＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，則實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．1或2 C．－2 D．1或－2 答案　A 解析　直線l1的方程為y＝－x＋4．若a＝－1，顯然兩直線不平行，所以a≠－1；要使兩直線平行，則有＝，解得a＝1或a＝－2．當a＝－2時，兩直線重合，所以不滿足條件，所以a＝1．故選A． 7．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2，1)對稱，則直線l2恒過定點(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 答案　B 解析　直線l1：y＝k(x－4)恒過定點(4，0)，其關于點(2，1)的對稱點為(0，2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2，1)對稱，故直線l2恒過定點(0，2)． 8．若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　) A．3 B． C．3 D．2 答案　C 解析　點M在直線x＋y－6＝0上，到原點的最小距離等價于原點O(0，0)到直線x＋y－6＝0的距離，即d＝＝＝3．故選C． 9．已知x，y滿足x＋2y－5＝0，則(x－1)2＋(y－1)2的最小值為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　(x－1)2＋(y－1)2表示點P(x，y)到點Q(1，1)的距離的平方．由已知可得點P在直線l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值為d2＝．故選A． 10．已知△ABC的頂點A(5，1)，邊AB上的中線CM所在直線的方程為2x－y－5＝0，邊AC上的高BH所在直線的方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為(　　) A．2x＋y－11＝0 B．6x－5y－10＝0 C．5x－6y－9＝0 D．6x－5y－9＝0 答案　D 解析　依題意知kAC＝－2，點A(5，1)，則直線AC的方程為2x＋y－11＝0， 聯(lián)立可得點C(4，3)． 設B(x0，y0)，則AB的中點M為，， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0， 所以解得點B(－1，－3)，故kBC＝，則直線BC的方程為y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0．故選D． 11．已知A(－2，1)，B(1，2)，點C為直線y＝x上的動點，則|AC|＋|BC|的最小值為(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案　C 解析　設B關于直線y＝x的對稱點為B′(x0，y0)，則解得B′(2，－1)．由平面幾何知識得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2．故選C． 12．已知點A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為________． 答案?。颍? 解析　由題意及點到直線的距離公式得＝，解得a＝－或－． 二、高考小題 13．(2016全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－ B．－ C． D．2 答案　A 解析　圓的方程可化為(x－1)2＋(y－4)2＝4，則圓心坐標為(1，4)，圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為＝1，解得a＝－．故選A． 14．(2015山東高考)一條光線從點(－2，－3)射出，經y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 答案　D 解析　如圖，作出點P(－2，－3)關于y軸的對稱點P0(2，－3)．由題意知反射光線與圓相切，其反向延長線過點P0．故設反射光線為y＝ k(x－2)－3，即kx－y－2k－3＝0．∴圓心到直線的距離 d＝＝1，解得k＝－或k＝－．故選D． 15．(2015廣東高考)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 答案　A 解析　設與直線2x＋y＋1＝0平行的直線方程為2x＋y＋m＝0(m≠1)，因為直線2x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝5相切，即點(0，0)到直線2x＋y＋m＝0的距離為，所以＝，|m|＝5．故所求直線的方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．故選A． 16．(經典重慶高考)已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________． 答案　4 解析　由△ABC為等邊三角形可得，C到AB的距離為，即(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離d＝＝，即a2－8a＋1＝0，可求得a＝4． 三、模擬小題 17．(2018福建閩侯六中模擬)“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　若直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直，則(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或m＝，即“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝”的必要不充分條件． 18．(2018天津一中模擬)已知直線x＋a2y＋6＝0與直線(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，則a的值為(　　) A．0或3或－1 B．0或3 C．3或－1 D．0或－1 答案　D 解析　由題意知13a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，∴a＝0，a＝－1或a＝3，經驗證當a＝3時，兩直線重合．故選D． 19．(2018廣西陸川模擬)光線沿著直線y＝－3x＋b射到直線x＋y＝0上，經反射后沿著直線y＝ax＋2射出，則有(　　) A．a＝，b＝6 B．a＝－，b＝－6 C．a＝3，b＝－ D．a＝－3，b＝ 答案　B 解析　由題意，直線y＝－3x＋b與直線y＝ax＋2關于直線y＝－x對稱，故直線y＝ax＋2上點(0，2)關于y＝－x的對稱點(－2，0)在直線y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的點(0，－6)，關于直線y＝－x對稱點(6，0)在直線y＝ax＋2上，∴a＝－，故選B． 20．(2018杭州月考)已知P1(a1，b1)與P2(a2，b2)是直線y＝kx＋1(k為常數(shù))上兩個不同的點，則關于x和y的方程組的解的情況是(　　) A．無論k，P1，P2如何，總是無解 B．無論k，P1，P2如何，總有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有兩解 D．存在k，P1，P2，使之有無窮多解 答案　B 解析　由題意，直線y＝kx＋1一定不過原點O，P1，P2是直線y＝kx＋1上不同的兩點，則與不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程組 一定有唯一解．故選B． 21．(2018湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(－4，2)，(3，1)，則點C的坐標為(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 答案　C 解析　設A(－4，2)關于直線y＝2x的對稱點為(x，y)，則解得 ∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0． 聯(lián)立解得則C(2，4)．故選C． 22．(2018百校聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了割圓術，也就是用內接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長．這種用極限思想解決數(shù)學問題的方法是數(shù)學史上的一項重大成就，現(xiàn)作出圓x2＋y2＝2的一個內接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為(　　) A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0 C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0 答案　C 解析　如圖所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，所以直線AB，BC，CD的方程分別為y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋，整理成一般式為x＋(－1)y－＝0，(1－)x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0，分別對應題中的A，B，D選項．故選C． 23．(2018北京西城區(qū)月考)已知l1，l2是分別經過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大．因為A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． 24．(2018河南焦作調研)著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如： 可以轉化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結合上述觀點，可得f(x)＝＋的最小值為________． 答案　5 解析　∵f(x)＝＋＝ ＋，∴f(x)的幾何意義為點M(x，0)到兩定點A(－2，4)與B(－1，3)的距離之和，設點A(－2，4)關于x軸的對稱點為A′，則A′為(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可轉化為|MA|＋|MB|的最小值，利用對稱思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值為5． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018江西九江月考)已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范圍； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值． 解　(1)因為l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0， 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋， 因為a2≥0，所以b≤0． 又因為a2＋1≠3，所以b≠－6． 故b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因為l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，顯然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，當且僅當a＝1時等號成立，因此|ab|的最小值為2． 2．(2018湖北十堰模擬)已知三條直線l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0和l3：x＋y－1＝0，且兩平行直線l1與l2間的距離是． (1)求a的值； (2)能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l1的距離是P點到l2的距離的；③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶．若能，求P點坐標；若不能，說明理由． 解　(1)l2的方程可化為2x－y－＝0， ∴l(xiāng)1與l2間的距離d＝＝， ∴＝，∴a＋＝， ∵a>0，∴a＝3． (2)能． 假設存在滿足題意的P點． 設點P(x0，y0)，因為P點滿足條件②，所以P點在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋C＝0上，其中C滿足＝，C≠3且C≠－， 則C＝或C＝， ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0． 因為P點滿足條件③， 所以由點到直線的距離公式得 ＝， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0． ∵P點在第一象限， ∴3x0＋2＝0不滿足題意． 由解得(舍去)． 由解得 ∴存在滿足題意的P點，且P點的坐標為，．